शुद्ध गतिकी

गति एक सापेक्षिक अवधारणा है; समय के साथ यदि किसी चुने गए संदर्भ बिंदु के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन होता है, तो वस्तु को गतिमान कहा जाता है। एक निर्देशांक निकाय (जैसे कार्तीय अक्ष $x, y, z$) तथा समय मापक घड़ी से युक्त तंत्र को निर्देश तंत्र (Frame of Reference) कहते हैं:

• जड़त्वीय निर्देश तंत्र (Inertial Frame): वह निर्देश तंत्र जो या तो स्थिर होता है या एकसमान वेग से सरल रेखा में गतिमान होता है (त्वरण शून्य)। इसमें न्यूटन के गति नियम सीधे लागू होते हैं।
• अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (Non-Inertial Frame): एक त्वरित या घूर्णनशील निर्देश तंत्र, जिसमें गति समीकरणों को लागू करने हेतु एक छद्म बल (Pseudo-force, जैसे अपकेंद्री बल) की कल्पना करनी पड़ती है।

सरल रेखा ($x$-अक्ष) पर गतिमान किसी कण हेतु:

• औसत चाल ($v_{ ext{avg}}$): कुल तय दूरी को कुल समयांतराल से भाग देने पर प्राप्त होती है: $$v_{ ext{avg}} = rac{ ext{कुल दूरी}}{ ext{कुल समय}} = rac{\Delta s}{\Delta t}$$
• औसत वेग ($ec{v}_{ ext{avg}}$): कुल विस्थापन को कुल समयांतराल से भाग देने पर प्राप्त होता है: $$ec{v}_{ ext{avg}} = rac{\Delta ec{x}}{\Delta t} = rac{ec{x}_f - ec{x}_i}{t_f - t_i}$$
• तात्क्षणिक वेग ($ec{v}$): जब समयांतराल अत्यंत सूक्ष्म हो ($\Delta t o 0$), तब स्थिति परिवर्तन की दर तात्क्षणिक वेग कहलाती है (स्थिति का प्रथम अवकलज): $$ec{v} = \lim_{\Delta t o 0} rac{\Delta ec{x}}{\Delta t} = rac{dec{x}}{dt}$$
• तात्क्षणिक त्वरण ($ec{a}$): समय के सापेक्ष तात्क्षणिक वेग के परिवर्तन की दर: $$ec{a} = rac{dec{v}}{dt} = rac{d^2ec{x}}{dt^2} = vrac{dv}{dx}$$

मान लीजिए कोई कण एक सरल रेखा में नियत त्वरण $a$ से गति कर रहा है। समय $t = 0$ पर उसका प्रारंभिक वेग $u$ है, तथा $t = t$ समय पर अंतिम वेग $v$ व विस्थापन $s$ है:

1. प्रथम गति समीकरण ($v = u + at$):

परिभाषानुसार तात्क्षणिक त्वरण: $$a = rac{dv}{dt} \implies dv = a\,dt$$ दोनों पक्षों का सीमा $t = 0$ (वेग $u$) से $t = t$ (वेग $v$) के मध्य निश्चित समाकलन करने पर: $$\int_u^v dv = a \int_0^t dt \implies [v]_u^v = a [t]_0^t \implies v - u = at \implies \mathbf{v = u + at}$$

2. द्वितीय गति समीकरण ($s = ut + rac{1}{2}at^2$):

परिभाषानुसार तात्क्षणिक वेग: $$v = rac{ds}{dt} \implies ds = v\,dt = (u + at)\,dt$$ सीमा $t = 0$ ($s = 0$) से $t = t$ ($s = s$) तक समाकलन करने पर: $$\int_0^s ds = \int_0^t (u + at)\,dt = u\int_0^t dt + a\int_0^t t\,dt \implies [s]_0^s = u[t]_0^t + a\left[rac{t^2}{2} ight]_0^t \implies \mathbf{s = ut + rac{1}{2}at^2}$$

3. तृतीय गति समीकरण ($v^2 = u^2 + 2as$):

श्रृंखला नियम (Chain rule) द्वारा: $$a = rac{dv}{dt} = rac{dv}{ds} \cdot rac{ds}{dt} = vrac{dv}{ds} \implies v\,dv = a\,ds$$ सीमा $s = 0$ ($v = u$) से $s = s$ ($v = v$) तक समाकलन करने पर: $$\int_u^v v\,dv = a \int_0^s ds \implies \left[rac{v^2}{2} ight]_u^v = a[s]_0^s \implies rac{v^2 - u^2}{2} = as \implies \mathbf{v^2 = u^2 + 2as}$$

4. चतुर्थ समीकरण: $n$-वें सेकंड में तय दूरी ($s_n$):

$n$ सेकंड में तय दूरी $s(n)$ में से $(n-1)$ सेकंड में तय दूरी $s(n-1)$ घटाने पर: $$s_n = s(n) - s(n-1) = \left[un + rac{1}{2}an^2 ight] - \left[u(n-1) + rac{1}{2}a(n-1)^2 ight]$$ $$s_n = un + rac{1}{2}an^2 - un + u - rac{1}{2}a(n^2 - 2n + 1) = u + rac{1}{2}a(2n - 1) \implies \mathbf{s_n = u + rac{a}{2}(2n - 1)}$$

वायु के प्रतिरोध को नगण्य मानने पर पृथ्वी तल के निकट सभी वस्तुएं एकसमान गुरुत्वीय त्वरण $g pprox 9.8 ext{ m/s}^2$ से नीचे गिरती हैं। ऊपर की दिशा को धनात्मक मानने पर $a = -g$:

• ऊपर की ओर $u$ वेग से फेंके गए पिंड हेतु:
  • महत्तम ऊंचाई ($H$) पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो जाता है ($v = 0$): $$0 = u^2 - 2gH \implies \mathbf{H = rac{u^2}{2g}}$$
  • चढ़ने का समय (Time of ascent, $t_a$): $0 = u - gt_a \implies \mathbf{t_a = rac{u}{g}}$।
  • गिरने का समय (Time of descent, $t_d$): ऊर्जा संरक्षण एवं सममिति से, $\mathbf{t_d = rac{u}{g}}$।
  • कुल उड्डयन काल ($T$): $\mathbf{T = t_a + t_d = rac{2u}{g}}$।
  • भूमि पर टकराते समय वेग: $v = -u$ (समान परिमाण, विपरीत दिशा)।
• विरामावस्था ($u = 0$) से मुक्त रूप से गिरती वस्तु हेतु ($h$ ऊंचाई से):
  • भूमि पर टकराते समय वेग: $\mathbf{v = \sqrt{2gh}}$।
  • भूमि तक पहुंचने का समय: $\mathbf{t = \sqrt{rac{2h}{g}}}$।

विरामावस्था से मुक्त रूप से गिरती हुई किसी वस्तु द्वारा क्रमागत बराबर समयांतरालों ($ au$) में तय की गई दूरियों का अनुपात क्रमागत विषम संख्याओं के अनुपात में होता है:

अतः $\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 : \Delta s_4 : \dots = 1 : 3 : 5 : 7 : \dots$

• अदिश राशि: वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने हेतु केवल परिमाण व मात्रक की आवश्यकता होती है (उदा. द्रव्यमान, समय, चाल, दूरी, कार्य)।
• सदिश राशि: वे राशियाँ जिनमें परिमाण तथा दिशा दोनों होते हैं और जो सदिश योग के नियमों का पालन करती हैं (उदा. विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, संवेग)।
• एकांक सदिश ($\hat{n}$): वह सदिश जिसका परिमाण इकाई (1) होता है तथा जो केवल दिशा दर्शाता है: $\hat{A} = rac{ec{A}}{|ec{A}|}$। कार्तीय निर्देशांकों में धनात्मक $x, y, z$ अक्षों के अनुदिश एकांक सदिश क्रमशः $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ होते हैं।

यदि किसी बिंदु पर कार्यरत दो सदिशों $ec{P}$ एवं $ec{Q}$ को किसी समांतर चतुर्भुज की दो संलग्न भुजाओं द्वारा परिमाण व दिशा में निरूपित किया जाए, तो उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरने वाला विकर्ण उनके परिणामी $ec{R} = ec{P} + ec{Q}$ को परिमाण व दिशा में व्यक्त करता है।

• परिणामी का परिमाण ($R$): $$R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos heta}$$ जहाँ $ heta$ दोनों सदिशों के मध्य का कोण है।
• परिणामी की दिशा ($ec{P}$ के साथ कोण $lpha$): $$ anlpha = rac{Q\sin heta}{P + Q\cos heta}$$
• विशेष स्थितियाँ:
  • $ heta = 0^\circ$ (समान दिशा): $R_{\max} = P + Q$
  • $ heta = 180^\circ$ (विपरीत दिशा): $R_{\min} = |P - Q|$
  • $ heta = 90^\circ$ (परस्पर लंबवत): $R = \sqrt{P^2 + Q^2}$ एवं $ anlpha = Q/P$

द्विविमीय तल में किसी सदिश $ec{A}$ को दो परस्पर लंबवत आयताकार घटकों में वियोजित करने पर: $$ec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$$ जहाँ $A_x = A\cos heta$ (क्षैतिज घटक), $A_y = A\sin heta$ (ऊर्ध्वाधर घटक) तथा $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$।

त्रिविमीय आकाश में: $$ec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$$ $$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$$ यदि सदिश $x, y, z$ अक्षों के साथ क्रमशः $lpha, eta, \gamma$ कोण बनाता है, तो उसकी दिक्-कोज्याएँ (Direction Cosines) निम्न हैं: $$l = \coslpha = rac{A_x}{A}, \quad m = \coseta = rac{A_y}{A}, \quad n = \cos\gamma = rac{A_z}{A}$$ त्रिविम ज्यामिति का अत्यंत महत्वपूर्ण संबंध: $$\mathbf{\cos^2lpha + \cos^2eta + \cos^2\gamma = 1} \quad ext{अथवा} \quad \mathbf{\sin^2lpha + \sin^2eta + \sin^2\gamma = 2}$$

किसी गतिमान प्रेक्षक $B$ के सापेक्ष किसी अन्य पिंड $A$ की स्थिति परिवर्तन की दर को $B$ के सापेक्ष $A$ का आपेक्षिक वेग ($ec{v}_{AB}$) कहते हैं:

• 1D में:
  • दोनों एक ही दिशा में गतिमान हों: $v_{AB} = v_A - v_B$।
  • परस्पर विपरीत दिशा में गतिमान हों: $v_{AB} = v_A - (-v_B) = v_A + v_B$।
• 2D में: $$|ec{v}_{AB}| = \sqrt{v_A^2 + v_B^2 - 2v_A v_B \cos heta}$$

मान लीजिए वर्षा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर वेग $ec{v}_r = -v_r\hat{j}$ से गिर रही है तथा एक व्यक्ति क्षैतिज रूप से पूर्व दिशा में वेग $ec{v}_m = v_m\hat{i}$ से चल रहा है।

• व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा का आपेक्षिक वेग: $$ec{v}_{rm} = ec{v}_r - ec{v}_m = -v_m\hat{i} - v_r\hat{j}$$
• व्यक्ति को प्रतीत होने वाली वर्षा की आभासी चाल: $$v_{rm} = \sqrt{v_m^2 + v_r^2}$$
• वर्षा से बचने हेतु छाते को आपेक्षिक वेग के ठीक विपरीत दिशा ($-ec{v}_{rm}$) में लगाना होगा, जो ऊर्ध्वाधर से गति की दिशा में आगे की ओर कोण $\phi$ पर झुका होगा: $$\mathbf{ an\phi = rac{v_m}{v_r}}$$

मान लीजिए नदी की चौड़ाई $d$ तथा नदी के बहाव का वेग $u$ (किनारे के अनुदिश $+x$ दिशा में) है। शांत जल में तैराक का वेग $v$ है।

1. न्यूनतम दूरी / सीधे सम्मुख किनारे पर पहुंचना (Shortest Path, Drift शून्य):

तैराक बिना बहाव के सीधे सम्मुख बिंदु पर पहुंचे, इसके लिए उसे धारा के विपरीत ऊर्ध्वाधर (अभिलंब) से कोण $lpha$ पर तैरना होगा:

• शर्त: $v\sinlpha = u \implies \mathbf{\sinlpha = rac{u}{v}}$ (जहाँ $v > u$ होना आवश्यक है)।
• नदी पार करने का परिणामी वेग: $v_{ ext{res}} = \sqrt{v^2 - u^2}$।
• नदी पार करने में लगा समय: $$\mathbf{t = rac{d}{v_{ ext{res}}} = rac{d}{\sqrt{v^2 - u^2}}}$$

2. न्यूनतम समय में नदी पार करना ($t_{\min}$):

कम से कम समय में पार करने हेतु तैराक को अपना पूरा वेग सीधे किनारे के लंबवत ($ heta = 90^\circ$) रखना होगा:

• न्यूनतम समय: $$\mathbf{t_{\min} = rac{d}{v}}$$
• इस समयांतराल में धारा तैराक को बहाव की दिशा में बहा ले जाती है, जिसे अपवहन दूरी / Drift ($x$) कहते हैं: $$\mathbf{x = u \cdot t_{\min} = rac{u d}{v}}$$

जब किसी पिंड को क्षैतिज से किसी कोण पर ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो उस पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्यरत रहता है (वायु प्रतिरोध नगण्य मानने पर)। यह दो स्वतंत्र गतियों का संयोजन है:

• क्षैतिज दिशा में: कोई बल या त्वरण नहीं होता ($a_x = 0$), अतः वेग सदैव नियत रहता है ($v_x = u\cos heta$)।
• ऊर्ध्वाधर दिशा में: एकसमान गुरुत्वीय त्वरण कार्यरत रहता है ($a_y = -g$)।

प्रारंभिक वेग $u$ से क्षैतिज से कोण $ heta$ पर प्रक्षेपित पिंड हेतु $t$ समय पर निर्देशांक: $$x = (u\cos heta)t \implies t = rac{x}{u\cos heta}$$ $$y = (u\sin heta)t - rac{1}{2}gt^2$$ $t$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $$y = (u\sin heta)\left(rac{x}{u\cos heta} ight) - rac{1}{2}g\left(rac{x}{u\cos heta} ight)^2$$ $$\mathbf{y = x an heta - rac{g}{2u^2\cos^2 heta}x^2}$$ यह समीकरण $y = Ax - Bx^2$ रूप का है, जो सिद्ध करता है कि प्रक्षेप्य का प्रक्षेप पथ एक परवलय (Parabola) होता है।

क्षैतिज परास $R$ के पदों में इसे निम्न प्रकार लिखा जा सकता है: $$\mathbf{y = x an heta\left(1 - rac{x}{R} ight)}$$

चूँकि $\sin(2(90^\circ - heta)) = \sin(180^\circ - 2 heta) = \sin 2 heta$, अतः समान प्रारंभिक चाल $u$ से कोण $ heta$ तथा कोण $(90^\circ - heta)$ पर प्रक्षेपित पिंडों का क्षैतिज परास बिल्कुल समान ($R_1 = R_2$) रहता है!

• महत्तम ऊंचाइयों का अनुपात: $rac{H_1}{H_2} = rac{\sin^2 heta}{\sin^2(90^\circ - heta)} = \mathbf{ an^2 heta}$।
• उड्डयन कालों का गुणनफल: $T_1 T_2 = \left(rac{2u\sin heta}{g} ight)\left(rac{2u\cos heta}{g} ight) = \mathbf{rac{2R}{g}}$।
• ऊंचाइयों का योग: $H_1 + H_2 = \mathbf{rac{u^2}{2g}}$।

$h$ ऊंचाई की मीनार से $u$ वेग से क्षैतिज रूप से फेंके जाने पर ($u_x = u, u_y = 0$):

• भूमि पर पहुंचने का समय: $h = rac{1}{2}gt^2 \implies \mathbf{t = \sqrt{rac{2h}{g}}}$ (यह क्षैतिज चाल $u$ पर निर्भर नहीं करता)।
• क्षैतिज परास: $\mathbf{R = u\sqrt{rac{2h}{g}}}$।
• भूमि पर टकराते समय कुल वेग: $v = \sqrt{u^2 + 2gh}$।

$r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गतिमान कण हेतु:

• कोणीय विस्थापन ($ heta$): स्थिति सदिश द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (मात्रक: रेडियन या $ ext{rad}$): $ heta = rac{s}{r}$ (जहाँ $s$ चाप की लंबाई है)।
• कोणीय वेग ($\omega$): कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर: $$\omega = \lim_{\Delta t o 0} rac{\Delta heta}{\Delta t} = rac{d heta}{dt} = rac{2\pi}{T} = 2\pi f$$ जहाँ $T$ आवर्तकाल तथा $f$ आवृत्ति है।
• रेखीय वेग एवं कोणीय वेग में संबंध: $$ec{v} = ec{\omega} imes ec{r} \implies \mathbf{v = \omega r}$$ रेखीय वेग सदैव वृत्त की स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।
• कोणीय त्वरण ($lpha$): कोणीय वेग के परिवर्तन की दर: $$lpha = rac{d\omega}{dt} = rac{d^2 heta}{dt^2} \implies \mathbf{a_t = lpha r}$$ जहाँ $a_t$ स्पर्शरेखीय रेखीय त्वरण है।

एकसमान वृत्तीय गति (Uniform Circular Motion) में चाल $v$ नियत रहती है, परंतु गति की दिशा निरंतर बदलने के कारण वेग सदिश $ec{v}$ लगातार परिवर्तित होता रहता है। दिशा परिवर्तन से उत्पन्न इस त्वरण की दिशा सदैव केंद्र की ओर होती है—इसे अभिकेंद्री त्वरण ($a_c$) कहते हैं।

सदिश कलन विधि द्वारा निगमन:

वृत्त के केंद्र को मूलबिंदु $(0,0)$ मानकर $t$ समय पर कण का स्थिति सदिश: $$ec{r}(t) = r\cos(\omega t)\hat{i} + r\sin(\omega t)\hat{j}$$ समय के सापेक्ष अवकलन करने पर वेग सदिश प्राप्त होता है: $$ec{v}(t) = rac{dec{r}}{dt} = -r\omega\sin(\omega t)\hat{i} + r\omega\cos(\omega t)\hat{j}$$ वेग का परिमाण: $v = |ec{v}| = \omega r$।

पुनः अवकलन करने पर त्वरण सदिश प्राप्त होता है: $$ec{a}(t) = rac{dec{v}}{dt} = -r\omega^2\cos(\omega t)\hat{i} - r\omega^2\sin(\omega t)\hat{j} = -\omega^2\left[r\cos(\omega t)\hat{i} + r\sin(\omega t)\hat{j} ight]$$ $$\mathbf{ec{a} = -\omega^2ec{r} = -rac{v^2}{r}\hat{r}}$$

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि त्वरण सदिश स्थिति सदिश $ec{r}$ के विपरीत है, अर्थात् त्रिज्या के अनुदिश सदैव वृत्त के केंद्र की ओर दिष्ट है।

अभिकेंद्री त्वरण के विभिन्न सूत्र: $$\mathbf{a_c = rac{v^2}{r} = \omega^2 r = rac{4\pi^2 r}{T^2} = 4\pi^2 f^2 r}$$

यदि वृत्तीय गति में चाल भी समय के साथ बदल रही हो ($rac{dv}{dt} eq 0$), तो कण में दो लंबवत त्वरण घटक होते हैं:

• अभिकेंद्री त्वरण ($a_c = v^2/r$): केंद्र की ओर दिष्ट; जो वेग की दिशा परिवर्तन हेतु उत्तरदायी है।
• स्पर्शरेखीय त्वरण ($a_t = rac{dv}{dt} = lpha r$): स्पर्शरेखा के अनुदिश; जो वेग के परिमाण (चाल) में परिवर्तन हेतु उत्तरदायी है।

चूँकि $ec{a}_c \perp ec{a}_t$, अतः कुल परिणामी त्वरण का परिमाण: $$\mathbf{a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2} = \sqrt{\left(rac{v^2}{r} ight)^2 + \left(rac{dv}{dt} ight)^2}}$$ त्रिज्या के साथ परिणामी त्वरण का कोण $\phi$: $$\mathbf{ an\phi = rac{a_t}{a_c} = rac{lpha r}{v^2 / r}}$$