विद्युतचुंबकीय तरंगें

चिरसम्मत स्थिरचुंबकत्व में ऐम्पियर का परिपथीय नियम व्यक्त करता है कि किसी बंद वक्र C के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र 𝐁 का रेखीय समाकलन उस वक्र द्वारा परिबद्ध किसी भी खुले पृष्ठ S से गुजरने वाली कुल चालन धारा I_c का μ₀ गुना होता है:

सन् १८६४ में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने दर्शाया कि समय के साथ परिवर्ती धाराओं (जैसे संधारित्र के आवेशन या निरावेशन) के संदर्भ में यह नियम एक गंभीर तार्किक विसंगति उत्पन्न करता है।

संधारित्र आवेशन का विरोधाभास: संधारित्र की प्लेट तक जाने वाले चालक तार के परितः एक वृत्ताकार ऐम्पियरी लूप C की कल्पना करें:

• यदि हम C द्वारा परिबद्ध एक समतल वृत्ताकार पृष्ठ S₁ का चयन करते हैं, तो संयोजक तार से प्रवाहित चालन धारा i(t) इस पृष्ठ को छेदती है, जिससे:
  ∮_C 𝐁 · d𝐥 = μ₀ i(t)
• परंतु यदि हम उसी बंद सीमा C वाला एक थैले के आकार का पृष्ठ S₂ चुनें जिसका उभार संधारित्र की दोनों प्लेटों के बीच के रिक्त स्थान में फैला हो, तो प्लेटों के मध्य केवल निर्वात या परावैद्युत होने के कारण कोई मुक्त आवेश गति नहीं करता (I_c = 0)। अतः:
  ∮_C 𝐁 · d𝐥 = 0

चूंकि समाकलन का बायां पक्ष केवल बंद सीमा C पर निर्भर करता है, अतः एक ही परिसीमा वाले दो पृष्ठों के लिए दो परस्पर विरोधी परिणाम (μ₀ i(t) ≠ 0) नहीं हो सकते। इसने सिद्ध किया कि समय-परिवर्ती क्षेत्रों के लिए ऐम्पियर का परिपथीय नियम अपूर्ण था।

मैक्सवेल ने अनुभव किया कि यद्यपि प्लेटों के मध्य कोई वास्तविक आवेश प्रवाहित नहीं होता, परंतु संधारित्र पर आवेश q(t) बढ़ने के साथ प्लेटों के बीच का विद्युत क्षेत्र E(t) समय के साथ तेजी से परिवर्तित होता है। A क्षेत्रफल वाली प्लेटों के मध्य एकसमान विद्युत क्षेत्र:

अतः संधारित्र की प्लेटों के बीच पृष्ठ S₂ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स Φ_E है:

समय के सापेक्ष अवकलन करने पर:

मैक्सवेल ने प्रतिपादित किया कि विद्युत फ्लक्स में परिवर्तन की यह दर एक आभासी धारा की भांति व्यवहार करती है और चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करने में उतनी ही सक्षम है जितनी कि वास्तविक धारा। इसे विस्थापन धारा (Displacement Current, I_d) कहा जाता है:

परावैद्युतांक ε_r वाले माध्यम में विस्थापन धारा I_d = ε (dΦ_E / dt) = ε₀ ε_r (dΦ_E / dt) होती है।

परिपथ के किसी भी भाग में कुल धारा, चालन धारा तथा विस्थापन धारा का योग होती है:

इस प्रकार संपूर्ण परिपथ में कुल धारा अविच्छिन्न रहती है: जो तार में चालन धारा है, वही प्लेटों के मध्य विस्थापन धारा में रूपांतरित हो जाती है।

विस्थापन धारा को समाहित करने पर ऐम्पियर का नियम व्यापक रूप ग्रहण करता है, जिसे ऐम्पियर-मैक्सवेल नियम कहते हैं:

यह नियम सिद्ध करता है कि चुंबकीय क्षेत्र दो स्वतंत्र कारणों से उत्पन्न होता है: गतिमान आवेशों (चालन धारा) द्वारा तथा समय-परिवर्ती विद्युत क्षेत्रों द्वारा।

मैक्सवेल ने विद्युत एवं चुंबकत्व के समस्त चिरसम्मत नियमों को चार मूलभूत समाकल समीकरणों में संकलित किया:

आवेशहीन (ρ = 0) और चालन धारा रहित (I_c = 0) मुक्त अंतरिक्ष में मैक्सवेल समीकरण अद्वितीय सममिति प्रदर्शित करते हैं:

बदलता हुआ विद्युत क्षेत्र चुंबकीय क्षेत्र बनाता है, और बदलता हुआ चुंबकीय क्षेत्र विद्युत क्षेत्र बनाता है। यह परस्पर पुनर्जनन अंतरिक्ष में एक स्वपोषित तरंग के रूप में आगे बढ़ता है, जिसे विद्युतचुंबकीय तरंग कहते हैं।

मैक्सवेल के समीकरणों पर अवकलन कर्ल संक्रियाएं (∇ ×) लागू करके विद्युत एवं चुंबकीय क्षेत्रों के त्रिविमीय तरंग समीकरण प्राप्त होते हैं:

मानक तरंग समीकरण ∇²ψ = (1/v²) (∂²ψ / ∂t²) से तुलना करने पर निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंग की चाल c प्राप्त होती है:

मानक नियतांकों के मान रखने पर:

• निर्वात की चुंबकशीलता: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A = 1.2566 × 10⁻⁶ N/A²
• निर्वात की विद्युतशीलता: ε₀ = 8.8542 × 10⁻¹² C²/(N·m²)

प्रयोगात्मक रूप से मापी गई प्रकाश की चाल से इस पूर्ण सामंजस्य के आधार पर मैक्सवेल ने ऐतिहासिक निष्कर्ष दिया: प्रकाश स्वयं एक विद्युतचुंबकीय तरंग है!

आपेक्षिक विद्युतशीलता ε_r = K और आपेक्षिक चुंबकशीलता μ_r ≈ 1 वाले अचुंबकीय परावैद्युत माध्यम में तरंग चाल v घट जाती है:

अतः माध्यम का अपवर्तनांक (Refractive Index, n) विद्युतचुंबकीय गुणों से सीधे संबंधित है:

आवेश की गति की प्रकृति के आधार पर विकिरण का वर्गीकरण:

• स्थिर आवेश (v = 0): केवल स्थिरवैद्युत क्षेत्र 𝐄 उत्पन्न करता है; कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं होता, अतः कोई तरंग विकिरित नहीं होती।
• एकसमान वेग से गतिमान आवेश (v = नियत, a = 0): अपरिवर्ती विद्युत व चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। इसकी ऊर्जा आवेश के साथ ही बंधी रहती है, मुक्त अंतरिक्ष में विकिरित नहीं होती।
• त्वरित अथवा दोलायमान आवेश (a ≠ 0): समय-परिवर्ती विद्युत व चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है जो स्रोत से पृथक होकर विद्युतचुंबकीय तरंगों के रूप में अंतरिक्ष में प्रसारित होते हैं।

हर्ट्ज़ का प्रयोगात्मक सत्यापन (१८८७): हाइनरिक हर्ट्ज़ ने स्पार्क-गैप और प्रेरक कुंडली (LC दोलक) का उपयोग करके प्रयोगशाला में पहली बार कृत्रिम रेडियो तरंगें उत्पन्न कीं और कुछ दूरी पर स्थित तार के खुले लूप में सूक्ष्म स्पार्क देखकर उनका संसूचन किया।

आचार्य जगदीश चंद्र बोस का योगदान (१८৯৫): कोलकाता में सर जे.सी. बोस ने विश्व में पहली बार अत्यंत सूक्ष्म तरंगदैर्घ्य (५ मिमी से २५ मिमी) की मिलीमीटर सूक्ष्म तरंगें (Microwaves) उत्पन्न कीं और हॉर्न एंटीना व गैलेना क्रिस्टल संसूचक बनाकर आधुनिक माइक्रोवेव प्रकाशिकी की नींव रखी।

माना एक समतल ज्यावक्रीय तरंग निर्वात में धनात्मक x-दिशा में संचरित हो रही है:

• विद्युत क्षेत्र सदिश y-अक्ष के अनुदिश दोलन करता है:
  𝐄(x, t) = E_y(x, t) 𝐣̂ = E₀ sin(k x - ω t) 𝐣̂
• चुंबकीय क्षेत्र सदिश z-अक्ष के अनुदिश दोलन करता है:
  𝐁(x, t) = B_z(x, t) 𝐤̂ = B₀ sin(k x - ω t) 𝐤̂

यहाँ E₀ और B₀ शिखर आयाम हैं, ω = 2π f कोणीय आवृत्ति है, और k = 2π / λ = ω / c तरंग संख्या (प्रसारण नियतांक) है।

विद्युतचुंबकीय तरंगें पूर्णतः अनुप्रस्थ तरंगें (Transverse Waves) हैं। विद्युत क्षेत्र सदिश 𝐄 और चुंबकीय क्षेत्र सदिश 𝐁 परस्पर लंबवत होते हैं और दोनों ही तरंग संचरण दिशा 𝐤̂ के लंबवत होते हैं:

गॉस के नियम से उपपत्ति: आवेश-मुक्त अंतरिक्ष में संचरित तरंग के लिए गॉस का नियम ∂E_x / ∂x = 0 देता है। इसका अर्थ है कि संचरण की दिशा में कोई स्थानिक रूप से परिवर्ती तरंग घटक नहीं हो सकता (E_x = 0 तथा इसी प्रकार B_x = 0)। अतः विद्युतचुंबकीय तरंगों में कोई अनुदैर्घ्य घटक नहीं होता।

फैराडे समीकरण ∂E_y/∂x = -∂B_z/∂t में ज्यावक्रीय मान रखने पर:

दोनों पक्षों के कोसाइन पद सर्वसमिका रूप से निरस्त होने पर दो मौलिक परिणाम प्राप्त होते हैं:

1. समान कला (In-phase): 𝐄 और 𝐁 समय और स्थान के सापेक्ष पूर्णतः समान कला में दोलन करते हैं (कलांतर Δφ = 0)। वे एक ही स्थान व एक ही समय पर अपने उच्चिष्ठ, शून्य तथा निम्निष्ठ मान प्राप्त करते हैं।
2. आयाम अनुपात: विद्युत क्षेत्र आयाम और चुंबकीय क्षेत्र आयाम का अनुपात निर्वात में प्रकाश की चाल के बराबर होता है:
   E₀ / B₀ = ω / k = c ⟹ E(x, t) / B(x, t) = c

चूंकि c ≈ 3 × 10⁸ m/s, एस.आई. मात्रकों में E₀ का संख्यात्मक मान B₀ की तुलना में अत्यधिक बड़ा होता है (जैसे E₀ = 300 V/m तो B₀ = 10⁻⁶ T = 1 μT)। पदार्थ व दृष्टि संवेदना पर लॉरेंट्ज़ बल का विद्युत घटक (q𝐄) चुंबकीय घटक (qvB) की तुलना में बहुत प्रबल होता है, इसलिए विद्युत क्षेत्र सदिश को प्रकाश सदिश (Light Vector) कहा जाता है।

विद्युतचुंबकीय तरंगें अंतरिक्ष में ऊर्जा का संचरण करती हैं जो विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों में संचित होती है:

• तात्क्षणिक स्थिरवैद्युत ऊर्जा घनत्व:
  u_E = 1/2 ε₀ E² = 1/2 ε₀ E₀² sin²(k x - ω t)
• तात्क्षणिक चुंबकीय ऊर्जा घनत्व:
  u_B = B² / (2 μ₀) = B₀² sin²(k x - ω t) / (2 μ₀)

ऊर्जा का समविभाजन (Equipartition of Energy): चूंकि E₀ = c B₀ तथा c² = 1 / (μ₀ ε₀):

अर्थात विद्युतचुंबकीय ऊर्जा विद्युत एवं चुंबकीय क्षेत्रों के बीच समान रूप से विभाजित रहती है!

एक पूर्ण चक्र पर ⟨sin²θ⟩ = 1/2 होता है, अतः औसत ऊर्जा घनत्व:

सन् १८८४ में जॉन हेनरी पॉइंटिंग ने प्रतिपादित किया कि विद्युतचुंबकीय तरंग के प्रति एकांक क्षेत्रफल से ऊर्जा संचरण की दर पॉइंटिंग सदिश (Poynting Vector, 𝐒) द्वारा दी जाती है:

गुणधर्म:

• 𝐒 की दिशा तरंग संचरण तथा ऊर्जा प्रवाह की दिशा (+x दिशा) व्यक्त करती है।
• इसका एस.आई. मात्रक वाट प्रति वर्गमीटर (W/m² अथवा J/(s·m²)) है।

तरंग की तीव्रता (Intensity, I): पॉइंटिंग सदिश के समय-औसत परिमाण को तरंग की तीव्रता कहते हैं:

विद्युतचुंबकीय तरंगें केवल ऊर्जा ही नहीं ले जातीं, बल्कि संवेग भी वहन करती हैं। जब कुल विकिरण ऊर्जा U किसी पृष्ठ पर अभिलंबवत आपतित होती है:

• १. पूर्ण अवशोषक पृष्ठ (Perfect Absorber):
  पृष्ठ को अंतरित संवेग: p = U / c
  प्रयुक्त बल F = dp/dt = P_power / c。
  अतः विकिरण दाब (Radiation Pressure) है:
  P_rad = F / A = I / c = ⟨u_total⟩
• २. पूर्ण परावर्तक पृष्ठ (Perfect Reflector): आपतित संवेग +U/c और परावर्तित संवेग -U/c होने के कारण कुल संवेग परिवर्तन दोगुना हो जाता है:
  Δp = (U / c) - (-U / c) = 2 U / c
  अतः प्रयुक्त बल तथा विकिरण दाब भी दोगुना हो जाता है:
  P_rad = 2 I / c = 2 ⟨u_total⟩

इसी विकिरण दाब के कारण पुच्छल तारे (धूमकेतु) की पूंछ सदैव सूर्य से परे बाहर की ओर मुड़ी रहती है तथा सौर पाल (Solar Sail) द्वारा उपग्रहों की गति संभव होती है।

तरंगदैर्घ्य (λ) अथवा आवृत्ति (f) के क्रमानुसार विद्युतचुंबकीय तरंगों के व्यवस्थित वर्गीकरण को विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम कहते हैं। निर्वात में सभी तरंगें एक समान चाल (c = f λ ≈ 3 × 10⁸ m/s) से चलती हैं, किंतु आवृत्ति बढ़ने के साथ फोटॉन ऊर्जा E = h f = h c / λ कई गुना बढ़ जाती है।