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WBB • कक्षा XII • Physics • अध्याय 1

अनुमानित समय: 75 मिनट

प्रगति: अध्ययनरत

स्थिरवैद्युतिकी

पश्चिम बंगाल उच्च माध्यमिक शिक्षा परिषद (WBCHSE) कक्षा 12 भौतिक विज्ञान के प्रथम इकाई स्थिरवैद्युतिकी में आपका स्वागत है। चिरसम्मत विद्युतचुंबकत्व की यह आधारभूत शाखा विराम अवस्था में स्थित स्थिर विद्युत आवेशों, उनके पारस्परिक बलों तथा उनके चारों ओर उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों के वैज्ञानिक नियमों का गहन विश्लेषण करती है। एम्बर के घर्षण के ऐतिहासिक प्रेक्षणों से प्रारंभ होकर चार्ल्स कूलॉम, कार्ल फ्रेडरिक गाउस एवं माइकल फैराडे के गणितीय सूत्रों द्वारा यह विज्ञान सुदृढ़ हुआ। इस इकाई में विद्यार्थी आवेश की आधारभूत प्रकृति—जैसे आवेश का क्वांटीकरण एवं सार्वत्रिक संरक्षण नियम को विस्तार से समझेंगे। आप कूलॉम के व्युत्क्रम वर्ग नियम, बलों के सदिश अध्यारोपण सिद्धांत तथा विद्युत बल रेखाओं की ज्यामिति का अध्ययन करेंगे। सतत आवेश वितरणों हेतु गाउस के प्रमेय का उपयोग कर अनंत सीधे तार, समतल चादर तथा गोलीय कोश के विद्युत क्षेत्र की व्युत्पत्ति करेंगे। इसके अतिरिक्त स्थिरवैद्युत क्षेत्र के संरक्षी स्वरूप, विद्युत विभव, समविभव पृष्ठ, चालकों के स्थिरवैद्युत गुणधर्म, परावैद्युत ध्रुवण तथा आधुनिक इलेक्ट्रॉनिकी में संधारित्रों की भूमिका का समग्र अध्ययन इस अध्याय में प्रस्तुत है।

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यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

बोर्ड परीक्षाओं तथा WBJEE, JEE Main, JEE Advanced एवं NEET जैसी राष्ट्रीय प्रतियोगी परीक्षाओं में स्थिरवैद्युतिकी एवं धारिता से प्रतिवर्ष 8 से 12 प्रतिशत अंक निर्धारित रहते हैं। गाउस प्रमेय द्वारा विद्युत क्षेत्र निगमन, द्विध्रुव पर बल आघूर्ण व कृत कार्य, विभव प्रवणता संबंध तथा संधारित्र में परावैद्युत पट्टिका प्रविष्टि से संबंधित प्रश्न अत्यंत महत्वपूर्ण एवं उच्च अंकदायी होते हैं। व्यावहारिक जीवन में फोटोकॉपी (जेरॉक्स) मशीन, वायु प्रदूषण नियंत्रण में प्रयुक्त स्थिरवैद्युत अवक्षेपक (इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रेसिपिटेटर), लेजर प्रिंटर, स्मार्टफोन की टचस्क्रीन तथा हृदय गति रुकने पर आपातकालीन चिकित्सा में प्रयुक्त डिफिब्रिलेटर जैसे आधुनिक उपकरण स्थिरवैद्युतिकी के सिद्धांतों पर ही कार्य करते हैं।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 विद्युत आवेश, मूलभूत गुणधर्म एवं कू...

2 विद्युत क्षेत्र तीव्रता, बल रेखाएँ...

3 विद्युत फ्लक्स, गाउस का प्रमेय एवं...

4 विद्युत विभव, समविभव पृष्ठ एवं स्थि...

5 चालक, परावैद्युत, ध्रुवण एवं संधारि...

6 संधारित्रों का संयोजन, संचित ऊर्जा...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

विद्युत आवेश, मूलभूत गुणधर्म एवं कूलॉम का बल नियम

1.1 विद्युत आवेश का स्वरूप एवं मूलभूत गुणधर्म

विद्युत आवेश मूल कणों का वह आंतरिक अदिश गुणधर्म है जिसके कारण वे स्थिरवैद्युत बलों का अनुभव करते हैं। बेंजामिन फ्रैंकलिन ने आवेशों को दो प्रकारों में विभाजित किया: धनात्मक (+) एवं ऋणात्मक (-)। अंतरराष्ट्रीय मानक (SI) पद्धति में आवेश का मात्रक कूलॉम (Coulomb, C) है, जिसका विमीय सूत्र [I·T] = [A·s] है।

विद्युत आवेश के तीन आधारभूत सार्वत्रिक नियम हैं:

आवेश का क्वांटीकरण (Quantization of Charge): प्रकृति में कोई भी मुक्त आवेश सदैव मूल आवेश इकाई e के पूर्ण गुणज के रूप में ही पाया जाता है:
q = ± n·e, जहाँ n ∈ ℤ⁺ तथा e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ C
स्थूल (Macroscopic) स्तर पर अत्यधिक संख्या में आवेश होने के कारण यह असतत स्वरूप व्यावहारिक रूप से सतत प्रतीत होता है।
आवेश संरक्षण का नियम (Conservation of Charge): किसी विलगित निकाय में कुल धनात्मक एवं ऋणात्मक आवेशों का बीजीय योग सदैव अपरिवर्तित रहता है। आवेश को न तो उत्पन्न किया जा सकता है और न ही नष्ट (उदा. युग्म उत्पादन γ → e⁻ + e⁺ में प्रारंभिक व अंतिम कुल आवेश शून्य रहता है)।
आवेश की आपेक्षिकीय निश्चरता (Invariance of Charge): वस्तु का द्रव्यमान वेग के साथ परिवर्तित होता है, किंतु वस्तु का विद्युत आवेश निर्देश तंत्र के वेग पर निर्भर नहीं करता: q(विराम) = q(गतिमान)।

1.2 कूलॉम का स्थिरवैद्युत बल नियम

सन् 1785 में चार्ल्स कूलॉम ने ऐंठन तुला (Torsion Balance) द्वारा दो स्थिर बिंदु आवेशों के मध्य कार्यरत आकर्षण या प्रतिकर्षण बल का नियम प्रतिपादित किया:

माध्यम	अदिश सूत्र	स्थिरवैद्युत नियतांक (k)
निर्वात अथवा वायु	`F = (1 / 4πε₀) · (\|q₁q₂\| / r²)`	k = 1/(4πε₀) ≈ 9 × 10⁹ N·m²/C²
परावैद्युत माध्यम (K)	`F_माध्यम = (1 / 4πε₀K) · (\|q₁q₂\| / r²) = F_निर्वात / K`	विद्युतशीलता ε = ε₀·K (K ≥ 1)

यहाँ ε₀ निर्वात की विद्युतशीलता (Permittivity of Free Space) है: ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² C²/(N·m²) = F/m, जिसका विमीय सूत्र [M⁻¹ L⁻³ T⁴ A²] है।

1.3 कूलॉम नियम का सदिश स्वरूप एवं अध्यारोपण सिद्धांत

यदि q₁ तथा q₂ के स्थिति सदिश क्रमशः r₁ तथा r₂ हों, तो q₁ द्वारा q₂ पर आरोपित बल:

    F₂₁ = (1 / 4πε₀) · [q₁q₂ / |r₂ - r₁|³] · (r₂ - r₁) = - F₁₂

यह सिद्ध करता है कि कूलॉम बल न्यूटन के तृतीय गति नियम (क्रिया-प्रतिक्रिया नियम) का पूर्ण पालन करता है तथा यह दोनों आवेशों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करने वाला केंद्रीय बल (Central Force) है।

अध्यारोपण का सिद्धांत (Principle of Superposition): अनेक आवेशों के निकाय में किसी एक आवेश पर कार्यरत कुल परिणामी बल, अन्य सभी स्वतंत्र आवेशों द्वारा उस पर आरोपित अलग-अलग बलों के सदिश योग के बराबर होता है:

    F_कुल,0 = ∑_{i=1}^N F₀ᵢ = (q₀ / 4πε₀) · ∑_{i=1}^N [qᵢ / r₀ᵢ³] · r₀ᵢ

विद्युत क्षेत्र तीव्रता, बल रेखाएँ एवं विद्युत द्विध्रुव गतिशीलता

2.1 विद्युत क्षेत्र तीव्रता (Electric Field Intensity, E)

विद्युत क्षेत्र के किसी बिंदु पर रखा एकांक धन परीक्षण आवेश जितने स्थिरवैद्युत बल का अनुभव करता है, उसे उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र तीव्रता कहते हैं:

    E = lim_{q₀ → 0} (F / q₀)   [SI मात्रक: N/C अथवा V/m; विमाएँ: [M L T⁻³ A⁻¹]]

किसी बिंदु आवेश q से r दूरी पर विद्युत क्षेत्र: E = (1 / 4πε₀) · (q / r²) · r̂। धनात्मक आवेश हेतु क्षेत्र त्रिज्यतः बाहर की ओर तथा ऋणात्मक आवेश हेतु अंदर की ओर दिष्ट होता है।

2.2 विद्युत बल रेखाएँ एवं उनके महत्वपूर्ण गुणधर्म

माइकल फैराडे द्वारा प्रतिपादित विद्युत बल रेखाएँ विद्युत क्षेत्र के काल्पनिक सतत वक्र निरूपण हैं:

बल रेखाएँ सदैव धनात्मक आवेश से प्रारंभ होकर ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
बल रेखा के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश E की दिशा व्यक्त करती है।
दो बल रेखाएँ कभी भी एक-दूसरे को नहीं काट सकतीं। यदि वे काटेंगी, तो प्रतिच्छेद बिंदु पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकेंगी, जो एक ही बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो भिन्न दिशाएँ प्रदर्शित करेंगी, जो भौतिक रूप से असंभव है।
स्थिरवैद्युत क्षेत्र संरक्षी होने के कारण बल रेखाएँ कभी भी बंद लूप (Closed Loop) नहीं बनाती हैं।
चालक के पृष्ठ से बल रेखाएँ सदैव अभिलंबवत (लंबवत) निकलती अथवा प्रवेश करती हैं।
बल रेखाओं का सघन होना तीव्र विद्युत क्षेत्र को तथा विरल होना दुर्बल विद्युत क्षेत्र को दर्शाता है।

2.3 विद्युत द्विध्रुव एवं द्विध्रुव आघूर्ण

दो समान परिमाण किंतु विपरीत प्रकृति के बिंदु आवेश (+q तथा -q) जब परस्पर अति अल्प दूरी (2a) पर स्थित हों, तो इस निकाय को विद्युत द्विध्रुव कहते हैं। विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण सदिश (p) का मान:

    p = q · (2a)   [दिशा: -q से +q की ओर; मात्रक: C·m; विमा: [L T A]]

2.4 विद्युत द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र तीव्रता

स्थिति	यथार्थ व्यंजक	छोटे द्विध्रुव हेतु (r ≫ a)
अक्षीय स्थिति (End-on)	`E_अक्षीय = (1 / 4πε₀) · [2pr / (r² - a²)²] p̂`	`E_अक्षीय ≈ (1 / 4πε₀) · (2p / r³)` (p की दिशा में)
निरक्षीय स्थिति (Broadside-on)	`E_निरक्षीय = - (1 / 4πε₀) · [p / (r² + a²)^(3/2)] p̂`	`E_निरक्षीय ≈ - (1 / 4πε₀) · (p / r³)` (p के विपरीत)

परीक्षा उपयोगी संबंध: समान दूरी r पर छोटे द्विध्रुव हेतु |E_अक्षीय| = 2 · |E_निरक्षीय| तथा विद्युत क्षेत्र दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती (E ∝ 1/r³) घटता है।

2.5 एकसमान विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव पर बल आघूर्ण एवं स्थितिज ऊर्जा

कुल स्थानांतरण बल: F_कुल = (+qE) + (-qE) = 0। एकसमान क्षेत्र में द्विध्रुव पर कोई रेखीय बल कार्य नहीं करता।
बल आघूर्ण (Torque, τ): τ = p × E ⟹ |τ| = p E sinθ। यह बल आघूर्ण द्विध्रुव को क्षेत्र के समांतर संरेखित करने का प्रयास करता है।
स्थितिज ऊर्जा (U): द्विध्रुव को θ₁ से θ₂ कोण घुमाने में कृत कार्य:
W = ∫_{θ₁}^{θ₂} τ dθ = pE(cosθ₁ - cosθ₂) ⟹ U = - p · E = - p E cosθ
θ = 0° पर U = -pE (स्थायी साम्यावस्था, न्यूनतम ऊर्जा); θ = 180° पर U = +pE (अस्थायी साम्यावस्था, अधिकतम ऊर्जा)।

विद्युत फ्लक्स, गाउस का प्रमेय एवं इसके मुख्य अनुप्रयोग

3.1 विद्युत फ्लक्स (Electric Flux, Φ_E)

किसी काल्पनिक अथवा वास्तविक पृष्ठ से अभिलंबवत गुजरने वाली कुल विद्युत बल रेखाओं की संख्या की माप को विद्युत फ्लक्स कहते हैं:

    Φ_E = ∬_S E · dA = ∬_S E cosθ dA   [SI मात्रक: N·m²/C अथवा V·m; अदिश राशि]

3.2 स्थिरवैद्युतिकी में गाउस का प्रमेय (Gauss Theorem)

प्रमेय का कथन: निर्वात अथवा वायु में स्थित किसी भी बंद काल्पनिक पृष्ठ (गाउसीय पृष्ठ) से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल बीजीय आवेश का 1/ε₀ गुना होता है:

    Φ_E = ∮_S E · dA = (Q_परिबद्ध / ε₀)

महत्वपूर्ण बिंदु: यदि किसी बंद पृष्ठ के अंदर एक विद्युत द्विध्रुव (+q तथा -q) स्थित हो, तो कुल परिबद्ध आवेश Q = +q - q = 0 होगा, अतः पृष्ठ से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होगा।

3.3 गाउस प्रमेय के प्रमुख अनुप्रयोग एवं निगमन

बोर्ड परीक्षा हेतु तीन सममित ज्यामितियों का निगमन अत्यंत महत्वपूर्ण है:

1. अनंत लंबाई का एकसमान आवेशित सीधा तार:

माना रेखीय आवेश घनत्व λ = q/L (C/m) है।
तार को अक्ष मानकर r त्रिज्या एवं l लंबाई का बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ लेते हैं।
समतल वृत्ताकार सिरों पर E ⊥ dA ⟹ cos 90° = 0, अतः फ्लक्स शून्य है।
वक्राकार पृष्ठ पर E ∥ dA ⟹ ∬ E dA = E · (2πrl)।
गाउस प्रमेय से: E · (2πrl) = (λl / ε₀) ⟹ E = λ / (2πε₀r) = (2kλ / r)।
विद्युत क्षेत्र दूरी के व्युत्क्रमानुपाती (E ∝ 1/r) घटता है।

2. अनंत विस्तार की एकसमान आवेशित पतली अचालक समतल चादर:

माना पृष्ठीय आवेश घनत्व σ = q/A (C/m²) है।
चादर के लंबवत A अनुप्रस्थ काट का एक पिलबॉक्स बेलन गाउसीय पृष्ठ के रूप में लेते हैं।
वक्राकार पृष्ठ से फ्लक्स शून्य होता है। दोनों समतल वृत्तीय फलकों से कुल फ्लक्स 2EA है।
गाउस प्रमेय से: 2EA = (σA / ε₀) ⟹ E = σ / (2ε₀)।
निष्कर्ष: अनंत समतल चादर का विद्युत क्षेत्र दूरी r से स्वतंत्र एकसमान क्षेत्र होता है। आवेशित चालक चादर हेतु दोनों पृष्ठों के कारण E = σ / ε₀ होता है।

3. एकसमान आवेशित R त्रिज्या का पतला गोलीय कोश (कुल आवेश Q):

क्षेत्र	परिबद्ध आवेश (Q_enc)	विद्युत क्षेत्र तीव्रता (E)
कोश के बाहर (r > R)	Q_enc = Q	`E = (1 / 4πε₀) · (Q / r²) = σR² / (ε₀r²)`
कोश के पृष्ठ पर (r = R)	Q_enc = Q	`E_अधिकतम = (1 / 4πε₀) · (Q / R²) = σ / ε₀`
कोश के अंदर (r < R)	Q_enc = 0	E = 0 (स्थिरवैद्युत परिरक्षण)

विद्युत विभव, समविभव पृष्ठ एवं स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा

4.1 विद्युत विभव (Electric Potential, V)

एकांक धन परीक्षण आवेश को अनंत से बिना किसी त्वरण के विद्युत क्षेत्र के किसी बिंदु तक लाने में बाह्य कारक द्वारा स्थिरवैद्युत बल के विरुद्ध किए गए कार्य को उस बिंदु का विद्युत विभव कहते हैं:

    V = - ∫_∞^r E · dr = (W_बाह्य / q₀)   [SI मात्रक: वोल्ट (Volt, V) = जूल/कूलॉम; विमाएँ: [M L² T⁻³ A⁻¹]]

बिंदु आवेश q से r दूरी पर विभव: V = (1 / 4πε₀) · (q / r)। धनात्मक आवेश का विभव धनात्मक तथा ऋणात्मक आवेश का विभव ऋणात्मक होता है।

4.2 विद्युत क्षेत्र एवं विभव के मध्य अवकलन संबंध

विद्युत क्षेत्र तीव्रता विद्युत विभव की ऋणात्मक प्रवणता (Negative Gradient) के बराबर होती है:

    E = - ∇V   ⟹   E_r = - dV/dr

दो प्रमुख भौतिक निष्कर्ष:

ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि विद्युत क्षेत्र तीव्रता सदैव विभव घटने की अधिकतम दर की दिशा में दिष्ट होती है।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण समविभव पृष्ठ के अभिलंबवत प्रति एकांक विस्थापन विभव परिवर्तन की दर के बराबर होता है।

4.3 विद्युत द्विध्रुव के कारण विद्युत विभव

द्विध्रुव के केंद्र से (r, θ) बिंदु पर विभव (जहाँ r ≫ a):

    V(r, θ) = (1 / 4πε₀) · (p cosθ / r²)

अक्षीय स्थिति (θ = 0° अथवा 180°): V_अक्षीय = ± (1 / 4πε₀) · (p / r²)
निरक्षीय स्थिति (θ = 90°): V_निरक्षीय = (1 / 4πε₀) · (p cos 90° / r²) = 0। निरक्षीय तल के प्रत्येक बिंदु पर विभव शून्य होता है, जबकि विद्युत क्षेत्र अशून्य (E = kp/r³) होता है!

4.4 समविभव पृष्ठ (Equipotential Surface) एवं इसके गुणधर्म

विद्युत क्षेत्र में स्थित वह पृष्ठ जिसके प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव का मान एकसमान होता है, समविभव पृष्ठ कहलाता है।

शून्य कार्य: W = q₀(V_B - V_A) = 0। समविभव पृष्ठ पर किसी आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में कोई कार्य नहीं करना पड़ता।
बल रेखाओं की लंबवतता: dW = q₀(E · dr) = 0 होने के कारण विद्युत बल रेखाएँ समविभव पृष्ठ के सदैव अभिलंबवत होती हैं।
तीव्र विद्युत क्षेत्र वाले क्षेत्रों में समविभव पृष्ठ पास-पास होते हैं (dr = -dV/E) तथा दुर्बल क्षेत्रों में दूर-दूर होते हैं।
दो समविभव पृष्ठ कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटते।

4.5 आवेश निकाय की स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा

परस्पर r₁₂ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों q₁ व q₂ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा:

    U = (1 / 4πε₀) · (q₁q₂ / r₁₂)

सजातीय आवेशों हेतु U धनात्मक तथा विजातीय आवेशों हेतु U ऋणात्मक (आकर्षण/बंधन ऊर्जा) होता है।

चालक, परावैद्युत, ध्रुवण एवं संधारित्र धारिता के सिद्धांत

5.1 स्थिरवैद्युत क्षेत्र में चालकों का व्यवहार

धात्विक चालकों में अत्यधिक मुक्त इलेक्ट्रॉन होने के कारण स्थिरवैद्युत साम्यावस्था में चालक निम्नलिखित महत्वपूर्ण गुणधर्म प्रदर्शित करते हैं:

चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र सदैव शून्य होता है (E = 0): बाह्य क्षेत्र में मुक्त इलेक्ट्रॉन पृष्ठ पर संचित होकर आंतरिक विपरीत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जो बाह्य क्षेत्र को पूर्णतः निरस्त कर देता है।
चालक के अंदर कोई अतिरिक्त आवेश नहीं रह सकता: गाउस प्रमेय से समस्त अतिरिक्त आवेश चालक के केवल बाह्य पृष्ठ पर ही विद्यमान रहता है।
चालक के भीतर तथा पृष्ठ पर विद्युत विभव सर्वत्र समान एवं नियत रहता है: E = -dV/dr = 0 होने के कारण चालक का संपूर्ण आयतन एक समविभव क्षेत्र होता है।
चालक के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र: E = (σ / ε₀) n̂, जो पृष्ठ के लंबवत होता है।
स्थिरवैद्युत परिरक्षण (Electrostatic Shielding): किसी खोखले चालक का आंतरिक कोटर (Cavity) बाह्य विद्युत प्रभावों से पूर्णतः सुरक्षित रहता है (फैराडे पिंजरा)।

5.2 परावैद्युत पदार्थ, ध्रुवण एवं परावैद्युतांक (K)

परावैद्युत वे अचालक पदार्थ हैं जो विद्युत धारा का संवहन नहीं करते, किंतु अणुओं में आवेश विस्थापन द्वारा स्थिरवैद्युत प्रभाव संचरित करते हैं।

अध्रुवी परावैद्युत (Non-polar): धनात्मक व ऋणात्मक आवेशों के केंद्र संपाती होते हैं (उदा. H₂, O₂, CO₂)। बाह्य क्षेत्र में इनमें प्रेरित द्विध्रुव उत्पन्न होते हैं।
ध्रुवी परावैद्युत (Polar): अणुओं में स्थायी द्विध्रुव आघूर्ण होता है (उदा. H₂O, HCl)। बाह्य क्षेत्र में ये क्षेत्र की दिशा में संरेखित होते हैं।
ध्रुवण सदिश (P): प्रति एकांक आयतन प्रेरित द्विध्रुव आघूर्ण: P = χ_e · ε₀ · E, जहाँ χ_e विद्युत प्रवृत्ति है।
माध्यम में विद्युत क्षेत्र में कमी: प्रेरित पृष्ठ आवेशों के आंतरिक विपरीत क्षेत्र E_p के कारण प्रभावी क्षेत्र घट जाता है: E = E₀ - E_p = E₀ / K, जहाँ K परावैद्युतांक है (K > 1)।

5.3 धारिता की संकल्पना एवं समांतर पट्टिका संधारित्र

धारिता (Capacitance, C) किसी चालक अथवा चालक निकाय द्वारा विद्युत आवेश एवं ऊर्जा संचित करने की क्षमता की माप है:

    C = Q / V   [SI मात्रक: फैराड (Farad, F) = कूलॉम/वोल्ट; व्यावहारिक मात्रक: μF, nF, pF]

R त्रिज्या के विलगित गोलीय चालक की धारिता: C = 4πε₀R।

समांतर पट्टिका संधारित्र (Parallel Plate Capacitor):

परस्पर d दूरी पर स्थित A क्षेत्रफल की दो समांतर चालक पट्टिकाओं पर आवेश घनत्व +σ व -σ होने पर:

पट्टिकाओं के मध्य एकसमान विद्युत क्षेत्र: E = σ / ε₀ = Q / (ε₀A)।
पट्टिकाओं के मध्य विभवांतर: V = E · d = (Qd) / (ε₀A)।
निर्वात में धारिता: C₀ = Q / V = (ε₀A / d)।

परावैद्युत पट्टिका युक्त संधारित्र (मोटाई t < d, परावैद्युतांक K):

    V = E₀(d - t) + E_माध्यम · t = E₀(d - t) + (E₀/K)t = (Q/ε₀A) · [d - t(1 - 1/K)]

    ⟹ C = Q / V = ε₀A / [d - t(1 - 1/K)]

संपूर्ण स्थान परावैद्युत से भरे होने पर (t = d): C = K · (ε₀A / d) = K · C₀। परावैद्युत रखने पर धारिता सदैव K गुना बढ़ जाती है।

संधारित्रों का संयोजन, संचित ऊर्जा एवं आवेश पुनर्वितरण

6.1 संधारित्रों का श्रेणी एवं समांतर संयोजन

लक्षण	श्रेणी संयोजन (Series)	समांतर संयोजन (Parallel)
आवेश (Q)	प्रत्येक संधारित्र पर समान: Q₁ = Q₂ = Q	आवेश विभाजित होता है: Q_कुल = Q₁ + Q₂ + ...
विभवांतर (V)	विभवांतर विभाजित होता है: V_कुल = V₁ + V₂ + ...	प्रत्येक पर समान रहता है: V₁ = V₂ = V
तुल्य धारिता	`1/C_s = 1/C₁ + 1/C₂ + ...` (न्यूनतम से भी कम)	`C_p = C₁ + C₂ + ...` (अधिकतम से भी अधिक)

6.2 संधारित्र में संचित स्थिरवैद्युत ऊर्जा

संधारित्र को आवेशित करने में बाह्य स्रोत द्वारा किया गया कार्य संधारित्र की पट्टिकाओं के मध्य विद्युत क्षेत्र में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है:

    U = ∫_0^Q (q/C) dq = (1/2) · (Q² / C) = (1/2) · C V² = (1/2) · Q V   [जूल (J)]

बैटरी कार्य से तुलना: V वोल्ट की बैटरी द्वारा Q आवेश प्रवाहित करने में कुल कार्य W = Q·V होता है। चूँकि संधारित्र में केवल U = ½QV ऊर्जा संचित होती है, अतः बैटरी द्वारा दी गई ऊर्जा का ठीक 50% भाग संयोजक तारों में जूल ऊष्मा एवं विकिरण के रूप में व्यय हो जाता है!

6.3 विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व (Energy Density, u_E)

पट्टिकाओं के मध्य प्रति एकांक आयतन में संचित स्थिरवैद्युत ऊर्जा को ऊर्जा घनत्व कहते हैं:

    u_E = U / (A·d) = [(1/2) C V²] / (A·d) = (1/2) · ε₀ E²   [J/m³]

परावैद्युत माध्यम (K) में: u_E = (1/2) ε E² = (1/2) K ε₀ E²।

6.4 आवेशों का पुनर्वितरण एवं ऊर्जा हानि

C₁ व C₂ धारिता के दो संधारित्रों को V₁ व V₂ विभव तक आवेशित कर तार द्वारा जोड़ने पर वे उभयनिष्ठ विभव (Common Potential, V_c) प्राप्त करते हैं:

    V_c = (कुल आवेश) / (कुल धारिता) = (C₁V₁ + C₂V₂) / (C₁ + C₂)

ऊर्जा हानि का सूत्र (ΔU):

    ΔU = U_प्रारंभिक - U_अंतिम = (1/2) · [C₁C₂ / (C₁ + C₂)] · (V₁ - V₂)²

चूँकि (V₁ - V₂)² सदैव धनात्मक होता है, अतः V₁ ≠ V₂ होने पर ΔU सदैव धनात्मक होगा। यह ऊर्जा हानि तार में ऊष्मा, चिंगारी एवं विद्युतचुंबकीय विकिरण के रूप में प्रकट होती है।

6.5 वान डी ग्राफ जनित्र (Van de Graaff Generator) का सिद्धांत

सन् 1929 में रॉबर्ट वान डी ग्राफ ने लाखों वोल्ट का विभवांतर उत्पन्न करने वाला यह स्थिरवैद्युत उपकरण निर्मित किया। यह दो मुख्य सिद्धांतों पर कार्य करता है:

नुकीले सिरों की विसर्जन क्रिया (Corona Discharge): नुकीले चालक सिरों पर आवेश घनत्व अत्यधिक होने से तीव्र विद्युत क्षेत्र वायु को आयनित कर आवेश का छिड़काव करता है।
खोलक पर संपूर्ण आवेश स्थानांतरण: किसी खोखले चालक गोले के आंतरिक भाग में आवेशित चालक को स्पर्श कराने पर उसका समस्त आवेश बाह्य पृष्ठ पर स्वतः स्थानांतरित हो जाता है।

प्रमुख भौतिक सूत्र, नियम एवं नियतांक

कूलॉम का स्थिरवैद्युत बल नियम

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon_r} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

छोटे विद्युत द्विध्रुव का विद्युत क्षेत्र (अक्षीय व निरक्षीय)

E_{अक्षीय} ≈ {1}{4_0}{2p}{r^3}, E_{निरक्षीय} ≈ -{1}{4_0}{p}{r^3}

स्थिरवैद्युतिकी में गाउस का प्रमेय

_E = _S {E} · d{A} = {Q_{परिबद्ध}}{_0}

बिंदु आवेश का विभव एवं विभव प्रवणता संबंध

$$V(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}, \quad \vec{E} = -\vec{\nabla}V = -\frac{dV}{dr}\hat{r}$$

परावैद्युत पट्टिका युक्त समांतर पट्टिका संधारित्र

$$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t\left(1 - \frac{1}{K}\right)}, \quad C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$$

संचित स्थिरवैद्युत ऊर्जा एवं ऊर्जा घनत्व

$$U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV, \quad u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$$

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

किसी धातु के सिक्के को +1.0 μC के धनात्मक आवेश से आवेशित करने के लिए उससे कितने इलेक्ट्रॉन निष्कासित करने होंगे? क्या इससे सिक्के के द्रव्यमान में कोई मापनीय परिवर्तन होगा?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: आवेश के क्वांटीकरण नियम का अनुप्रयोग: q = n · e ⟹ n = q / e चरण 2: मान रखकर इलेक्ट्रॉनों की संख्या ज्ञात करना: q = 1.0 μC = 1.0 × 10⁻⁶ C e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C n = (1.0 × 10⁻⁶ C) / (1.602 × 10⁻¹⁹ C) = 6.242 × 10¹² इलेक्ट्रॉन। चरण 3: द्रव्यमान में परिवर्तन की गणना: चूँकि इलेक्ट्रॉन निष्कासित किए गए हैं, अतः सिक्के का द्रव्यमान घटेगा: Δm = n · m_e = (6.242 × 10¹²) × (9.109 × 10⁻³¹ kg) = 5.686 × 10⁻¹⁸ kg। उत्तर: सिक्के से 6.24 × 10¹² इलेक्ट्रॉन निष्कासित करने होंगे। द्रव्यमान में कमी (5.69 × 10⁻¹⁸ kg) नगण्य होने के कारण सामान्य तुला से नहीं मापी जा सकती।

उदाहरण 2

एक विद्युत द्विध्रुव के आवेश ±4.0 nC तथा उनके बीच की दूरी 5.0 mm है। यह 2.5 × 10⁴ N/C के एकसमान विद्युत क्षेत्र में क्षेत्र की दिशा से 30° कोण पर रखा है। गणना कीजिए: (क) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण, (ख) द्विध्रुव पर कार्यरत बल आघूर्ण, तथा (ग) इसे स्थायी साम्यावस्था (θ = 0°) से अस्थायी साम्यावस्था (θ = 180°) तक घुमाने में कृत कार्य।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (p) की गणना: p = q · (2a) दिया है: q = 4.0 × 10⁻⁹ C, दूरी 2a = 5.0 mm = 5.0 × 10⁻³ m p = (4.0 × 10⁻⁹ C) × (5.0 × 10⁻³ m) = 2.0 × 10⁻¹¹ C·m। चरण 2: बल आघूर्ण (τ) की गणना: τ = p · E · sinθ E = 2.5 × 10⁴ N/C, θ = 30° (sin 30° = 0.5) τ = (2.0 × 10⁻¹¹ C·m) × (2.5 × 10⁴ N/C) × 0.5 τ = 2.5 × 10⁻⁷ N·m। चरण 3: घुमाने में कृत कार्य (W) की गणना: W = p · E · (cosθ₁ - cosθ₂) θ₁ = 0° (cos 0° = 1), θ₂ = 180° (cos 180° = -1) W = p · E · [1 - (-1)] = 2 · p · E W = 2 × (2.0 × 10⁻¹¹ C·m) × (2.5 × 10⁴ N/C) = 1.0 × 10⁻⁶ J = 1.0 μJ।

उदाहरण 3

स्थिरवैद्युतिकी में गाउस का नियम लिखिए। इस नियम का उपयोग करके एकसमान आवेशित अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण r दूरी पर विद्युत क्षेत्र तीव्रता का व्यंजक निगमित कीजिए (तार का रेखीय आवेश घनत्व λ C/m है)।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: गाउस के नियम का कथन [1 अंक]: गाउस के नियमानुसार, निर्वात में स्थित किसी भी काल्पनिक बंद पृष्ठ (गाउसीय पृष्ठ) से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का 1/ε₀ गुना होता है: ∮_S E · dA = Q_परिबद्ध / ε₀।

चरण 2: गाउसीय पृष्ठ की रचना [1 अंक]: माना अनंत सीधे तार का रेखीय आवेश घनत्व λ C/m है। सममिति के अनुसार विद्युत क्षेत्र E तार के लंबवत त्रिज्यतः बाहर की ओर होगा। तार को अक्ष मानकर r त्रिज्या एवं l लंबाई का एक समअक्षीय बेलनाकार गाउसीय पृष्ठ लेते हैं।

चरण 3: फ्लक्स गणना एवं सूत्र निगमन [1 अंक]:

दो समतल वृत्ताकार फलकों पर: E ⊥ dA (कोण 90°), अतः cos 90° = 0। समतल पृष्ठों से फ्लक्स शून्य होगा।
वक्राकार पृष्ठ पर: प्रत्येक बिंदु पर E तथा dA समांतर हैं (कोण 0°)। वक्र पृष्ठ का फ्लक्स Φ = ∬ E dA cos 0° = E ∬ dA = E · (2πrl)। कुल फ्लक्स Φ = E · (2πrl)।

बेलन के अंदर परिबद्ध आवेश: Q_परिबद्ध = λ · l। गाउस प्रमेय लागू करने पर: E · (2πrl) = (λl / ε₀) ⟹ E = λ / (2πε₀r)।

सदिश रूप में: E = [λ / (2πε₀r)] r̂।

उदाहरण 4

कार्तीय निर्देशांक पद्धति में दो बिंदु आवेश q₁ = +3.0 μC तथा q₂ = -3.0 μC क्रमशः A(0, 0, -5 cm) तथा B(0, 0, +5 cm) पर स्थित हैं। (क) निकाय का विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण कितना है? (ख) z-अक्ष पर बिंदु P(0, 0, 15 cm) पर विद्युत विभव ज्ञात कीजिए। (ग) x-अक्ष पर बिंदु Q(10 cm, 0, 0) पर विभव क्या होगा? (घ) एक 0.2 μC के परीक्षण आवेश को बिंदु Q से y-अक्ष पर बिंदु R(0, 8 cm, 0) तक ले जाने में कितना कार्य करना पड़ेगा?

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण (p) ज्ञात करना: आवेश z-अक्ष पर स्थित हैं: q₁ = +3.0 μC, z = -5 cm = -0.05 m q₂ = -3.0 μC, z = +5 cm = +0.05 m द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा ऋणावेश B से धनावेश A की ओर (-z अक्ष की दिशा में) होती है: दूरी 2a = 5 - (-5) = 10 cm = 0.10 m p = q · 2a = (3.0 × 10⁻⁶ C) × (0.10 m) = 3.0 × 10⁻⁷ C·m (-z दिशा में, अर्थात् p = -3.0 × 10⁻⁷ k̂ C·m)। चरण 2: P(0, 0, 15 cm) पर विभव (V_P): P की q₁ से दूरी: r₁ = 15 - (-5) = 20 cm = 0.20 m P की q₂ से दूरी: r₂ = 15 - 5 = 10 cm = 0.10 m V_P = (1 / 4πε₀) · [q₁ / r₁ + q₂ / r₂] V_P = (9.0 × 10⁹) · [(+3.0 × 10⁻⁶ / 0.20) + (-3.0 × 10⁻⁶ / 0.10)] V_P = (9.0 × 10⁹) · [15 × 10⁻⁶ - 30 × 10⁻⁶] = (9.0 × 10⁹) · (-15 × 10⁻⁶) = -1.35 × 10⁵ V = -135 kV। चरण 3: Q(10 cm, 0, 0) पर विभव (V_Q): बिंदु Q x-अक्ष पर है, जो द्विध्रुव का निरक्षीय तल (xy-तल) है। बिंदु Q की A व B से दूरियाँ समान हैं: r_A = r_B = √[10² + (-5)²] = √125 cm V_Q = (1 / 4πε₀) · [q / r_A - q / r_B] = 0 V। चरण 4: Q से R(0, 8 cm, 0) तक ले जाने में कृत कार्य: बिंदु R y-अक्ष पर स्थित है, जो भी इसी समविभव निरक्षीय तल (z = 0) में पड़ता है। अतः V_R = 0 V। कृत कार्य: W_{Q→R} = q_परीक्षण · (V_R - V_Q) = (0.2 × 10⁻⁶ C) · (0 - 0) = 0 जूल। निष्कर्ष: संपूर्ण xy-तल शून्य विभव का समविभव पृष्ठ है, अतः कृत कार्य शून्य होगा।

उदाहरण 5

एक समांतर पट्टिका संधारित्र की पट्टिकाओं का क्षेत्रफल A = 200 cm² तथा उनके बीच की दूरी d = 4.0 mm है। इसे 200 V की डीसी बैटरी से आवेशित किया गया है। (क) धारिता, आवेश तथा संचित ऊर्जा की गणना कीजिए। (ख) बैटरी हटाकर पट्टिकाओं के बीच t = 2.0 mm मोटाई तथा परावैद्युतांक K = 5.0 की पट्टिका रखी जाती है। नई धारिता, नया विभवांतर तथा संचित ऊर्जा में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

चरण 1: प्रारंभिक अवस्था (वायु माध्यम): A = 200 cm² = 200 × 10⁻⁴ m² = 0.02 m² d = 4.0 mm = 4.0 × 10⁻³ m, V₀ = 200 V C₀ = (ε₀ · A) / d = (8.854 × 10⁻¹² × 0.02) / (4.0 × 10⁻³) = 4.427 × 10⁻¹¹ F = 44.27 pF। प्रारंभिक आवेश: Q₀ = C₀ · V₀ = (44.27 × 10⁻¹² F) × (200 V) = 8.854 × 10⁻⁹ C = 8.854 nC। प्रारंभिक ऊर्जा: U₀ = ½ C₀ V₀² = 0.5 × (44.27 × 10⁻¹² F) × (200)² = 8.854 × 10⁻⁷ J = 0.885 μJ। चरण 2: बैटरी विलगित करने के बाद परावैद्युत पट्टिका रखना: चूँकि बैटरी हटा ली गई है, अतः आवेश संरक्षित रहेगा: Q_नया = Q₀ = 8.854 × 10⁻⁹ C। चरण 3: पट्टिका युक्त नई धारिता (C_नया): C_नया = (ε₀ · A) / [d - t(1 - 1/K)] प्रभावी दूरी: d_eff = 4.0 - 2.0(1 - 1/5) = 4.0 - 2.0(0.8) = 4.0 - 1.6 = 2.4 mm = 2.4 × 10⁻³ m। C_नया = (8.854 × 10⁻¹² × 0.02) / (2.4 × 10⁻³) = 7.378 × 10⁻¹¹ F = 73.78 pF। चरण 4: नया विभवांतर (V_नया): V_नया = Q₀ / C_नया = (8.854 × 10⁻⁹ C) / (73.78 × 10⁻¹² F) = 120.0 V। चरण 5: संचित ऊर्जा में परिवर्तन (ΔU): U_नया = ½ · (Q₀² / C_नया) = 0.5 × (8.854 × 10⁻⁹)² / (73.78 × 10⁻¹²) = 5.312 × 10⁻⁷ J = 0.531 μJ। ΔU = U_नया - U₀ = 0.531 μJ - 0.885 μJ = -0.354 μJ। निष्कर्ष: ऊर्जा में 0.354 μJ की कमी होती है, क्योंकि परावैद्युत पट्टिका आकर्षण बल द्वारा स्वतः अंदर खिंचती है और निकाय धनात्मक यांत्रिक कार्य करता है।

उदाहरण 6

(क) स्थिरवैद्युतिकी में गाउस का नियम लिखिए। (ख) R त्रिज्या के एक पतले चालक गोलीय कोश पर एकसमान धनात्मक आवेश Q है। गाउस के नियम का उपयोग करके: (1) कोश के बाहर (r > R), तथा (2) कोश के भीतर (r < R) विद्युत क्षेत्र तीव्रता के व्यंजक निगमित कीजिए। (ग) केंद्र से दूरी r के साथ विद्युत क्षेत्र तीव्रता E तथा विद्युत विभव V के परिवर्तन का आरेख खींचिए। (घ) एक खोखले चालक गोले की आंतरिक त्रिज्या r₁ = 3 cm तथा बाह्य त्रिज्या r₂ = 5 cm है। इसके केंद्र पर q = +2 μC का आवेश रखा है। आंतरिक एवं बाह्य पृष्ठों पर पृष्ठीय आवेश घनत्व ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

भाग (क): गाउस के नियम का कथन [1 अंक]: निर्वात में किसी काल्पनिक बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स उस पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का 1/ε₀ गुना होता है: Φ_E = ∮_S E · dA = Q_परिबद्ध / ε₀।

भाग (ख): गाउस नियम से विद्युत क्षेत्र की व्युत्पत्ति [2 अंक]: (1) गोलीय कोश के बाहर (r > R): केंद्र O को केंद्र मानकर r त्रिज्या का एक समकेंद्रीय गोलीय गाउसीय पृष्ठ लेते हैं। गोलीय सममिति के कारण पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर E का परिमाण समान तथा दिशा त्रिज्यतः बाहर की ओर होगी। ∮_S E · dA = E ∮_S dA = E · (4πr²)। परिबद्ध कुल आवेश = Q। गाउस प्रमेय से: E · (4πr²) = Q / ε₀ ⟹ E = Q / (4πε₀r²) = (1 / 4πε₀) · (Q / r²)। अतः बाह्य बिंदुओं हेतु गोलीय कोश का व्यवहार ऐसा होता है मानो समस्त आवेश केंद्र पर केंद्रित बिंदु आवेश हो।

(2) गोलीय कोश के भीतर (r < R): r < R त्रिज्या का समकेंद्रीय गोलीय गाउसीय पृष्ठ लेते हैं। चूँकि चालक का समस्त आवेश केवल उसके बाह्य पृष्ठ पर रहता है, अतः इस गाउसीय पृष्ठ के अंदर परिबद्ध आवेश Q_परिबद्ध = 0। गाउस प्रमेय से: E · (4πr²) = 0 / ε₀ ⟹ E = 0। अतः एकसमान आवेशित गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र सर्वत्र शून्य होता है (स्थिरवैद्युत परिरक्षण)।

भाग (ग): E व V का r के साथ परिवर्तन आरेख [1 अंक]:

विद्युत क्षेत्र E(r) आरेख:
- 0 ≤ r < R हेतु: E = 0 (r-अक्ष के संपाती क्षैतिज रेखा)।
- r = R पर: तीव्रता अचानक उछलकर अधिकतम मान E_max = Q / (4πε₀R²) हो जाती है।
- r > R हेतु: E ∝ 1/r² के अनुसार अतिपरवलयाकार वक्र रूप में तेजी से घटता है।
विद्युत विभव V(r) आरेख:
- 0 ≤ r ≤ R हेतु: V = नियतांक = Q / (4πε₀R) (एक क्षैतिज समांतर रेखा)।
- r > R हेतु: V ∝ 1/r के अनुसार धीरे-धीरे घटता है।

भाग (घ): खोखले गोले पर पृष्ठीय आवेश घनत्व की गणना [1 अंक]: केंद्र पर स्थित आवेश: q = +2.0 μC। स्थिरवैद्युत प्रेरण द्वारा आंतरिक पृष्ठ (r₁ = 0.03 m) पर विपरीत आवेश -q = -2.0 μC प्रेरित होगा। आंतरिक पृष्ठ का आवेश घनत्व: σ_आंतरिक = (-q) / (4π r₁²) = (-2.0 × 10⁻⁶ C) / [4π × (0.03 m)²] σ_आंतरिक = -2.0 × 10⁻⁶ / (1.131 × 10⁻²) = -1.77 × 10⁻⁴ C/m² = -177 μC/m²।

चूँकि गोला मूलतः अनावेशित था, अतः आवेश संरक्षण से बाह्य पृष्ठ (r₂ = 0.05 m) पर समान धनात्मक आवेश +q = +2.0 μC प्रकट होगा। बाह्य पृष्ठ का आवेश घनत्व: σ_बाह्य = (+q) / (4π r₂²) = (+2.0 × 10⁻⁶ C) / [4π × (0.05 m)²] σ_बाह्य = +2.0 × 10⁻⁶ / (3.1416 × 10⁻²) = +6.37 × 10⁻⁵ C/m² = +63.7 μC/m²।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

यह मान लेना कि जिस बिंदु पर विद्युत विभव V = 0 हो, वहाँ विद्युत क्षेत्र E भी अवश्य शून्य होगा।

सही वैज्ञानिक तथ्य

विभव शून्य होने का अर्थ यह कदापि नहीं है कि विद्युत क्षेत्र भी शून्य होगा। विद्युत क्षेत्र विभव की प्रवणता (E = -dV/dr) पर निर्भर करता है, विभव के निरपेक्ष मान पर नहीं।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

स्थिरवैद्युत क्षेत्र में बल रेखाओं के एक-दूसरे को काटने अथवा बंद लूप बनाने की भ्रांति।

सही वैज्ञानिक तथ्य

बल रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं क्योंकि कटान बिंदु पर क्षेत्र की दो दिशाएँ नहीं हो सकतीं। साथ ही स्थिरवैद्युत क्षेत्र संरक्षी होने के कारण बल रेखाएँ कभी बंद लूप नहीं बनातीं।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

गाउस प्रमेय लगाते समय पृष्ठ के बाहर स्थित आवेशों को भी परिबद्ध आवेश में जोड़ लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

गाउस प्रमेय (∮ E·dA = Q_परिबद्ध / ε₀) में केवल गाउसीय पृष्ठ के अंदर स्थित शुद्ध आवेश ही मान्य होता है। बाह्य आवेशों का कुल फ्लक्स में योगदान शून्य होता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

संधारित्र आवेशन में बैटरी द्वारा किए गए कार्य को ½QV समझना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

V वोल्ट की बैटरी द्वारा Q आवेश प्रवाहित करने में किया गया कुल कार्य W = Q·V होता है। इसका ठीक 50% भाग (½QV) संधारित्र में संचित होता है और शेष 50% तारों में ऊष्मा बनकर व्यय होता है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

बैटरी जुड़ी रहने तथा बैटरी हटाने की स्थितियों में परावैद्युत डालने के प्रभावों में भ्रमित होना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

बैटरी जुड़ी रहने पर विभव V नियत रहता है (V = V₀) तथा आवेश बढ़ता है (Q = KQ₀)। बैटरी हटाने पर आवेश Q नियत रहता है (Q = Q₀) तथा विभव घटता है (V = V₀/K)।

कक्षा 12 भौतिक विज्ञान: स्थिरवैद्युतिकी का समग्र संरचनात्मक आरेख

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

स्थिरवैद्युतिकी विराम अवस्था में स्थित आवेशों का अध्ययन करती है, जो क्वांटीकरण एवं संरक्षण नियमों पर आधारित है।

मुख्य बिंदु 2

कूलॉम के नियमानुसार स्थिरवैद्युत बल आवेशों के गुणनफल के अनुक्रमानुपाती तथा दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

मुख्य बिंदु 3

विद्युत क्षेत्र तीव्रता एकांक परीक्षण आवेश पर बल है; द्विध्रुव का क्षेत्र दूरी के घन के व्युत्क्रमानुपाती घटता है।

मुख्य बिंदु 4

गाउस का प्रमेय सममित आवेश वितरणों के विद्युत क्षेत्र की गणना का एक अत्यंत प्रभावी समाकलन रूप है।

मुख्य बिंदु 5

विद्युत विभव एकांक धन आवेश को अनंत से लाने में कृत कार्य है; इसकी ऋणात्मक प्रवणता ही विद्युत क्षेत्र है।

मुख्य बिंदु 6

समविभव पृष्ठ पर आवेश गति में कोई कार्य नहीं करना पड़ता तथा बल रेखाएँ इसके सदैव लंबवत होती हैं।

मुख्य बिंदु 7

स्थिर साम्यावस्था में चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य, आवेश बाह्य पृष्ठ पर तथा चालक समविभव क्षेत्र होता है।

मुख्य बिंदु 8

परावैद्युत माध्यमों में आण्विक ध्रुवण के कारण आंतरिक विपरीत क्षेत्र उत्पन्न होकर परिणामी क्षेत्र को K गुना घटाता है।

मुख्य बिंदु 9

धारिता आवेश संचय की क्षमता है; समांतर पट्टिकाओं के मध्य परावैद्युत रखने पर धारिता बढ़ती है।

मुख्य बिंदु 10

संधारित्र में संचित ऊर्जा U = ½CV² तथा ऊर्जा घनत्व u = ½ε₀E² होता है; आवेशों के पुनर्वितरण में ऊर्जा हानि अनिवार्य है।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

विद्युत बल रेखाएँ कभी एक-दूसरे को क्यों नहीं काटतीं तथा स्थिरवैद्युत क्षेत्र में वे बंद लूप क्यों नहीं बना सकतीं?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:
बल रेखा के स्पर्शक की ज्यामितीय परिभाषा तथा संरक्षी बल क्षेत्र के कार्य-ऊर्जा प्रमेय पर ध्यान दें।

R त्रिज्या के एक गोलीय बंद पृष्ठ के केंद्र पर p आघूर्ण का एक विद्युत द्विध्रुव स्थित है। पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स कितना होगा? क्या इसका अर्थ यह है कि पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:
अदिश फ्लक्स समाकलन तथा किसी विशेष बिंदु पर सदिश विद्युत क्षेत्र तीव्रता E के अंतर को समझें।

स्थिरवैद्युत परिरक्षण क्या है? आकाशीय बिजली चमकने के दौरान यह किस प्रकार जीवन रक्षा करता है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:
स्थिर साम्यावस्था में खोखले चालक के आंतरिक भाग में विद्युत क्षेत्र के मान पर विचार करें।

यदि किसी आवेशित विलगित समांतर पट्टिका संधारित्र की पट्टिकाओं के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाए, तो: (क) धारिता, (ख) विभवांतर, तथा (ग) संचित स्थितिज ऊर्जा पर क्या प्रभाव पड़ेगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:
विलगित संधारित्र में आवेश Q सदैव अपरिवर्तित रहता है।

समांतर पट्टिका संधारित्र की पट्टिकाओं के मध्य परावैद्युत पट्टिका रखने पर उसकी धारिता क्यों बढ़ जाती है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर:
परावैद्युत ध्रुवण के कारण पट्टिकाओं के मध्य परिणामी विद्युत क्षेत्र तथा विभवांतर में कमी पर ध्यान दें।

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

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सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

सही वैज्ञानिक तथ्य

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