विद्युतचुंबकीय प्रेरण तथा प्रत्यावर्ती धारा

चुंबकीय क्षेत्र में स्थित किसी तल के लंबवत गुजरने वाली कुल चुंबकीय बल रेखाओं की संख्या को चुंबकीय फ्लक्स (Φ_B) कहते हैं। एकसमान चुंबकीय क्षेत्र 𝐁 में स्थित किसी समतल क्षेत्रफल सदिश 𝐀 से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स का मान निम्न अदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है:

जहाँ θ चुंबकीय क्षेत्र सदिश 𝐁 तथा तल के बाह्य अभिलंब सदिश 𝐧̂ के मध्य का कोण है। चुंबकीय फ्लक्स एक अदिश राशि है। SI पद्धति में इसका मात्रक वेबर (Weber, Wb) है, जहाँ 1 Wb = 1 T·m² = 1 V·s होता है। CGS पद्धति में इसका मात्रक मैक्सवेल (1 Wb = 10⁸ Maxwell) है। N फेरों वाली कुंडली के लिए कुल फ्लक्स बद्धता (flux linkage) λ = N Φ_B होती है।

सन् 1831 में माइकल फैराडे ने प्रायोगिक प्रेक्षणों के आधार पर दो मौलिक नियम प्रतिपादित किए:

• प्रथम नियम (गुणात्मक नियम): जब कभी किसी बंद परिपथ या कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स में समय के साथ परिवर्तन होता है, तो परिपथ में एक विद्युत वाहक बल (EMF) प्रेरित होता है, जिसके फलस्वरूप परिपथ में प्रेरित धारा बहती है। यह प्रेरित विद्युत वाहक बल केवल तब तक ही बना रहता है जब तक कि चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन जारी रहता है।
• द्वितीय नियम (मात्रात्मक नियम): किसी बंद परिपथ में प्रेरित विद्युत वाहक बल (E) का परिमाण परिपथ से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की समय-दर के अनुक्रमानुपाती होता है:
  |E| = N · |dΦ_B / dt|

सन् 1834 में हेनरिक लेन्ज़ ने प्रेरित विद्युत वाहक बल व प्रेरित धारा की दिशा निर्धारित करने वाला नियम दिया:

फैराडे के परिमाण और लेन्ज़ की दिशा को संयुक्त करने पर फैराडे-लेन्ज़ समीकरण प्राप्त होता है:

ऋणात्मक चिह्न लेन्ज़ के विरोधी प्रभाव को व्यक्त करता है।
ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत की उपपत्ति: मान लीजिए कि किसी छड़ चुंबक के उत्तरी ध्रुव (N-ध्रुव) को एक बंद चालक वलय की ओर लाया जाता है। लेन्ज़ के नियमानुसार वलय के सम्मुख फलक पर ऐसी वामावर्ती धारा प्रेरित होगी जिससे वहाँ भी उत्तरी ध्रुव बन जाए। अब दोनों सजातीय उत्तरी ध्रुवों के मध्य प्रतिकर्षण बल कार्य करेगा, जो चुंबक की गति का विरोध करेगा। चुंबक को कुंडली की ओर गतिमान बनाए रखने के लिए बाह्य कारक को इस प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध यांत्रिक कार्य करना पड़ता है। यही किया गया यांत्रिक कार्य परिपथ में विद्युत ऊर्जा के रूप में प्रकट होता है और अंततः प्रतिरोध में जूल ऊष्मा के रूप में व्यय होता है। यदि वलय में दक्षिणी ध्रुव बनता, तो चुंबक बिना किसी बाह्य ऊर्जा व्यय के स्वतः त्वरित होने लगता, जिससे बिना ऊर्जा दिए गतिज ऊर्जा उत्पन्न होती और ऊर्जा संरक्षण के प्रथम नियम का उल्लंघन होता। अतः लेन्ज़ का नियम ऊर्जा संरक्षण का ही प्रत्यक्ष प्रमाण है।

यदि R प्रतिरोध की कुंडली में फ्लक्स परिवर्तन हो, तो तात्क्षणिक प्रेरित धारा:

समयांतराल Δt में परिपथ के किसी अनुप्रस्थ परिच्छेद से प्रवाहित कुल प्रेरित आवेश Δq होगा:

जब l लंबाई की एक चालक छड़ एकसमान स्थिर चुंबकीय क्षेत्र 𝐁 के लंबवत 𝐯 वेग से गति करती है, तो छड़ के भीतर उपस्थित मुक्त चालन इलेक्ट्रॉनों पर एक चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल कार्य करता है:

इस बल के कारण इलेक्ट्रॉन छड़ के एक सिरे की ओर गति करते हैं, जिससे दूसरे सिरे पर धनावेश का आधिक्य हो जाता है। इस आवेश पृथक्करण से छड़ के भीतर एक आंतरिक स्थिरवैद्युत क्षेत्र 𝐄 स्थापित हो जाता है। साम्यावस्था में वैद्युत बल और चुंबकीय बल परस्पर बराबर व विपरीत हो जाते हैं (e E = e v B ⟹ E = v B)। अतः चालक छड़ के दोनों सिरों के मध्य प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल का मान होता है:

मान लीजिए कि l लंबाई की एक धात्विक छड़ अपने एक सिरे के परितः चुंबकीय क्षेत्र 𝐁 के अभिलंबवत ω एकसमान कोणीय वेग से घूर्णन कर रही है। घूर्णन अक्ष से r दूरी पर स्थित एक अल्पांश dr का रेखीय वेग v = ω r होगा। इस अल्पांश में प्रेरित अल्प विद्युत वाहक बल:

संपूर्ण छड़ के लिए r = 0 से r = l तक समाकलन करने पर:

जहाँ f = ω / (2π) घूर्णन आवृत्ति है तथा A = π l² छड़ द्वारा प्रति परिक्रमण तय किया गया क्षेत्रफल है।

यदि गतिशील छड़ R प्रतिरोध की पटरियों पर फिसलकर बंद परिपथ बनाती है, तो प्रेरित धारा I = E / R = (B v l) / R होगी। चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही छड़ पर एक विरोधी चुंबकीय बल लगता है:

छड़ को स्थिर वेग v से गतिमान रखने के लिए बाह्य कारक द्वारा आपूर्त यांत्रिक शक्ति:

परिपथ के प्रतिरोध में जूल ऊष्मा के रूप में व्यय वैद्युत शक्ति:

अतः P_यांत्रिक ≡ P_वैद्युत, जो ऊर्जा संरक्षण के नियम की पूर्ण पुष्टि करता है।

जब किसी स्थूल धातु के टुकड़े या क्रोड को किसी परिवर्तनशील चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है अथवा चुंबकीय क्षेत्र में तीव्र गति कराई जाती है, तो धातु के संपूर्ण आयतन में जल के भंवर के समान बंद लूपों में प्रेरित धाराएं उत्पन्न हो जाती हैं। सन् 1851 में लेओन फूको द्वारा खोजे जाने के कारण इन्हें भंवर धाराएं या फूको धाराएं कहते हैं।

जब किसी कुंडली में प्रवाहित धारा में परिवर्तन किया जाता है, तो स्वयं उसी कुंडली से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होने के कारण उसमें एक विरोधी विद्युत वाहक बल प्रेरित हो जाता है। इस परिघटना को स्वप्रेरण (Self-Induction) कहते हैं। यांत्रिकी में द्रव्यमान जिस प्रकार गति में परिवर्तन का विरोध करता है, परिपथ में स्वप्रेरकत्व भी विद्युत धारा के किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है; इसलिए इसे विद्युत जड़त्व (Electrical Inertia) कहा जाता है। कुंडली की कुल फ्लक्स बद्धता धारा के अनुक्रमानुपाती होती है:

जहाँ L कुंडली का स्वप्रेरकत्व (Self-Inductance) है। फैराडे के नियमानुसार प्रेरित विरोधी विद्युत वाहक बल (Back-EMF):

1 हेनरी की परिभाषा: यदि किसी कुंडली में 1 ऐम्पीयर प्रति सेकंड की दर से धारा परिवर्तन होने पर उसमें 1 वोल्ट का विरोधी विद्युत वाहक बल प्रेरित हो, तो उस कुंडली का स्वप्रेरकत्व 1 हेनरी (1 H) कहलाता है।

मान लीजिए कि l लंबाई, A अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल तथा N कुल फेरों वाली एक लंबी वायु-क्रोड परिनालिका है (प्रति एकांक लंबाई फेरों की संख्या n = N / l)। परिनालिका में I धारा प्रवाहित करने पर अक्षीय चुंबकीय क्षेत्र B = μ₀ n I होता है। प्रत्येक फेरे से संबद्ध फ्लक्स Φ_B = B A = (μ₀ n I) A होगा। कुल फ्लक्स बद्धता:

समीकरण N Φ_B = L I से तुलना करने पर परिनालिका का स्वप्रेरकत्व प्राप्त होता है:

जहाँ V = A l परिनालिका का आयतन है। यदि परिनालिका के भीतर μ_r आपेक्षिक पारगम्यता वाला नर्म लोहे का क्रोड रखा जाए, तो L = μ_r μ₀ n² A l हो जाता है।

पास-पास रखी दो कुंडलियों में से किसी एक (प्राथमिक) में धारा परिवर्तन करने पर दूसरी (द्वितीयक) कुंडली में विद्युत वाहक बल प्रेरित होने की घटना को अन्योन्य प्रेरण (Mutual Induction) कहते हैं। द्वितीयक कुंडली की फ्लक्स बद्धता प्राथमिक धारा I₁ के अनुक्रमानुपाती होती है:

पारस्परिक उत्क्रमणीयता प्रमेय के अनुसार M₁₂ = M₂₁ = M होता है। दो समाक्षीय लंबी परिनालिकाओं का अन्योन्य प्रेरकत्व:

जहाँ r₁ आंतरिक परिनालिका की त्रिज्या है। युग्मन गुणांक (k): दो कुंडलियों के स्वप्रेरकत्व L₁ व L₂ होने पर उनके मध्य चुंबकीय युग्मन की दक्षता को निम्न अनुपात से व्यक्त करते हैं:

किसी प्रेरक में धारा को शून्य से I तक स्थापित करने में प्रेरित विरोधी विद्युत वाहक बल के विरुद्ध किया गया कार्य प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है:

परिनालिका हेतु L = μ₀ n² A l तथा I = B / (μ₀ n) प्रतिस्थापित करने पर:

चुंबकीय क्षेत्र के प्रति एकांक आयतन में संचित ऊर्जा को चुंबकीय ऊर्जा घनत्व कहते हैं:

वह धारा या वोल्टता जिसका परिमाण समय के साथ निरंतर परिवर्तित होता है तथा जिसकी दिशा निश्चित समयांतराल के पश्चात उत्क्रमित होती रहती है, उसे प्रत्यावर्ती धारा (AC) कहते हैं:

• अर्ध-चक्र का माध्य मान (Mean Value): पूर्ण चक्र में साइन तरंग का कुल औसत मान शून्य होता है। धनात्मक अर्ध-चक्र (0 ≤ t ≤ T/2) में औसत मान होता है:
  I_avg = (2 / T) ∫₀^(T/2) I₀ sin(ω t) dt = (2 I₀ / π) ≈ 0.637 I₀
• वर्ग माध्य मूल या प्रभावी मान (Root Mean Square / RMS Value): किसी प्रतिरोध में दिए गए समय में किसी प्रत्यावर्ती धारा द्वारा उत्पन्न जूल ऊष्मा के बराबर ऊष्मा उत्पन्न करने वाली नियत दिष्ट धारा (DC) के मान को उस प्रत्यावर्ती धारा का RMS या प्रभावी मान कहते हैं:
  I_rms = I₀ / √2 ≈ 0.707 I₀, V_rms = V₀ / √2 ≈ 0.707 V₀

शुद्ध प्रतिरोध R पर v = V₀ sin(ω t) लगाने पर ओम के नियमानुसार धारा i = v / R = (V₀ / R) sin(ω t) = I₀ sin(ω t) होती है। यहाँ वोल्टता तथा धारा समान कला (in-phase) में होते हैं (कलान्तर φ = 0)।

शुद्ध प्रेरकत्व L वाले परिपथ में v - L(di/dt) = 0 होता है। समाकलन करने पर धारा प्राप्त होती है:

कला संबंध: शुद्ध प्रेरक परिपथ में वोल्टता धारा से π/2 अथवा 90° कला में आगे (lead) होती है (अथवा धारा 90° पश्चगामी होती है)। प्रेरक द्वारा प्रत्यावर्ती धारा के मार्ग में प्रस्तुत प्रभावी अवरोध को प्रेरणिक प्रतिघात (Inductive Reactance, X_L) कहते हैं:

दिष्ट धारा (DC) के लिए f = 0 होने के कारण X_L = 0 होता है। अतः शुद्ध प्रेरक DC को शून्य प्रतिरोध प्रस्तुत करता है।

शुद्ध संधारित्र C वाले परिपथ में आवेश q = C v = C V₀ sin(ω t) होता है। अवकलन करने पर धारा:

कला संबंध: शुद्ध संधारित्र परिपथ में धारा वोल्टता से π/2 अथवा 90° कला में आगे (lead) होती है। संधारित्र द्वारा प्रत्यावर्ती धारा के प्रवाह में डाले गए अवरोध को धारितीय प्रतिघात (Capacitive Reactance, X_C) कहते हैं:

दिष्ट धारा (DC) के लिए f = 0 होने पर X_C → ∞ हो जाता है; अतः संधारित्र दिष्ट धारा को पूर्णतः अवरुद्ध (block) कर देता है।

जब एक प्रतिरोधक R, प्रेरकत्व L तथा संधारित्र C श्रेणीक्रम में AC स्रोत v = V₀ sin(ω t) से जुड़े हों, तो तीनों घटकों में समान तात्क्षणिक धारा i(t) = I₀ sin(ω t) प्रवाहित होती है। घटकों के सिरों पर विभवांतर:

• V_R = I R (धारा के साथ समान कला में)
• V_L = I X_L (धारा से +90° अग्रगामी)
• V_C = I X_C (धारा से -90° पश्चगामी)

चूँकि V_L एवं V_C एक ही सरल रेखा पर परस्पर विपरीत दिशा में हैं, परिणामी प्रतिघाती वोल्टता (V_L - V_C) = I(X_L - X_C) होगी। फेज़र आरेख से स्रोत की परिणामी शिखर वोल्टता:

परिपथ द्वारा प्रत्यावर्ती धारा के प्रवाह में उत्पन्न कुल प्रभावी अवरोध को प्रतिबाधा (Impedance, Z) कहते हैं:

परिणामी वोल्टता तथा धारा के मध्य कलान्तर कोण φ हो, तो:

जब परिपथ में आरोपित स्रोत की आवृत्ति ऐसी हो कि प्रेरणिक प्रतिघात धारितीय प्रतिघात के बिल्कुल बराबर हो जाए, तो इस अवस्था को श्रेणी अनुनाद कहते हैं:

अनुनादी आवृत्ति (Resonant Frequency):

अनुनाद अवस्था के प्रमुख अभिलक्षण:

1. कुल प्रतिघात शून्य हो जाता है (X_L - X_C = 0)।
2. परिपथ की प्रतिबाधा न्यूनतम हो जाती है तथा केवल ओमीय प्रतिरोध के बराबर होती है: Z_min = R।
3. परिपथ में धारा का आयाम अधिकतम हो जाता है: I_max = V_rms / R।
4. वोल्टता और धारा समान कला में होते हैं (φ = 0), शक्ति गुणांक cos φ = 1 होता है।
5. श्रेणी अनुनादी परिपथ को ग्राही परिपथ (Acceptor Circuit) कहा जाता है, जिसका उपयोग रेडियो रिसीवरों में वांछित स्टेशन ट्यून करने में होता है।

अनुनाद वक्र की तीक्ष्णता अथवा परिपथ की चयनात्मकता (selectivity) को गुणता कारक (Q) से मापा जाता है। यह अनुनादी कोणीय आवृत्ति तथा अर्ध-शक्ति बैंडविद्थ Δω = R / L का अनुपात होता है:

अनुनाद की स्थिति में प्रेरक अथवा संधारित्र के सिरों पर वोल्टता प्रवर्धन को भी Q द्वारा व्यक्त किया जाता है: Q = V_L / V = V_C / V।

एक पूर्ण चक्र में परिपथ में व्यय औसत वैद्युत शक्ति निम्न होती है:

जहाँ cos φ = R / Z को परिपथ का शक्ति गुणांक (Power Factor) कहते हैं।

• शुद्ध प्रतिरोधक में: φ = 0 ⟹ cos φ = 1 ⟹ P_avg = V_rms I_rms (अधिकतम ऊर्जा क्षय)।
• शुद्ध प्रेरक या शुद्ध संधारित्र में: φ = ±90° ⟹ cos φ = 0 ⟹ P_avg = 0। अर्थात् कोई ऊर्जा क्षय नहीं होता।
• वाटहीन धारा (Wattless Current): धारा I_rms का वह घटक (I_rms sin φ) जो वोल्टता से 90° कलान्तर पर होता है, उसके द्वारा व्यय औसत शक्ति V_rms (I_rms sin φ) cos(90°) = 0 होती है। इस घटक को वाटहीन धारा कहते हैं।
• चोक कुंडली (Choke Coil): उच्च स्वप्रेरकत्व L तथा नगण्य प्रतिरोध R वाली कुंडली, जिसका उपयोग प्रत्यावर्ती परिपथों में बिना ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट किए धारा को नियंत्रित करने हेतु धारा नियंत्रक (rheostat) के स्थान पर किया जाता है।

वह युक्ति जो विद्युतचुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर यांत्रिक ऊर्जा को प्रत्यावर्ती विद्युत ऊर्जा में रूपांतरित करती है, AC जनित्र कहलाती है।

सिद्धांत एवं समीकरण: जब N फेरों तथा A क्षेत्रफल वाली आयताकार कुंडली एकसमान चुंबकीय क्षेत्र 𝐁 में ω नियत कोणीय वेग से घूर्णन करती है, तो t समय पर कुंडली से बद्ध फ्लक्स Φ_B = B A cos(ω t) होता है। फैराडे के नियमानुसार प्रेरित विद्युत वाहक बल:

जहाँ शिखर मान E₀ = N B A ω = 2π f N B A होता है। मुख्य भाग: (1) आर्मेचर कुंडली, (2) क्षेत्र चुंबक, (3) सर्पी वलय (Slip Rings), तथा (4) कार्बन ब्रश।

यह अन्योन्य प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करने वाली एक ऐसी स्थिर वैद्युत युक्ति है जिसके द्वारा बिना आवृत्ति बदले प्रत्यावर्ती वोल्टता को बढ़ाया या घटाया जा सकता है।

कार्यप्रणाली एवं सूत्र: नर्म लोहे के पटलित क्रोड पर प्राथमिक कुंडली (फेरे N_p) तथा द्वितीयक कुंडली (फेरे N_s) लिपटी होती हैं। फ्लक्स क्षरण नगण्य होने पर दोनों कुंडलियों के प्रति फेरे में समान फ्लक्स परिवर्तन होता है:

भाग देने पर परिणमन अनुपात (Transformation Ratio, k) प्राप्त होता है:

आदर्श ट्रांसफार्मर (100% दक्षता) के लिए निवेशी शक्ति = निर्गत शक्ति (V_p I_p = V_s I_s):

• उच्चायी ट्रांसफार्मर (Step-Up): N_s > N_p ⟹ k > 1, वोल्टता बढ़ती है (V_s > V_p) किंतु धारा घटती है (I_s < I_p)।
• अपचायी ट्रांसफार्मर (Step-Down): N_s < N_p ⟹ k < 1, वोल्टता घटती है (V_s < V_p) किंतु धारा बढ़ती है (I_s > I_p)।

विद्युत उत्पादन केंद्र से R_line प्रतिरोध वाले तारों द्वारा P वैद्युत शक्ति भेजते समय धारा I = P / V होती है। संचरण तारों में व्यय जूल तापीय शक्ति:

यदि वोल्टता V को 10 गुना बढ़ा दिया जाए, तो संचरण तारों में तापीय ऊर्जा हानि 100 गुना घट जाती है (10² = 100)। इसी कारण विद्युत गृहों पर स्टेप-अप ट्रांसफार्मर द्वारा वोल्टता को 132 kV से 400 kV तक बढ़ाकर भेजा जाता है, जिससे पतले तारों से भी नगण्य हानि के साथ सैकड़ों किलोमीटर दूर विद्युत प्रेषित की जा सकती है।