गति के नियम

प्राचीन ग्रीक दार्शनिक अरस्तू (Aristotle, 384–322 ईसा पूर्व) का मानना था कि किसी वस्तु को नियत वेग से गतिशील बनाए रखने के लिए एक सतत बाह्य बल की अनिवार्यता होती है। इस दृष्टिकोण को अरस्तू का भ्रम (Aristotle's Fallacy) कहा जाता है। दैनिक जीवन में यह इसलिए सत्य प्रतीत होता है क्योंकि सतहों के बीच घर्षण बल तथा वायु का श्यान प्रतिरोध (Viscous Drag) सदैव गति का विरोध करते हैं। अतः वस्तु को एकसमान वेग से गतिमान रखने के लिए लगाया जाने वाला बाह्य बल केवल इन विरोधी बलों को संतुलित करने के लिए आवश्यक होता है। यदि सभी विरोधी बलों को पूर्णतः समाप्त कर दिया जाए, तो वस्तु को एकसमान वेग से गतिशील रखने के लिए किसी भी नेट बाह्य बल की आवश्यकता नहीं होगी।

गैलीलियो गैलीली (Galileo Galilei) ने दोहरे नत समतलों (Double Inclined Planes) पर प्रयोग किए:

• जब एक चिकनी गेंद किसी नत समतल से नीचे लुढ़कती है, तो उसका वेग बढ़ता है (त्वरित गति)।
• जब वही गेंद सामने स्थित विपरीत नत समतल पर ऊपर चढ़ती है, तो उसका वेग घटता है (मंदित गति)।
• यदि दोनों नत समतल सर्वसम हों और घर्षण नगण्य हो, तो गेंद दूसरे तल पर ठीक उसी ऊँचाई तक पहुँचती है जिस ऊँचाई से उसे छोड़ा गया था।
• गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला कि यदि दूसरे नत समतल के ढलान को घटाकर क्षैतिज कर दिया जाए (ढलान = 0), तो गेंद प्रारंभिक ऊँचाई प्राप्त करने के प्रयास में क्षैतिज तल पर नियत वेग से अनंत काल तक गति करती रहेगी।

इस प्रकार गैलीलियो ने प्रतिपादित किया कि किसी वस्तु की विराम अवस्था तथा एकसमान सरल रेखीय गति की अवस्था भौतिक रूप से समतुल्य हैं। दोनों ही स्थितियों में नेट बाह्य बल शून्य होता है।

किसी वस्तु का वह अंतर्निहित गुण जिसके कारण वह अपनी विराम अथवा एकसमान गति की अवस्था में होने वाले परिवर्तन का विरोध करती है, जड़त्व (Inertia) कहलाता है। किसी वस्तु का द्रव्यमान (Mass) उसके जड़त्व की परिमाणात्मक माप है (Mass is the quantitative measure of inertia)।

• जड़त्वीय निर्देश तंत्र (Inertial Frame): वह निर्देश तंत्र जिसमें न्यूटन के गति नियम पूर्णतः मान्य होते हैं। यह तंत्र या तो स्थिर होता है या नियत वेग से गतिमान होता है ($a_{frame} = 0$)। उदाहरण: पृथ्वी की सतह (व्यावहारिक रूप से)।
• अजड़त्वीय निर्देश तंत्र (Non-Inertial Frame): वह निर्देश तंत्र जो त्वरित अथवा घूर्णनशील होता है ($a_{frame} \neq 0$)। इस तंत्र में न्यूटन के नियम सीधे लागू नहीं होते। अजड़त्वीय तंत्र में न्यूटन के नियमों को लागू करने के लिए वस्तु पर एक काल्पनिक या छद्म बल (Pseudo Force) आरोपित किया जाता है: $$\vec{F}_{pseudo} = -m\vec{a}_{frame}$$ जहाँ $m$ प्रेक्षित वस्तु का द्रव्यमान है तथा $\vec{a}_{frame}$ निर्देश तंत्र का त्वरण है। छद्म बल की दिशा सदैव निर्देश तंत्र के त्वरण के विपरीत होती है।

किसी गतिशील वस्तु में उपस्थित गति की कुल मात्रा को रैखिक संवेग (Linear Momentum) कहते हैं। परिमाणात्मक रूप से, किसी वस्तु का रैखिक संवेग उसके द्रव्यमान $m$ तथा वेग $\vec{v}$ के गुणनफल के बराबर होता है:

• प्रकृति: सदिश राशि। इसकी दिशा वही होती है जो वेग $\vec{v}$ की दिशा होती है।
• SI मात्रक: $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ अथवा $\text{N}\cdot\text{s}$
• विमीय सूत्र: $[M^1 L^1 T^{-1}]$

चूँकि $\vec{p} = m\vec{v}$, अतः अवकलन के गुणनफल नियम से:

स्थिति 1: जब द्रव्यमान नियत हो ($m = \text{constant}$, अर्थात् $dm/dt = 0$):

घटक रूप में: $F_x = m a_x = m\frac{dv_x}{dt}$, $F_y = m a_y = m\frac{dv_y}{dt}$, $F_z = m a_z = m\frac{dv_z}{dt}$।

• बल का SI मात्रक: न्यूटन ($\text{N} = \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$)
• बल का CGS मात्रक: डाइन ($\text{dyne} = \text{g}\cdot\text{cm/s}^2$)
• संबंध: $1\,\text{N} = 10^5\,\text{dyne}$
• गुरुत्वीय मात्रक: $1\,\text{kgf} = 9.8\,\text{N}$, $1\,\text{gf} = 980\,\text{dyne}$

जब कोई विशाल बल किसी वस्तु पर अत्यंत सूक्ष्म समयांतराल $\Delta t$ के लिए कार्य करता है, तो बल और समयांतराल के गुणनफल को बल का आवेग (Impulse of Force) कहते हैं।

न्यूटन के द्वितीय नियम से $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} \implies \vec{F}\,dt = d\vec{p}$। अतः:

इसे आवेग-संवेग प्रमेय (Impulse-Momentum Theorem) कहा जाता है: "किसी बल का आवेग उस वस्तु के संवेग में होने वाले कुल परिवर्तन के ठीक बराबर होता है।"

• ग्राफिक निरूपण: बल-समय ($F-t$) वक्र तथा समय-अक्ष के बीच घिरा कुल क्षेत्रफल बल के आवेग अथवा संवेग परिवर्तन $\Delta p$ को निरूपित करता है।
• दैनिक अनुप्रयोग: यदि संवेग परिवर्तन $\Delta p$ नियत हो, तो $F_{avg} \cdot \Delta t = \text{constant} \implies F_{avg} \propto \frac{1}{\Delta t}$। समय $\Delta t$ बढ़ाकर संघात बल $F_{avg}$ को बहुत कम किया जा सकता है (क्रिकेट कैच, ऑटोमोबाइल एयरबैग, कराटे खिलाड़ी द्वारा ईंट तोड़ना)।

रॉकेट एक परिवर्ती द्रव्यमान निकाय (Variable Mass System) है। मान लेते हैं कि समय $t$ पर रॉकेट का कुल द्रव्यमान $m$ तथा वेग $v$ है। समयांतराल $dt$ में $dm$ द्रव्यमान का ईंधन रॉकेट के सापेक्ष नियत वेग $u$ (Exhaust Velocity) से पीछे की ओर निष्कासित होता है।

रॉकेट पर ऊपर की ओर लगने वाला प्रणोद (Thrust):

गुरुत्वाकर्षण की उपस्थिति में रॉकेट पर नेट ऊर्ध्वाधर बल:

त्वरण का व्यंजक:

समय $t = 0$ (प्रारंभिक द्रव्यमान $m_0$, वेग $v_0 = 0$) से समय $t$ (द्रव्यमान $m$, वेग $v$) तक समाकलन करने पर:

गुरुत्व-मुक्त अंतरिक्ष ($g = 0$) में रॉकेट का अंतिम वेग:

जब रॉकेट का संपूर्ण ईंधन जल जाता है, तो प्राप्त अधिकतम वेग को बर्न-आउट वेग (Burn-out Velocity) कहा जाता है।

जहाँ $\vec{F}_{AB}$ वस्तु B द्वारा वस्तु A पर लगाया गया बल है तथा $\vec{F}_{BA}$ वस्तु A द्वारा वस्तु B पर लगाया गया बल है।

तृतीय नियम की मुख्य विशेषताएं:

• अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य: क्रिया और प्रतिक्रिया सदैव दो भिन्न-भिन्न वस्तुओं पर कार्य करती हैं। वे कभी भी एक ही वस्तु पर कार्य नहीं करतीं, अतः वे एक-दूसरे को कभी निरस्त (Cancel) नहीं कर सकतीं।
• तात्कालिक प्रकृति: क्रिया और प्रतिक्रिया एक साथ (युगपत) उत्पन्न होती हैं। इनमें कोई कार्य-कारण (Cause-Effect) समय अंतराल नहीं होता।
• प्रकृति में समानता: दोनों बल सर्वसम भौतिक प्रकृति के होते हैं (जैसे यदि क्रिया गुरुत्वीय है, तो प्रतिक्रिया भी गुरुत्वीय होगी)।

यह सिद्ध करने के लिए कि द्वितीय नियम ही मूल नियम है, हम यह दर्शाते हैं कि प्रथम और तृतीय दोनों नियम द्वितीय नियम में निहित हैं:

• द्वितीय नियम से प्रथम नियम का निगमन:
  द्वितीय नियम के अनुसार: $\vec{F} = m\vec{a}$। यदि नेट बाह्य बल शून्य हो ($\vec{F} = 0$), तो $m\vec{a} = 0$। चूँकि द्रव्यमान $m \neq 0$, अतः $\vec{a} = 0 \implies \vec{v} = \text{constant}$। इसका अर्थ है कि बाह्य बल के अभाव में स्थिर वस्तु स्थिर रहेगी तथा गतिशील वस्तु नियत वेग से गतिशील रहेगी। यही प्रथम नियम है।
• द्वितीय नियम से तृतीय नियम का निगमन:
  माना दो पिंड A और B का एक विलगित निकाय (Isolated System) है जिस पर कोई बाह्य बल नहीं है ($F_{ext} = 0$)। संघात के दौरान समय $dt$ में A के संवेग में परिवर्तन $dp_A$ तथा B के संवेग में परिवर्तन $dp_B$ होता है।
  चूँकि निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है, कुल संवेग में परिवर्तन शून्य होगा: $$dp_A + dp_B = 0 \implies \frac{dp_A}{dt} + \frac{dp_B}{dt} = 0$$ द्वितीय नियम से $\vec{F}_{AB} = \frac{dp_A}{dt}$ तथा $\vec{F}_{BA} = \frac{dp_B}{dt}$। अतः: $$\vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BA} = 0 \implies \vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$$ यही न्यूटन का तृतीय नियम है। अतः द्वितीय नियम ही वास्तविक गति नियम है।

माना बंदूक का द्रव्यमान $M$ तथा गोली का द्रव्यमान $m$ है। फायरिंग से पूर्व दोनों विरामावस्था में हैं, अतः प्रारंभिक कुल संवेग शून्य है ($P_i = 0$)।

फायरिंग के पश्चात यदि गोली का वेग $\vec{v}$ तथा बंदूक का प्रतिक्षेप वेग $\vec{V}$ हो, तो संवेग संरक्षण के नियम से:

ऋणात्मक चिह्न यह प्रदर्शित करता है कि बंदूक का प्रतिक्षेप वेग गोली की गति की दिशा के ठीक विपरीत होता है। चूँकि $M \gg m$, अतः बंदूक का प्रतिक्षेप वेग $V$ गोली के वेग $v$ की तुलना में अत्यंत कम होता है ($V \ll v$)।

वे बल जिनकी क्रिया-रेखाएँ (Lines of Action) एक ही उभयनिष्ठ बिंदु से होकर गुजरती हैं, संगामी बल (Concurrent Forces) कहलाते हैं।

किसी बिंदु पर कार्यरत संगामी बल संतुलन में होते हैं यदि उन सभी बलों का सदिश योग शून्य हो:

घटक रूप में: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum F_z = 0$।

यदि किसी बिंदु पर कार्यरत तीन समतलीय संगामी बल संतुलन में हों, तो प्रत्येक बल शेष दो बलों के बीच के कोण की ज्या (Sine) के समानुपाती होता है:

जहाँ $\alpha$ बल $F_2$ व $F_3$ के बीच का कोण है, $\beta$ बल $F_1$ व $F_3$ के बीच का कोण है, तथा $\gamma$ बल $F_1$ व $F_2$ के बीच का कोण है।

किसी जटिल यांत्रिक निकाय का विश्लेषण करने के लिए निकाय के किसी एक पिंड को शेष परिवेश से विलग करके उस पर लगने वाले सभी वास्तविक बाह्य बलों (गुरुत्व, अभिलंब प्रतिक्रिया, डोरी का तनाव, घर्षण) को तीरों द्वारा प्रदर्शित करने वाले आरेख को मुक्त पिंड आरेख (FBD) कहते हैं।

एक घर्षणहीन, द्रव्यमानहीन घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली हल्की अवितान्य (Inextensible) डोरी के सिरों से दो द्रव्यमान $m_1$ तथा $m_2$ ($m_1 > m_2$) लटके हैं:

• $m_1$ का गति समीकरण (नीचे की ओर): $m_1 g - T = m_1 a$
• $m_2$ का गति समीकरण (ऊपर की ओर): $T - m_2 g = m_2 a$

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर निकाय का त्वरण:

समीकरणों से $a$ का विलोपन करने पर डोरी का तनाव:

घिरनी के आलंब पर कुल बल (Thrust on Pulley Support): $R_p = 2T = \left(\frac{4 m_1 m_2}{m_1 + m_2}\right)g$।

माना लिफ्ट में रखी वेइंग मशीन पर $m$ द्रव्यमान का व्यक्ति खड़ा है। मशीन का पाठ्यांक अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ के बराबर होता है:

जब दो संपर्क पृष्ठ एक-दूसरे के सापेक्ष गति करते हैं या गति करने का प्रयास करते हैं, तो उनके स्पर्श तल के समांतर एक विरोधी बल उत्पन्न होता है, जिसे घर्षण बल (Frictional Force) कहते हैं।

• आधुनिक विद्युतचुंबकीय सिद्धांत: सूक्ष्मदर्शीय स्तर पर किसी भी चिकने दिखने वाले तल पर सूक्ष्म उभार (Peaks) तथा गर्त (Valleys) होते हैं। जब दो पृष्ठ संपर्क में आते हैं, तो वास्तविक संपर्क क्षेत्रफल (Real Area of Contact) दृश्य क्षेत्रफल का केवल $10^{-4}$ भाग होता है। इन सूक्ष्म शिखरों पर अत्यधिक उच्च दाब के कारण शीत वेल्ड (Cold Welds) अथवा आणविक बंध बन जाते हैं। गति उत्पन्न करने के लिए इन बंधों को तोड़ना पड़ता है, जो घर्षण का मुख्य कारण है।

1. स्थैतिक घर्षण (Static Friction, $f_s$): दो संपर्क पृष्ठों के बीच आपेक्षिक गति प्रारंभ होने से पूर्व कार्य करने वाला विरोधी बल। यह एक स्वतः समायोजनकारी बल (Self-Adjusting Force) है ($0 \le f_s \le f_s^{\max}$)।
2. सीमांत घर्षण (Limiting Friction, $f_{L} = f_s^{\max}$): स्थैतिक घर्षण का वह अधिकतम मान जिसके बाद वस्तु ठीक गति करने की स्थिति में आ जाती है। $$f_L = \mu_s N$$ जहाँ $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक (Coefficient of Static Friction) है तथा $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
3. गतिक घर्षण (Kinetic / Dynamic Friction, $f_k$): जब पृष्ठों के बीच वास्तविक आपेक्षिक गति हो रही हो: $$f_k = \mu_k N$$ जहाँ $\mu_k$ गतिक घर्षण गुणांक है। चूँकि गति प्रारंभ होने के पश्चात शीत वेल्डों को पुनः बनने का पर्याप्त समय नहीं मिलता, अतः सदैव: $$\mu_k < \mu_s \implies f_k < f_L$$
4. लोटनिक घर्षण (Rolling Friction, $f_r$): जब कोई गोला, बेलन या पहिया किसी तल पर लुढ़कता है। पहिया तल को थोड़ा दबा देता है जिससे सामने एक अवरोधक पहाड़ी (Hump) बन जाती है। लोटनिक घर्षण का मान सबसे कम होता है: $$f_r \ll f_k < f_s$$ इसीलिए भारी मशीनों में घर्षण घटाने के लिए बॉल बेयरिंग (Ball Bearings) का उपयोग किया जाता है।

• घर्षण कोण (Angle of Friction, $\lambda$): सीमांत घर्षण अवस्था में सीमांत घर्षण बल $f_L$ तथा अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ का परिणामी बल अभिलंब प्रतिक्रिया के साथ जो कोण बनाता है, उसे घर्षण कोण कहते हैं: $$\tan \lambda = \frac{f_L}{N} = \frac{\mu_s N}{N} = \mu_s \implies \lambda = \tan^{-1}(\mu_s)$$
• विराम कोण (Angle of Repose, $\theta$): किसी नत समतल का वह न्यूनतम झुकाव कोण जिस पर उस पर रखा कोई गुटका अपने भार के कारण ठीक नीचे फिसलने की स्थिति में आ जाता है।

  गुटके के FBD से: तल के अनुदिश बल $mg \sin \theta = f_L$, तथा तल के लंबवत $mg \cos \theta = N$।

  $$\frac{mg \sin \theta}{mg \cos \theta} = \frac{f_L}{N} \implies \tan \theta = \mu_s \implies \theta = \tan^{-1}(\mu_s)$$

• नीचे की ओर त्वरित गति (जब $\theta > \theta_{repose}$): $$mg \sin \theta - f_k = ma \implies mg \sin \theta - \mu_k mg \cos \theta = ma$$ $$a_{down} = g(\sin \theta - \mu_k \cos \theta)$$
• ऊपर की ओर गति (जब गुटके को ऊपर की ओर धकेला जाए): $$a_{up} = -g(\sin \theta + \mu_k \cos \theta)$$ (ध्यान दें कि ऊपर गति करते समय गुरुत्व का घटक $mg \sin \theta$ और घर्षण $f_k$ दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं)।

जब कोई कण $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल $v$ से गति करता है, तो निरंतर दिशा परिवर्तन के कारण उस पर केंद्र की ओर एक त्रिज्यीय त्वरण कार्य करता है जिसे अभिकेंद्रीय त्वरण (Centripetal Acceleration) कहते हैं:

न्यूटन के द्वितीय नियम से, इस त्वरण को बनाए रखने के लिए केंद्र की ओर आवश्यक नेट बाह्य बल को अभिकेंद्रीय बल (Centripetal Force) कहा जाता है:

महत्वपूर्ण तथ्य: अभिकेंद्रीय बल कोई नया मौलिक बल नहीं है; यह सदैव किसी वास्तविक भौतिक बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण बल, डोरी का तनाव, घर्षण बल, या विद्युत बल) द्वारा प्रदान किया जाता है।

समतल क्षैतिज मोड़ पर वाहन को मोड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्रीय बल केवल सड़क और टायरों के बीच उपस्थित स्थैतिक घर्षण बल ($f_s$) द्वारा प्रदान किया जाता है:

वाहन के बिना फिसले (Without Skidding) सुरक्षित मुड़ने की शर्त है कि आवश्यक अभिकेंद्रीय बल सीमांत घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:

यदि वाहन की चाल $\sqrt{\mu_s r g}$ से अधिक हो जाती है, तो टायर फिसलने लगते हैं और वाहन स्पर्शरेखीय रूप से बाहर की ओर मुड़कर दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है।

समतल सड़क पर मुड़ना पूरी तरह घर्षण पर निर्भर होता है। यदि सड़क गीली या बर्फीली हो, तो $\mu_s$ का मान बहुत घट जाता है, जिससे तीव्र मोड़ों पर फिसलने का खतरा रहता है। साथ ही टायरों का अत्यधिक घिसाव होता है।
इस समस्या के समाधान हेतु मोड़ पर सड़क के बाहरी किनारे को भीतरी किनारे की तुलना में थोड़ा ऊपर उठा दिया जाता है। इस व्यवस्था को सड़कों का बंकन (Banking of Roads) कहते हैं।

माना सड़क का क्षैतिज से बंकन कोण $\theta$ है। वाहन पर कार्यरत बल:

1. वाहन का भार $mg$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर)
2. सड़क द्वारा अभिलंब प्रतिक्रिया $\vec{N}$ (बंकित तल के लंबवत)
3. टायरों और सड़क के बीच घर्षण बल $\vec{f}$ (तल के अनुदिश)

स्थिति A: बिना घर्षण के आदर्श सुरक्षित चाल (Optimum Speed without Friction, $\mu = 0$):

अभिलंब प्रतिक्रिया के घटकों से: ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है ($N \cos \theta = mg$), तथा क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है ($N \sin \theta = \frac{m v^2}{r}$)।

इस चाल पर टायरों पर कोई पार्श्व घर्षण बल कार्य नहीं करता तथा टायरों का घिसाव न्यूनतम होता है।

स्थिति B: घर्षण सहित अधिकतम सुरक्षित चाल ($v_{\max}$):

जब कार अत्यधिक चाल $v_{\max}$ से मुड़ती है, तो वह बाहर की ओर फिसलने की प्रवृत्ति रखती है, अतः सीमांत घर्षण $f_L = \mu_s N$ बंकित तल के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करता है।

• ऊर्ध्वाधर संतुलन: $N \cos \theta - f_L \sin \theta = mg \implies N(\cos \theta - \mu_s \sin \theta) = mg$
• क्षैतिज दिशा में (अभिकेंद्रीय बल): $N \sin \theta + f_L \cos \theta = \frac{m v_{\max}^2}{r} \implies N(\sin \theta + \mu_s \cos \theta) = \frac{m v_{\max}^2}{r}$

समीकरणों का भाग देने पर:

अंश व हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर अधिकतम सुरक्षित चाल का सर्वमान्य सूत्र प्राप्त होता है: