स्थूल द्रव्य के गुण

प्रत्यास्थता (Elasticity): पदार्थ का वह स्वाभाविक गुण जिसके कारण विरूपक बाह्य बल हटा लिए जाने पर वस्तु अपनी मूल आकृति एवं आकार को पुनः प्राप्त कर लेती है, प्रत्यास्थता कहलाता है। जब विरूपक बल परमाणुओं को उनकी साम्यावस्था से विस्थापित करते हैं, तो आंतरिक अंतरापरमाण्विक प्रत्यानयन बल उत्पन्न होते हैं। सुघट्यता या प्लास्टिकता (Plasticity): यदि विरूपक बल हटाने पर वस्तु अपनी मूल अवस्था में न लौटे और स्थायी रूप से विकृत रहे, तो इस गुण को सुघट्यता कहते हैं (जैसे गीली मिट्टी या मोम)।

प्रतिबल (Stress, $\\sigma$): बाह्य बल द्वारा विकृत वस्तु के अनुप्रस्थ काट के एकांक क्षेत्रफल पर उत्पन्न आंतरिक प्रत्यानयन (प्रतिरोधी) बल को प्रतिबल कहते हैं:

SI मात्रक: $\text{N/m}^2$ अथवा पास्कल ($\text{Pa}$)। विमीय सूत्र: $[\text{M}\text{L}^{-1}\text{T}^{-2}]$। प्रतिबल के मुख्य प्रकार:

• अनुदैर्ध्य प्रतिबल (Longitudinal Stress): लंबाई के अनुदिश कार्य करने वाला प्रतिबल (तनन प्रतिबल से लंबाई बढ़ती है; संपीडन प्रतिबल से लंबाई घटती है)।
• अपरूपण या स्पर्शीय प्रतिबल (Shearing / Tangential Stress): पृष्ठ के समांतर स्पर्शीय दिशा में कार्य करने वाला बल जो आयतन स्थिर रखते हुए आकृति में परिवर्तन करता है।
• आयतन / जलीय प्रतिबल (Hydraulic Stress): संपूर्ण पृष्ठ पर लंबवत कार्य करने वाला एकसमान दाब जो आकृति बदले बिना आयतन में परिवर्तन करता है।

विकृति (Strain, $\\epsilon$): विरूपक बलों के प्रभाव से वस्तु की विमा में होने वाले आंशिक (भिन्नात्मक) परिवर्तन को विकृति कहते हैं:

चूंकि विकृति दो समान भौतिक राशियों का अनुपात है, अतः यह एक विमाहीन एवं मात्रकहीन राशि है। अनुदैर्ध्य विकृति $\epsilon_l = \frac{\Delta L}{L}$; अपरूपण विकृति $\theta = \frac{\Delta x}{h}$; आयतन विकृति $\epsilon_v = \frac{\Delta V}{V}$।

हुक का नियम (Hooke's Law): प्रत्यास्थता की सीमा के भीतर, प्रतिबल सदैव विकृति के अनुक्रमानुपाती होता है:

पॉइसन अनुपात (Poisson's Ratio, $\\sigma$): पाश्विक विकृति एवं अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात को पॉइसन अनुपात कहते हैं:

सैद्धांतिक सीमा: $-1 \le \sigma \le 0.5$। अधिकांश इंजीनियरिंग पदार्थों हेतु व्यावहारिक मान: $0 \le \sigma \le 0.5$ (इस्पात हेतु $\approx 0.28$, रबर हेतु $\approx 0.49$)।

$L$ लंबाई एवं $A$ अनुप्रस्थ काट के तार में $\Delta L$ प्रसार उत्पन्न करने में आंतरिक प्रत्यास्थ बल के विरुद्ध किया गया कार्य:

ऊर्जा घनत्व (Energy Density, $u$, एकांक आयतन में संचित ऊर्जा):

तरल वह पदार्थ है जो अपरूपण प्रतिबल सहन नहीं कर सकता और निरंतर प्रवाहित होता है। विरामावस्था में तरल द्वारा संपर्क तल के प्रति एकांक क्षेत्रफल पर अभिलंबवत आरोपित बल को जलस्थैतिक दाब कहते हैं:

SI मात्रक: पास्कल ($1\,\text{Pa} = 1\,\text{N/m}^2$)। मानक वायुमंडलीय दाब: $1\,\text{atm} = 1.01325 \times 10^5\,\text{Pa} = 760\,\text{mm of Hg}$।

गहराई के साथ दाब परिवर्तन: $\rho$ घनत्व के स्थिर द्रव में मुक्त पृष्ठ से $h$ गहराई पर कुल निरपेक्ष दाब:

जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दाब है। गेज दाब (Gauge Pressure): वायुमंडलीय दाब से अधिक अतिरिक्त दाब: $P_{\text{gauge}} = P - P_0 = \rho g h$।

पास्कल का नियम: किसी परिबद्ध असंपीड्य विरामावस्था वाले तरल के किसी भी भाग पर लगाया गया दाब बिना क्षय हुए तरल के प्रत्येक भाग तथा पात्र की दीवारों पर सभी दिशाओं में समान रूप से संचरित हो जाता है।

आर्किमिडीज का सिद्धांत: जब कोई वस्तु किसी स्थिर तरल में पूर्ण अथवा आंशिक रूप से डुबोई जाती है, तो उसके भार में एक आभासी कमी का अनुभव होता है। यह आभासी कमी वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होती है:

उत्प्लावन बल विस्थापित तरल के गुरुत्व केंद्र (उत्प्लावन केंद्र) से होकर ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है।

प्लवन के नियम: वस्तु के औसत घनत्व $\rho_b$ तथा तरल के घनत्व $\rho_f$ हेतु:

• डूब जाना: $\rho_b > \rho_f \implies$ भार > उत्प्लावन बल। वस्तु तली में डूब जाती है। आभासी भार: $W_{\text{app}} = V(\rho_b - \rho_f)g$।
• उदासीन साम्यावस्था: $\rho_b = \rho_f \implies$ वस्तु तरल में जिस गहराई पर रखी जाती है, वहीं तैरती रहती है।
• सतह पर तैरना: $\rho_b < \rho_f \implies$ वस्तु आंशिक रूप से डूबकर तैरती है: $V \rho_b g = V_{\text{sub}} \rho_f g \implies \frac{V_{\text{sub}}}{V} = \frac{\rho_b}{\rho_f}$।

श्यानता (Viscosity): तरल का वह आंतरिक गुण जिसके कारण वह अपनी विभिन्न परतों के मध्य होने वाली आपेक्षिक गति का विरोध करता है, श्यानता कहलाता है। यह तरल का आंतरिक घर्षण है।

न्यूटन का श्यानता नियम: संपर्क में स्थित दो समांतर द्रव परतों के मध्य स्पर्शीय श्यान बल $F$ परतों के क्षेत्रफल $A$ तथा अनुप्रस्थ वेग प्रवणता (Velocity Gradient, $\frac{dv}{dx}$) के अनुक्रमानुपाती होता है:

जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक (Coefficient of Viscosity) है। ऋण चिह्न यह दर्शाता है कि श्यान बल आपेक्षिक गति के विपरीत दिशा में कार्य करता है।

• SI मात्रक: $\text{N}\cdot\text{s/m}^2 = \text{Pa}\cdot\text{s}$ अथवा प्वाइजुली ($\text{Pl}$)।
• CGS मात्रक: $\text{dyn}\cdot\text{s/cm}^2 = \text{प्वाइज (Poise)} \implies 1\,\text{Pa}\cdot\text{s} = 10\,\text{प्वाइज}$।
• विमीय सूत्र: $[\eta] = [\text{M}\text{L}^{-1}\text{T}^{-1}]$।
• ताप का प्रभाव: द्रवों में ताप बढ़ाने पर श्यानता तेजी से घटती है। गैसों में ताप बढ़ाने पर श्यानता बढ़ती है ($\eta \propto \sqrt{T}$)।

जब कोई लघु, चिकना गोला जिसकी त्रिज्या $r$ हो, $\eta$ श्यानता गुणांक वाले अनंत व समांग माध्यम में $v$ वेग से गति करता है, तो उस पर कार्य करने वाला प्रतिरोधी श्यान बल:

मान लीजिए $\rho$ घनत्व का एक गोला $\sigma$ घनत्व वाले श्यान द्रव में गुरुत्वाकर्षण के अधीन स्वतंत्र रूप से गिरता है। गोले पर तीन बल कार्य करते हैं:

1. ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर वास्तविक भार: $W = mg = \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho\right)g$
2. ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल: $F_B = \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \sigma\right)g$
3. ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर स्टोक का श्यान बल: $F_v = 6\pi \eta r v$

परिणामी अधोमुखी बल: $F_{\text{net}} = W - F_B - F_v = m\frac{dv}{dt}$।

जैसे-जैसे वेग बढ़ता है, श्यान बल बढ़ता जाता है और अंततः विरोधी बल भार को संतुलित कर लेते हैं। तब त्वरण शून्य हो जाता है ($\frac{dv}{dt} = 0$) और गोला जिस नियत अधिकतम वेग से गिरने लगता है, उसे सीमांत वेग (Terminal Velocity, $v_t$) कहते हैं:

पाइप में प्रवाह की प्रकृति को निर्धारित करने वाली विमाहीन राशि रेनॉल्ड संख्या ($R_e$) है:

• $R_e < 1000$: धारारेखीय या अपरिक्षुब्ध प्रवाह (Laminar Flow)।
• $1000 < R_e < 2000$: अस्थिर या संक्रमण प्रवाह।
• $R_e > 2000$: विक्षुब्ध प्रवाह (Turbulent Flow)।

जब किसी तरल के प्रवाह में प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाले प्रत्येक कण का वेग परिमाण एवं दिशा में पूर्ववर्ती कण के समान रहता है, तो इसे धारारेखीय प्रवाह (Streamline Flow) कहते हैं।

अविरतता समीकरण: असमान अनुप्रस्थ काट वाली नली में किसी आदर्श असंपीड्य एवं अश्यान तरल के धारारेखीय प्रवाह में प्रति सेकंड प्रवाहित द्रव्यमान नियत रहता है:

यह द्रव्यमान संरक्षण के नियम की प्रत्यक्ष अभिव्यक्ति है। नली के संकीर्ण भाग में वेग समानुपाती रूप से बढ़ जाता है ($v \propto 1/A$)।

कथन: किसी आदर्श तरल (असंपीड्य एवं अश्यान) के धारारेखीय प्रवाह में किसी धारारेखा के अनुदिश एकांक आयतन की कुल यांत्रिक ऊर्जा—जिसमें दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा एवं गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा शामिल हैं—सदैव नियत रहती है:

प्रत्येक पद को $\rho g$ से विभाजित करने पर शीर्ष (Head) के रूप में निरूपण:

• $\frac{P}{\rho g} = \text{दाब शीर्ष (Pressure Head)}$
• $\frac{v^2}{2g} = \text{वेग शीर्ष (Velocity Head)}$
• $h = \text{गुरुत्वीय या स्थिति शीर्ष (Elevation Head)}$

1. वेंचुरीमीटर (Venturimeter): क्षैतिज नली में द्रव के प्रवाह की दर मापने का उपकरण। अविरतता व बर्नौली समीकरण से प्रवाह दर का सूत्र:$$Q = A_1 A_2 \sqrt{\frac{2gh}{\left(\frac{\rho_m}{\rho}\right)(A_1^2 - A_2^2)}}$$
2. टोरिसेली का बहिःस्राव नियम (Torricelli's Law of Efflux): मुक्त सतह से $h$ गहराई पर स्थित संकीर्ण छिद्र से द्रव के बाहर निकलने का वेग मुक्त पतन में प्राप्त वेग के बराबर होता है:$$v = \sqrt{2gh}$$

   फर्श पर गिरने की क्षैतिज परास: $R = 2\sqrt{h(H-h)}$। यदि छिद्र ठीक मध्य में ($h = H/2$) हो, तो क्षैतिज परास अधिकतम $R_{\max} = H$ होती है।

3. वायुयान का गतिशील उत्थापन (Dynamic Lift): पंख की विशेष आकृति के कारण ऊपरी सतह पर वायु का वेग बढ़ने से दाब घट जाता है, जिससे नीचे का उच्च दाब विमान को ऊपर उठाता है।
4. मैग्नस प्रभाव (Magnus Effect): घूर्णन करती हुई गेंद के दोनों ओर वायु के आपेक्षिक वेग में अंतर के कारण दाब प्रवणता उत्पन्न होती है और गेंद वक्र पथ पर मुड़ जाती है।

द्रव का प्रत्येक अणु अपने आण्विक प्रभाव क्षेत्र (त्रिज्या $\approx 10^{-9}\,\text{m}$) के भीतर अन्य अणुओं को आकर्षित करता है।

• अंदर स्थित अणु: चारों ओर समान रूप से घिरे होने के कारण परिणामी अंतर-आण्विक बल शून्य होता है।
• पृष्ठीय फिल्म का अणु: ऊपर अणु न होने के कारण अंदर की ओर एक परिणामी अधोमुखी ससंजक खिंचाव अनुभव करता है।

अतः द्रव की मुक्त सतह न्यूनतम क्षेत्रफल प्राप्त करने का प्रयास करती है और एक तनी हुई प्रत्यास्थ झिल्ली की भांति व्यवहार करती है। पृष्ठ तनाव ($T$): द्रव के मुक्त पृष्ठ पर खींची गई काल्पनिक रेखा की एकांक लंबाई पर पृष्ठ के स्पर्शरेखीय तथा रेखा के लंबवत कार्य करने वाला बल:

SI मात्रक: $\text{N/m}$। विमीय सूत्र: $[\text{M}\text{T}^{-2}]$।

आंतरिक अधोमुखी खिंचाव के विरुद्ध द्रव के मुक्त पृष्ठ का क्षेत्रफल $\Delta A$ बढ़ाने में किया गया कार्य पृष्ठीय स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है:

मात्रक: $\text{J/m}^2 = \text{N/m}$ (संख्यात्मक रूप से पृष्ठ तनाव और पृष्ठीय ऊर्जा समान होते हैं)।

पृष्ठ तनाव के कारण वक्र द्रव पृष्ठ के अवतल भाग का दाब सदैव उत्तल भाग के दाब से अधिक होता है।

स्पर्श कोण (Angle of Contact, $\\theta$): ठोस एवं द्रव के संपर्क बिंदु पर द्रव की सतह पर खींची गई स्पर्श रेखा ठोस की सतह के साथ द्रव के भीतर जो कोण बनाती है। भिगोने वाले द्रवों (जल-कांच) हेतु $\theta < 90^\circ$ (न्यूनकोण); न भिगोने वाले द्रवों (पारा-कांच) हेतु $\theta > 90^\circ$ (अधिककोण)।

केशिकीय उन्नयन सूत्र: $r$ त्रिज्या की केशनली को $\rho$ घनत्व के द्रव में ऊर्ध्वाधर डुबोने पर पृष्ठ तनाव बल द्रव स्तंभ के भार को संतुलित करता है:

ज्यूरिन का नियम: $h \cdot r = \text{नियत}$। केशनली जितनी संकीर्ण होगी, द्रव उतनी ही अधिक ऊंचाई तक चढ़ेगा।

ताप में वृद्धि से परमाणुओं के कंपन आयामों के असममित होने के कारण पदार्थों का विस्तार होता है।

• रेखीय प्रसार: $L = L_0(1 + \alpha \Delta T)$
• क्षेत्रीय प्रसार: $A = A_0(1 + \beta \Delta T)$
• आयतन प्रसार: $V = V_0(1 + \gamma \Delta T)$

समदैशिक (Isotropic) ठोसों हेतु संबंध:

जल का असंगत प्रसार: $0^\circ\text{C}$ से $4^\circ\text{C}$ तक गर्म करने पर जल का आयतन घटता है और घनत्व बढ़ता है। $4^\circ\text{C}$ पर जल का घनत्व अधिकतम ($1000\,\text{kg/m}^3$) होता है। इसी कारण अत्यधिक शीत ऋतु में झीलों की सतह पर बर्फ जमने पर भी तली में $4^\circ\text{C}$ ताप पर जलीय जीव सुरक्षित जीवित रहते हैं।

ऊष्मारोधी निकाय में गर्म वस्तुओं द्वारा दी गई ऊष्मा ठंडी वस्तुओं द्वारा ली गई ऊष्मा के बराबर होती है:

विशिष्ट ऊष्मा धारिता: $Q = m c \Delta T$; अवस्था परिवर्तन की गुप्त ऊष्मा: $Q = m L$। बर्फ के गलन की गुप्त ऊष्मा $L_f = 80\,\text{cal/g} = 3.36 \times 10^5\,\text{J/kg}$; जल के वाष्पन की गुप्त ऊष्मा $L_v = 540\,\text{cal/g} = 2.26 \times 10^6\,\text{J/kg}$।

1. ऊष्मा चालन (Fourier's Law): माध्यम के कणों के वास्तविक स्थानांतरण के बिना केवल कंपनों द्वारा ऊष्मा संचरण की दर:

जहाँ $K$ ऊष्मा चालकता गुणांक है (SI मात्रक: $\text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})$)। तापीय प्रतिरोध: $R_{\text{th}} = \frac{L}{KA}$।

2. ऊष्मा संवहन: माध्यम के कणों की वास्तविक गति द्वारा ऊष्मा का स्थानांतरण (तरलों अर्थात द्रवों व गैसों में होता है)।

3. ऊष्मा विकिरण: बिना किसी भौतिक माध्यम के विद्युत-चुंबकीय तरंगों के रूप में ऊष्मा का संचरण।

• स्टीफन-बोल्ट्जमान नियम: कृष्ण पिंड के एकांक क्षेत्रफल से प्रति सेकंड उत्सर्जित कुल विकिरण ऊर्जा परम ताप के चतुर्थ घात के समानुपाती होती है: $E = \sigma T^4$, जहाँ $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\text{W}/(\text{m}^2\cdot\text{K}^4)$। परिवेश $T_0$ होने पर: $\frac{dQ}{dt} = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$।
• वीन का विस्थापन नियम: अधिकतम विकिरण उत्सर्जन से संबंधित तरंगदैर्घ्य परम ताप के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\lambda_{\max} T = b \approx 2.898 \times 10^{-3}\,\text{m}\cdot\text{K}$।
• न्यूटन का शीतलन नियम: वस्तु एवं परिवेश के अल्प तापांतर हेतु: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$।