धारा का चुंबकीय प्रभाव तथा चुंबकत्व

1820 में हैंस क्रिश्चियन ओरस्टेड ने देखा कि धारावाही चालक के समीप रखी चुंबकीय सुई विक्षेपित हो जाती है। फ्रांसीसी भौतिकविद् ज्यां-बैप्टिस्ट बायो और फेलिक्स सावर्ट ने किसी भी यादृच्छिक आकृति के धारावाही चालक के अल्पांश द्वारा किसी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र d𝐁 के मान को निर्धारित करने के लिए एक सार्वभौमिक नियम प्रतिपादित किया, जिसे बायो-सावर्ट नियम कहते हैं।

यदि किसी चालक के अल्पांश d𝐥 में I धारा प्रवाहित हो रही हो, तो अल्पांश से 𝐫 दूरी पर स्थित किसी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र d𝐁 का सदिश रूप:

जहाँ μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m·A⁻¹ निर्वात की चुंबकशीलता (Magnetic Permeability of Free Space) है। अदिश परिमाण में:

जहाँ θ धारा अल्पांश d𝐥 और स्थिति सदिश 𝐫 के मध्य का कोण है। d𝐁 की दिशा d𝐥 तथा 𝐫 द्वारा निर्मित तल के लंबवत होती है, जिसका निर्धारण दाहिने हाथ के पेंच नियम (Right-Hand Screw Rule) द्वारा किया जाता है।

मान लीजिए R त्रिज्या की एक वृत्ताकार कुंडली में I धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली के केंद्र से अक्षीय दूरी x पर स्थित बिंदु P पर चुंबकीय क्षेत्र ज्ञात करना है:

• कुंडली की परिधि के किसी अल्पांश d𝐥 से बिंदु P की दूरी r = √(R² + x²) है।
• परिधि का स्पर्शरेखीय अल्पांश d𝐥 स्थिति सदिश 𝐫 के लंबवत होता है, अतः sin 90° = 1।
• अक्ष के लंबवत घटक dB_⊥ = dB sin α सममिति के कारण परस्पर निरस्त हो जाते हैं (∮ dB_⊥ = 0)।
• अक्षीय घटक: dB_x = dB cos α = dB · (R / r) = [(μ₀ I dl) / (4π r²)] · (R / r) = (μ₀ I R dl) / [4π (R² + x²)^(3/2)]।

संपूर्ण N फेरों वाली कुंडली की परिधि (∮ dl = 2πR) के अनुदिश समाकलन करने पर:

विशेष स्थितियां:

1. कुंडली के केंद्र पर (x = 0):
   B_center = (μ₀ N I) / (2R)
2. अक्ष पर अत्यधिक दूरी पर (x ≫ R):
   B_far = (μ₀ N I R²) / (2x³) = (μ₀ / 4π) · [2 (N I · πR²) / x³] = (μ₀ / 4π) · (2M / x³)
   जहाँ M = N I A = N I (πR²) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है। यह सिद्ध करता है कि एक समतल धारावाही लूप दूरस्थ अक्षीय बिंदु पर एक छोटे दंड चुंबक (द्विध्रुव) की भांति व्यवहार करता है!

ऐम्पीयर का परिपथीय नियम (Ampère's Circuital Law): निर्वात में किसी भी बंद काल्पनिक वक्र (ऐम्पीयरियन लूप) के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र 𝐁 का रेखीय समाकलन उस बंद लूप द्वारा परिबद्ध कुल शुद्ध धारा का μ₀ गुना होता है:

चिह्न परिपाटी: दाहिने हाथ की उंगलियों को बंद पथ के अनुदिश मोड़ने पर फैला हुआ अंगूठा जिस दिशा को इंगित करता है, उस दिशा में गुजरने वाली धारा को धनात्मक तथा विपरीत धारा को ऋणात्मक माना जाता है।

एक अत्यंत लंबे सीधे तार में I धारा प्रवाहित हो रही है। बेलनाकार सममिति के कारण तार से r दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं संकेंद्रीय वृत्त बनाती हैं। तार को केंद्र मानकर r त्रिज्या का एक वृत्ताकार ऐम्पीयरियन लूप लेने पर प्रत्येक बिंदु पर 𝐁 ∥ d𝐥 (कोण θ = 0°):

परिनालिका विद्युतरोधी तांबे के तार की बेलनाकार नलिका पर पास-पास लिपटी हुई हेलिकल कुंडली होती है। मान लीजिए प्रति एकांक लंबाई फेरों की संख्या n = N / L तथा धारा I है। एक आदर्श लंबी परिनालिका में (L ≫ R):

• परिनालिका के बाहर चुंबकीय क्षेत्र नगण्य (B_ext ≈ 0) होता है।
• भीतर चुंबकीय क्षेत्र अक्ष के समांतर, एकसमान एवं अत्यधिक प्रबल होता है।

परिनालिका की अक्ष पर h लंबाई का एक आयताकार बंद पथ abcd चुनते हैं, जिसकी ab भुजा अक्ष के अनुदिश भीतर, bc व da भुजाएं अक्ष के लंबवत तथा cd भुजा बाहर स्थित है:

h लंबाई में परिबद्ध कुल फेरे N = n · h हैं, अतः कुल परिबद्ध धारा I_enc = (n · h) · I। ऐम्पीयर नियम लागू करने पर:

सिरों पर मान: अर्ध-अनंत परिनालिका के खुले सिरों पर चुंबकीय बलरेखाएं बाहर फैल जाती हैं, जिससे सिरों पर चुंबकीय क्षेत्र का मान केंद्र का ठीक आधा होता है: B_end = (1/2) μ₀ n I।

एक लंबी परिनालिका को वृत्ताकार रूप में मोड़कर उसके दोनों सिरों को जोड़ देने पर बनी डोनट-आकार की वलयाकार कुंडली को टोराइड कहते हैं। मध्य त्रिज्या r और कुल फेरे N होने पर:

• टोराइड कोर के भीतर: ∮ 𝐁·d𝐥 = B (2πr) = μ₀ (N I) ⟹ B = (μ₀ N I) / (2πr) = μ₀ n I (जहाँ n = N / 2πr)।
• टोराइड के भीतर खुले स्थान में तथा बाहर खुले स्थान में: परिबद्ध धारा I_enc = 0 होने के कारण चुंबकीय क्षेत्र शून्य (B = 0) होता है।

जब q आवेश युक्त कोई कण विद्युत क्षेत्र 𝐄 तथा चुंबकीय क्षेत्र 𝐁 की संयुक्त उपस्थिति में 𝐯 वेग से गति करता है, तो उस पर कार्यरत कुल सदिश बल को लॉरेंट्ज़ बल कहते हैं:

चुंबकीय बल (𝐅_B = q(𝐯 × 𝐁)) के प्रमुख गुण:

• परिमाण: F_B = |q| v B sin θ। यदि कण स्थिर हो (v = 0), अनावेशित हो (q = 0), या चुंबकीय क्षेत्र के समांतर/प्रतिसमांतर गति करे (θ = 0° या 180°), तो चुंबकीय बल शून्य होता है।
• किया गया कार्य शून्य: चूंकि चुंबकीय बल 𝐅_B सदैव कण के तात्क्षणिक वेग 𝐯 के लंबवत होता है (𝐅_B ⊥ 𝐯), अतः तात्क्षणिक शक्ति P = 𝐅_B · 𝐯 = 0। चुंबकीय क्षेत्र कण की चाल या गतिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं कर सकता—यह केवल गति की दिशा बदलता है!

1. लंबवत प्रवेश (θ = 90°): जब 𝐯 ⊥ 𝐁 हो, तो निरंतर लंबवत बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: q v B = m v² / r।
   वृत्ताकार पथ की त्रिज्या: r = (m v) / (q B) = p / (q B) = √(2 m K) / (q B)
   आवर्तकाल: T = (2πr) / v = (2πm) / (q B)
   साइक्लोट्रॉन आवृत्ति: ν_c = 1 / T = (q B) / (2πm)
   बोर्ड परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण तथ्य: आवर्तकाल T तथा आवृत्ति ν_c कण के वेग v अथवा गतिज ऊर्जा K पर बिल्कुल निर्भर नहीं करते!
2. तिर्यक प्रवेश (0° < θ < 90°): वेग के दो घटक होते हैं: v_∥ = v cos θ (क्षेत्र के अनुदिश) और v_⊥ = v sin θ (क्षेत्र के लंबवत)। कण एक हेलिक्स (कुंडलिनी) पथ का अनुसरण करता है, जिसकी त्रिज्या r = (m v sin θ) / (q B) तथा पिच (अंतराल) होती है:
   पिच = v_∥ · T = (v cos θ) · [(2πm) / (q B)] = (2πm v cos θ) / (q B)

परस्पर लंबवत विद्युत तथा चुंबकीय क्षेत्रों में जब q E = q v B हो, तो कण बिना किसी विचलन के सीधा निकल जाता है:

ई. ओ. लॉरेंस तथा एम. एस. लिविंगस्टोन (1934) द्वारा आविष्कृत साइक्लोट्रॉन भारी धनावेशित आयनों (प्रोटॉन, ड्यूट्रॉन, α-कण) को अत्यधिक उच्च ऊर्जा (MeV) तक त्वरित करने की युक्ति है।

• सिद्धांत: चुंबकीय क्षेत्र में आयन के अर्धवृत्ताकार पथ को पूरा करने का समय उसके वेग पर निर्भर नहीं करता। दो डी-आकार के खोखले धात्विक कक्षों ("Dees") के मध्य रिक्त स्थान में उच्च आवृत्ति का प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र आरोपित किया जाता है, जो आयन के प्रत्येक अर्ध-चक्र पूर्ण करने पर अपनी ध्रुवता बदलकर आयन को बार-बार त्वरित करता है।
• अनुनाद शर्त (Resonance Condition): दोलक की आवृत्ति साइक्लोट्रॉन आवृत्ति के बराबर होनी चाहिए: f_osc = ν_c = (q B) / (2πm)।
• अधिकतम गतिज ऊर्जा: यदि डीज की परिधीय त्रिज्या R हो:
  K_max = (1/2) m v_max² = (q² B² R²) / (2m)
• साइक्लोट्रॉन की सीमाएं:
  1. आपेक्षिकीय द्रव्यमान वृद्धि: अत्यधिक उच्च वेग पर आपेक्षिकीय द्रव्यमान बढ़ता है: m = m₀ / √(1 - v²/c²)। इससे आवर्तकाल T बढ़ जाता है और आयन नियत आवृत्ति वाले दोलक के साथ अनुनाद खो देता है।
  2. इलेक्ट्रॉनों को त्वरित नहीं किया जा सकता: इलेक्ट्रॉन का विराम द्रव्यमान अत्यंत कम होने से यह शीघ्र ही आपेक्षिकीय वेग प्राप्त कर अनुनाद से बाहर हो जाता है।
  3. न्यूट्रॉन त्वरित नहीं किए जा सकते: न्यूट्रॉन अनावेशित (q = 0) होने से विद्युत या चुंबकीय बल का अनुभव नहीं करते।

A अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और n मुक्त इलेक्ट्रॉन घनत्व वाले चालक में I धारा प्रवाहित होने पर, L लंबाई के चालक पर कुल चुंबकीय बल:

इस बल की दिशा फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम (Fleming's Left-Hand Rule) द्वारा निर्धारित की जाती है: बाएं हाथ के अंगूठे, तर्जनी और मध्यमा को परस्पर समकोण पर फैलाएं। यदि तर्जनी चुंबकीय क्षेत्र (𝐁) की दिशा तथा मध्यमा विद्युत धारा (I) की दिशा प्रदर्शित करे, तो अंगूठा चालक पर कार्यरत बल (𝐅) की दिशा को दर्शाएगा।

निर्वात में d दूरी पर स्थित दो सीधे समांतर तारों में क्रमशः I₁ तथा I₂ धाराएं प्रवाहित होने पर:

• तार 1 द्वारा तार 2 पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र: B₁ = (μ₀ I₁) / (2πd)।
• तार 2 की L लंबाई पर बल: F₂₁ = I₂ L B₁ = (μ₀ I₁ I₂ L) / (2πd)।
• न्यूटन के तृतीय नियमानुसार दोनों तारों पर बल परिमाण में बराबर और विपरीत दिशा में होते हैं: 𝐅₁₂ = -𝐅₂₁।

बल की प्रकृति:

• समान दिशा में धारा (Parallel Currents): परस्पर आकर्षित करते हैं।
• विपरीत दिशा में धारा (Antiparallel Currents): परस्पर प्रतिकर्षित करते हैं।

N फेरों तथा A क्षेत्रफल वाली एक समतल कुंडली में I धारा प्रवाहित होने पर चुंबकीय क्षेत्र 𝐁 में कुंडली पर कुल बल शून्य होता है (∑ 𝐅 = 0), परंतु एक बलयुग्म या बल आघूर्ण (Torque) उत्पन्न होता है:

जहाँ 𝐌 = N I 𝐀 कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है। कुंडली की स्थितिज ऊर्जा:

r त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में v चाल से परिक्रमण करते इलेक्ट्रॉन (आवेश e, द्रव्यमान m_e) की तुल्य धारा I = (e v) / (2πr) होती है। कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण:

• μ_l = I A = [(e v) / (2πr)] · (πr²) = (e v r) / 2 = [e / (2m_e)] · L (जहाँ L = m_e v r कक्षीय कोणीय संवेग है)।
• गाइरोमैग्नेटिक अनुपात: μ_l / L = e / (2m_e) = 8.79 × 10¹⁰ C/kg।
• बोर के प्रथम अभिगृहीत L = ℏ = h / (2π) से प्राप्त न्यूनतम चुंबकीय आघूर्ण को बोर मैग्नेटॉन (Bohr Magneton) कहते हैं:
  μ_B = (e ℏ) / (2m_e) = (e h) / (4π m_e) = 9.274 × 10⁻²⁴ A·m² (या J/T)

चल कुंडली धारामापी अत्यंत सूक्ष्म विद्युत धारा का संसूचन और मापन करने वाला चुंबकीय उपकरण है।

त्रिज्य चुंबकीय क्षेत्र (Radial Magnetic Field) का महत्व:

• अवतलाकार कटे हुए चुंबकीय ध्रुव खंडों और कुंडली के भीतर नर्म लोहे के बेलनाकार क्रोड द्वारा एक त्रिज्यीय चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न किया जाता है।
• इससे कुंडली के घूमने की प्रत्येक स्थिति में कुंडली का तल सदैव चुंबकीय बलरेखाओं के समांतर रहता है (अर्थात अभिलंब और क्षेत्र के मध्य कोण θ = 90°, sin 90° = 1)।
• विक्षेपक बल आघूर्ण τ_def = N I A B फॉस्फोर-ब्रॉन्ज पत्ती के ऐंठन बल आघूर्ण τ_res = k θ से संतुलित होता है:
  N I A B = k θ  ⟹  θ = (N A B / k) · I  ⟹  θ ∝ I (रैखिक पैमाना!)

किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल शुद्ध चुंबकीय फ्लक्स सदैव शून्य होता है:

भौतिक महत्व: चुंबकीय बलरेखाएं सतत बंद लूप बनाती हैं। स्थिरवैद्युतिकी की भांति प्रकृति में विलगित चुंबकीय एकल ध्रुव (Isolated Monopole) का कोई अस्तित्व नहीं है। प्रत्येक चुंबक अविभाज्य द्विध्रुव होता है।

पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के केंद्र पर स्थित एक काल्पनिक विशाल चुंबकीय द्विध्रुव के समतुल्य माना जाता है। किसी स्थान पर भू-चुंबकीय क्षेत्र को पूर्णतः व्यक्त करने के लिए 3 अवयवों की आवश्यकता होती है:

1. दिग्पात कोण (Magnetic Declination, θ या D): किसी स्थान पर भौगोलिक याम्योत्तर तथा चुंबकीय याम्योत्तर के मध्य का न्यून कोण।
2. नति या नमन कोण (Magnetic Dip or Inclination, δ या I): चुंबकीय याम्योत्तर में स्वतंत्रतापूर्वक लटकी चुंबकीय सुई की अक्ष द्वारा क्षैतिज दिशा के साथ बनाया गया कोण।
   • चुंबकीय भूमध्य रेखा पर: δ = 0° (क्षेत्र पूर्णतः क्षैतिज)।
   • चुंबकीय ध्रुवों पर: δ = 90° (क्षेत्र पूर्णतः ऊर्ध्वाधर)।
3. भू-चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक (B_H):
   B_H = B cos δ
   B_V = B sin δ
   tan δ = B_V / B_H  ⟹  B = √(B_H² + B_V²)

प्रत्यावर्ती चुंबकीय क्षेत्र में लौहचुंबकीय पदार्थ के चुंबकन चक्र के दौरान B तथा H के मध्य आलेखित बंद वक्र शैथिल्य लूप कहलाता है:

• धारणशीलता (Retentivity या Remanence): चुंबकीय क्षेत्र H शून्य करने पर पदार्थ में शेष बचा अवशिष्ट चुंबकत्व B_r।
• निग्राहिता (Coercivity): अवशिष्ट चुंबकत्व को पूर्णतः शून्य करने हेतु विपरीत दिशा में आवश्यक चुंबकीय तीव्रता H_c।
• शैथिल्य ऊर्जा ह्रास: प्रति चक्र प्रति एकांक आयतन में ऊष्मा के रूप में व्यय ऊर्जा शैथिल्य लूप के क्षेत्रफल के बराबर होती है: W = ∮ B dH।