कणों के निकाय तथा घूर्णी गति

किसी कण-निकाय का द्रव्यमान केंद्र (Centre of Mass - CM) वह अद्वितीय बिंदु होता है, जिस पर संपूर्ण निकाय का कुल द्रव्यमान संकेंद्रित माना जा सकता है और निकाय पर कार्यरत सभी बाह्य बलों का परिणामी बल सीधे उसी बिंदु पर आरोपित होने पर जो स्थानांतरणीय गति उत्पन्न होती, संपूर्ण निकाय ठीक उसी प्रकार गति करता है।

यदि किसी निकाय में $m_1, m_2, \dots, m_N$ द्रव्यमान वाले $N$ कण हों जिनके स्थिति सदिश किसी मूलबिंदु के सापेक्ष क्रमशः $\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_N$ हों, तो द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{R}_{\text{cm}}$ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

जहां $M = \sum m_i$ निकाय का कुल द्रव्यमान है। कार्तीय निर्देशांकों में:

सतत एवं विस्तृत पिंडों के लिए योगफल के स्थान पर समाकलन (integration) का प्रयोग किया जाता है: $\vec{R}_{\text{cm}} = \frac{1}{M}\int \vec{r}\,dm$। प्रमुख सममित पिंडों के द्रव्यमान केंद्र की स्थितियां:

• समान अनुप्रस्थ काट की पतली छड़ (लंबाई $L$): छड़ के ठीक मध्य बिंदु पर ($x_{\text{cm}} = L/2$)।
• अर्धवृत्ताकार तार या वलय (त्रिज्या $R$): सममिति अक्ष पर केंद्र से $y_{\text{cm}} = \frac{2R}{\pi}$ दूरी पर।
• अर्धवृत्ताकार चकती या पटल (त्रिज्या $R$): सममिति अक्ष पर केंद्र से $y_{\text{cm}} = \frac{4R}{3\pi}$ दूरी पर।
• खोखला गोलार्ध (त्रिज्या $R$): केंद्र से अक्ष के अनुदिश $y_{\text{cm}} = \frac{R}{2}$ दूरी पर।
• ठोस गोलार्ध (त्रिज्या $R$): केंद्र से अक्ष के अनुदिश $y_{\text{cm}} = \frac{3R}{8}$ दूरी पर।
• ठोस शंकु (ऊंचाई $h$): वृत्ताकार आधार के केंद्र से अक्ष पर $y_{\text{cm}} = \frac{h}{4}$ ऊंचाई पर।

समय $t$ के सापेक्ष स्थिति सदिश का अवकलन करने पर द्रव्यमान केंद्र का वेग प्राप्त होता है:

पुनः अवकलन करने पर द्रव्यमान केंद्र का त्वरण प्राप्त होता है:

न्यूटन के तृतीय नियम के अनुसार आंतरिक पारस्परिक क्रिया-प्रतिक्रिया बल समान व विपरीत दिशा में होने के कारण शून्य हो जाते हैं: $\sum \vec{F}_{\text{int}} = 0$। अतः:

द्रव्यमान केंद्र का संवेग संरक्षण नियम: यदि निकाय पर कार्यरत कुल बाह्य बल शून्य हो ($\vec{F}_{\text{ext}} = 0$), तो $\vec{A}_{\text{cm}} = 0$ होता है तथा द्रव्यमान केंद्र का वेग $\vec{V}_{\text{cm}}$ नियत रहता है। उदाहरणार्थ, यदि हवा में उड़ता हुआ कोई प्रक्षेप्य आंतरिक विस्फोट से कई टुकड़ों में टूट जाए, तो उसके टुकड़े इधर-उधर बिखर जाते हैं, परंतु उसका द्रव्यमान केंद्र उसी मूल परवलयाकार मार्ग पर गति करता रहता है।

द्रव्यमान केंद्र: वह बिंदु जहां पूरे पिंड का द्रव्यमान संकेंद्रित होता है। गुरुत्व केंद्र: वह बिंदु जिसके माध्यम से पिंड पर कार्यरत संपूर्ण गुरुत्वाकर्षण बल (भार) की क्रिया रेखा गुजरती है। एकसमान गुरुत्वीय क्षेत्र में CM तथा CG एक ही बिंदु पर संपाती होते हैं। परंतु अत्यंत विशाल संरचनाओं में नीचे का भाग अधिक गुरुत्वीय बल अनुभव करता है, जिसके कारण गुरुत्व केंद्र द्रव्यमान केंद्र से थोड़ा नीचे स्थित होता है।

यदि दो सदिश $\vec{A}$ तथा $\vec{B}$ एक-दूसरे से $\theta$ कोण पर झुके हों, तो उनका सदिश गुणनफल एक ऐसा सदिश $\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}$ होता है, जिसका परिमाण:

होता है और जिसकी दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा $\vec{A}$ तथा $\vec{B}$ दोनों के तल के लंबवत प्राप्त होती है ($C = AB\sin\theta\,\hat{n}$)।

प्रमुख गणितीय गुणधर्म:

• क्रम-विनिमेय नहीं होता: $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$।
• समांतर सदिश: यदि सदिश समांतर हों, तो $\theta = 0^\circ \implies \vec{A} \times \vec{B} = 0$। अतः $\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0$।
• परस्पर लंबवत एकांक सदिश: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$।
• सारणिक (Determinant) रूप:$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} = \hat{i}(A_y B_z - A_z B_y) - \hat{j}(A_x B_z - A_z B_x) + \hat{k}(A_x B_y - A_y B_x)$$
• ज्यामितीय अर्थ: $|\vec{A} \times \vec{B}|$ का परिमाण उन दो सदिशों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को व्यक्त करता है।

किसी घूर्णन अक्ष अथवा बिंदु के परितः किसी बल के घूर्णन प्रभाव के माप को बल आघूर्ण (टॉर्क) कहते हैं। मूलबिंदु के सापेक्ष $\vec{r}$ स्थिति सदिश पर आरोपित बल $\vec{F}$ का बल आघूर्ण:

परिमाण: $\tau = r F \sin\theta = F (r\sin\theta) = F \cdot r_\perp$, जहां $r_\perp$ बल की क्रिया रेखा की घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी (लीवर भुजा) है। मात्रक: न्यूटन-मीटर ($\text{N}\cdot\text{m}$), विमाएं: $[ML^2T^{-2}]$।

किसी बिंदु के परितः गतिमान कण के रेखीय संवेग के आघूर्ण को उसका कोणीय संवेग कहते हैं। रेखीय संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ तथा स्थिति सदिश $\vec{r}$ होने पर:

परिमाण: $L = r p \sin\theta = m v r \sin\theta = p \cdot r_\perp$। मात्रक: $\text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$ अथवा जूल-सेकंड ($\text{J}\cdot\text{s}$), विमाएं: $[ML^2T^{-1}]$ (प्लांक नियतांक $h$ के समतुल्य)।

समय के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L}$ का अवकलन करने पर:

चूंकि $\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{v}$ और $\vec{p} = m\vec{v}$, इसलिए पहला पद $\vec{v} \times (m\vec{v}) = 0$ हो जाता है। साथ ही $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}_{\text{net}}$ होने से:

यह घूर्णी गति में न्यूटन का द्वितीय नियम है: किसी निकाय के कुल कोणीय संवेग के परिवर्तन की समय दर उस पर कार्यरत कुल बाह्य बल आघूर्ण के बराबर होती है।

कोई दृढ़ पिंड पूर्ण यांत्रिक संतुलन में तभी होता है जब वह निम्नलिखित दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करे:

1. स्थानांतरणीय संतुलन: पिंड पर कार्यरत सभी बाह्य बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए:$$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = 0 \iff \sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum F_z = 0$$इससे द्रव्यमान केंद्र का रेखीय त्वरण शून्य रहता है ($\vec{a}_{\text{cm}} = 0$)।
2. घूर्णी संतुलन: किसी भी बिंदु के परितः पिंड पर कार्यरत सभी बाह्य बल आघूर्णों का सदिश योग शून्य होना चाहिए:$$\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = 0 \iff \sum \tau_x = 0, \quad \sum \tau_y = 0, \quad \sum \tau_z = 0$$इससे पिंड का कोणीय त्वरण शून्य रहता है ($\vec{\alpha} = 0$)।

जब परिमाण में समान, दिशा में परस्पर विपरीत तथा भिन्न क्रिया-रेखाओं वाले दो समांतर बल किसी दृढ़ पिंड पर लगते हैं, तो वे एक बलयुग्म का निर्माण करते हैं। बलयुग्म का कुल परिणामी बल सदैव शून्य होता है ($\vec{F} + (-\vec{F}) = 0$), अतः यह कोई रेखीय गति उत्पन्न नहीं कर सकता। किंतु इसका बल आघूर्ण अशून्य होता है:

जहां $d$ दोनों बलों के बीच की लंबवत दूरी है, जिसे बलयुग्म की भुजा कहते हैं।

घूर्णी संतुलन में आलंब (fulcrum) के परितः सभी वामावर्त (anti-clockwise) आघूर्णों का योग सभी दक्षिणावर्त (clockwise) आघूर्णों के योग के बराबर होता है:

उत्तोलक के लिए भार $L$ तथा प्रयास बल $E$ होने पर $L \cdot d_L = E \cdot d_E$। अतः यांत्रिक लाभ (Mechanical Advantage - MA):

यदि प्रयास भुजा भार भुजा से लंबी हो ($d_E > d_L$), तो यांत्रिक लाभ 1 से अधिक होता है, जिससे कम बल लगाकर भी भारी वजन उठाया जा सकता है।

रेखीय गति में जो भूमिका द्रव्यमान ($M$) निभाता है, घूर्णी गति में किसी निश्चित घूर्णन अक्ष के परितः घूर्णन का विरोध करने वाली वही भूमिका जड़त्व आघूर्ण ($I$) निभाता है।

घूर्णन अक्ष से $r_i$ लंबवत दूरी पर स्थित $m_i$ द्रव्यमान वाले कणों के निकाय का जड़त्व आघूर्ण:

मात्रक: $\text{kg}\cdot\text{m}^2$, विमाएं: $[ML^2]$। यह एक प्रदिश (टेंसर) राशि है, किंतु निश्चित अक्ष के लिए धनात्मक अदिश की भांति व्यवहार करती है।

जड़त्व आघूर्ण की निर्भरता: (1) पिंड का कुल द्रव्यमान, (2) पिंड का आकार व आकृति, (3) घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण, और (4) घूर्णन अक्ष की स्थिति व दिशा। विशेष ध्यान दें: $I$ कोणीय वेग $\omega$ अथवा बल आघूर्ण $\tau$ पर बिल्कुल निर्भर नहीं करता।

किसी घूर्णन अक्ष के परितः किसी पिंड की घूर्णन त्रिज्या ($k$) वह लंबवत दूरी है, जहां यदि पिंड के संपूर्ण द्रव्यमान को एक बिंदु पर संकेंद्रित मान लिया जाए, तो उसका जड़त्व आघूर्ण वही रहता है:

समान द्रव्यमान $m$ के $n$ कणों के लिए:

अर्थात घूर्णन त्रिज्या कणों की अक्ष से लंबवत दूरियों का वर्ग-माध्य-मूल (RMS) मान होती है। इसका SI मात्रक मीटर ($\text{m}$) है।

1. समांतर अक्ष प्रमेय (Steiner's Theorem of Parallel Axes): किसी भी अक्ष के परितः किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण ($I$), उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाले समांतर अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ($I_{\text{cm}}$) तथा पिंड के कुल द्रव्यमान ($M$) एवं दोनों अक्षों के बीच की लंबवत दूरी ($d$) के वर्ग के गुणनफल के योग के बराबर होता है:

क्षेत्र: यह प्रमेय किसी भी आकृति के 1D, 2D अथवा 3D पिंडों हेतु सार्वभौमिक रूप से सत्य है।

2. लंबवत अक्ष प्रमेय (Theorem of Perpendicular Axes): किसी समतलीय द्विविमीय पटल (2D Lamina) के तल में स्थित दो परस्पर लंबवत अक्षों $x$ तथा $y$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_x$ तथा $I_y$ हों, तो पटल के तल के लंबवत तथा उनके प्रतिच्छेद बिंदु से गुजरने वाले $z$-अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण:

चेतावनी: यह प्रमेय केवल समतलीय पटल (2D) के लिए सत्य है; ठोस गोले या बेलन जैसे 3D पिंडों पर लागू नहीं होता।

नियत कोणीय त्वरण $\alpha$ से घूर्णन करने वाले पिंड के गति समीकरण रेखीय गति समीकरणों के सदृश होते हैं:

• $\omega = \omega_0 + \alpha t$ (रेखीय $v = u + at$ के सदृश)
• $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2$ (रेखीय $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ के सदृश)
• $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha \theta$ (रेखीय $v^2 = u^2 + 2as$ के सदृश)
• $\theta_n = \omega_0 + \frac{\alpha}{2}(2n - 1)$ ($n$-वें सेकंड में कोणीय विस्थापन)

न्यूटन के घूर्णी नियमानुसार $\vec{\tau}_{\text{ext}} = \frac{d\vec{L}}{dt}$। यदि किसी घूर्णन करते निकाय पर लगने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य हो ($\sum \vec{\tau}_{\text{ext}} = 0$):

कथन: जब किसी निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्यरत न हो, तो उसका कुल कोणीय संवेग परिमाण एवं दिशा में सदैव संरक्षित रहता है।

व्यावहारिक उदाहरण:

• नर्तकी का घूर्णन: जब कोई बैले नर्तकी अपने दोनों हाथों को सीने से सिकोड़ लेती है, तो घूर्णन अक्ष के निकट द्रव्यमान आने से उसका जड़त्व आघूर्ण $I$ घट जाता है। अतः कोणीय संवेग $I\omega$ को नियत रखने के लिए उसकी घूर्णन चाल $\omega$ अत्यधिक बढ़ जाती है।
• गोताखोर की कलाबाजी: पानी में कूदने के बाद गोताखोर अपने पैरों और हाथों को मोड़कर गोल हो जाता है, जिससे $I$ कम हो जाता है और वह हवा में तेजी से कई चक्कर लगा पाता है। पानी में प्रवेश से ठीक पहले वह शरीर सीधा कर $I$ बढ़ा लेता है, जिससे उसकी घूर्णन गति धीमी हो जाती है।
• केपलर का द्वितीय नियम: सूर्य का गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है, जिसका कोई बल आघूर्ण नहीं होता ($\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}_g = 0$)। अतः ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है ($L = mrv_\perp = \text{नियत}$), जिससे उसकी क्षेत्रीय चाल $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$ नियत रहती है। जब ग्रह सूर्य के समीप (उपसौर) होता है, तब उसका वेग अधिकतम होता है।

शुद्ध लोटनिक गति वास्तव में दो गतियों का संयोजन है: (1) द्रव्यमान केंद्र की $v_{\text{cm}}$ वेग से रेखीय स्थानांतरणीय गति, तथा (2) द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के परितः $\omega$ कोणीय वेग से घूर्णन गति।

$R$ त्रिज्या के किसी गोल पिंड के स्थिर सतह पर बिना फिसले लुढ़कने की शर्त:

• संपर्क बिंदु ($P$): घूर्णन वेग पीछे की ओर ($-R\omega$) तथा स्थानांतरण वेग आगे की ओर ($v_{\text{cm}}$) होता है। बिना फिसले चलने के लिए संपर्क बिंदु का तात्क्षणिक वेग शून्य होना चाहिए: $v_P = v_{\text{cm}} - \omega R = 0 \implies v_{\text{cm}} = \omega R$ तथा $a_{\text{cm}} = \alpha R$।
• शीर्ष बिंदु ($T$): दोनों वेग आगे की दिशा में जुड़ जाते हैं: $v_T = v_{\text{cm}} + \omega R = 2v_{\text{cm}}$।
• द्रव्यमान केंद्र ($C$): केवल स्थानांतरण वेग $v_{\text{cm}}$ होता है।

लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरणीय एवं घूर्णी गतिज ऊर्जा का योग होती है:

$I_{\text{cm}} = M k^2$ तथा $\omega = v_{\text{cm}}/R$ रखने पर:

स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा का अंश: $\frac{K_{\text{trans}}}{K_{\text{total}}} = \frac{1}{1 + k^2/R^2}$ तथा घूर्णी गतिज ऊर्जा का अंश: $\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{total}}} = \frac{k^2/R^2}{1 + k^2/R^2}$।

$\theta$ कोण तथा $h$ ऊर्ध्वाधर ऊंचाई वाले खुरदरे नत तल के शीर्ष से $M$ द्रव्यमान तथा $R$ त्रिज्या का गोल पिंड विराम से लुढ़कना प्रारंभ करे तो:

1. तल के निचले सिरे पर वेग ($v$): यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण से:

2. नत तल के अनुदिश रेखीय त्वरण ($a$):

3. बिना फिसले लुढ़कने हेतु आवश्यक स्थैतिक घर्षण बल:

4. आवश्यक न्यूनतम घर्षण गुणांक:

जिस पिंड के लिए अनुपात $k^2/R^2$ जितना कम होगा, उसका त्वरण $a$ और वेग $v$ उतना ही अधिक होगा और वह सबसे पहले तल पर पहुंचेगा:

• ठोस गोला: $k^2/R^2 = 2/5 = 0.40 \implies a = \frac{5}{7}g\sin\theta \approx 0.714\,g\sin\theta$ (प्रथम, सबसे तेज)
• ठोस बेलन / चकती: $k^2/R^2 = 1/2 = 0.50 \implies a = \frac{2}{3}g\sin\theta \approx 0.667\,g\sin\theta$ (द्वितीय)
• खोखला गोला: $k^2/R^2 = 2/3 \approx 0.67 \implies a = \frac{3}{5}g\sin\theta = 0.600\,g\sin\theta$ (तृतीय)
• वलय / खोखला पाइप: $k^2/R^2 = 1.00 \implies a = \frac{1}{2}g\sin\theta = 0.500\,g\sin\theta$ (चतुर्थ, सबसे धीमा)