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WBB • कक्षा 7 • Mathematics (গণিত প্রভা) • अध्याय 12

अनुमानित समय: 55 मिनट

प्रगति: अध्ययनरत

बीजीय सूत्र

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा 7 गणित प्रभा पाठ्यक्रम के अध्याय 12 "बीजीय सूत्र" (Algebraic Formulae) में आपका स्वागत है। TargetExams Gold-Standard 5-चरणीय शिक्षण पद्धति से सुसज्जित यह अध्याय द्विपद वर्गों के सूत्रों $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ एवं $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का ज्यामितीय सत्यापन, दो वर्गों के अंतर का सूत्र $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, उपसूत्र ($4ab$, $2(a^2+b^2)$, दो वर्गों के अंतर के रूप में गुणनफल $ab$), $x + 1/x = k$ पर आधारित उच्च घातों के मान तथा त्रिपद वर्ग $(a+b+c)^2$ के विस्तार को सरल एवं वैज्ञानिक तरीके से सिखाता है।

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⚡ बीजगणित का चमत्कारी शॉर्टकट: $105 \times 95$ बिना कॉपी-कलम केवल 2 सेकंड में!

यदि आपको $105$ को $95$ से गुणा करने को कहा जाए, तो पारंपरिक गुणा में कम से कम 1 मिनट लगेगा। परंतु एक बीजीय सूत्र की मदद से यह प्रश्न मन ही मन चुटकियों में हल हो जाता है!

ध्यान दें: $105 \times 95 = (100 + 5)(100 - 5) = 100^2 - 5^2 = 10,000 - 25 = 9,975$! बिना किसी रफ वर्क के तुरंत सही उत्तर!

बीजीय सूत्र केवल चरों के नियम नहीं हैं—ये गणना की गति को असीम तेज करने के अचूक औजार हैं। इस अध्याय में हम सीखेंगे कि ज्यामिति के क्षेत्रफल मॉडल से ये सूत्र कैसे सिद्ध होते हैं और परीक्षा में पूरे अंक कैसे दिलाते हैं।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

चर, अचर एवं समान पदों (Like terms) की पहचान
घातांक नियम ($x^m \times x^n = x^{m+n}$)
वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र ($\text{भुजा}^2$)
पूर्णांकों के गुणन में चिन्ह नियम ($+ \times + = +$, $- \times - = +$, $+ \times - = -$)

इस अध्याय के लक्ष्य

$(a+b)^2$ एवं $(a-b)^2$ के बीजगणितीय व ज्यामितीय प्रमाण को समझना
दो वर्गों के अंतर सूत्र $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ से तीव्र गणना करना
उपसूत्र $4ab$, $2(a^2+b^2)$ और $ab = ((a+b)/2)^2 - ((a-b)/2)^2$ का अनुप्रयोग
$x \pm 1/x = k$ के प्रयोग से $x^2 + 1/x^2$ एवं $x^4 + 1/x^4$ ज्ञात करना
त्रिपद वर्ग $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का सरलीकरण

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 अवधारणा 1: द्विपद योग का वर्ग एवं ज...

2 अवधारणा 2: द्विपद अंतर का वर्ग एवं...

3 अवधारणा 3: दो वर्गों का अंतर एवं गु...

4 अवधारणा 4: उपसूत्र—$4ab$, $2(a^2+b^...

5 अवधारणा 5: मान ज्ञात करना एवं जटिल...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

अवधारणा 1: द्विपद योग का वर्ग एवं ज्यामितीय प्रमाण ($(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$)

चरण 1

मूल बीजगणितीय व्युत्पत्ति (Core Derivation)

द्विपद $(a+b)$ को स्वयं से गुणा करने पर:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2$

क्रमविनिमेय नियम से $ab = ba$, अतः समान पद जुड़कर $2ab$ बनते हैं: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$।

चरण 2

ज्यामितीय क्षेत्रफल विश्लेषण (Geometric Proof)

भुजा $(a+b)$ वाले बड़े वर्ग का कुल क्षेत्रफल $(a+b)^2$ है। यह चार उप-भागों में विभाजित होता है:

एक $a \times a$ का वर्ग (क्षेत्रफल $= a^2$)
दो $a \times b$ के आयत (प्रत्येक का क्षेत्रफल $= ab$, कुल $= 2ab$)
एक $b \times b$ का वर्ग (क्षेत्रफल $= b^2$)

चरण 3

विस्तृत उदाहरण एवं हल (Step-by-Step Worked Example)

प्रश्न 1: सूत्र से $(5m + 2n)^2$ का मान ज्ञात करें।
हल:
$a = 5m, b = 2n$ रखने पर:
$(5m + 2n)^2 = (5m)^2 + 2(5m)(2n) + (2n)^2 = 25m^2 + 20mn + 4n^2$।

प्रश्न 2 (संख्यात्मक गणना): सूत्र से $103^2$ निकालें।
हल:
$103^2 = (100 + 3)^2 = 100^2 + 2(100)(3) + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10,609$।

चरण 4

परीक्षक के जाल एवं सावधानियां (Examiner Traps)

गुणांकों का वर्ग छोड़ना: $(5m)^2$ को $5m^2$ न लिखें। यह $25m^2$ होता है।

चरण 5

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग (Real-World Application)

वास्तुशिल्प एवं निर्माण कार्य: वर्गाकार प्लॉट का क्षेत्रफल सड़क चौड़ीकरण के कारण $a$ एवं $b$ मीटर बढ़ाने पर कुल क्षेत्रफल की वृद्धि की गणना इसी द्विपद विस्तार से की जाती है।

अवधारणा 2: द्विपद अंतर का वर्ग एवं त्रिपद विस्तार ($(a-b)^2$ & $(a+b+c)^2$)

चरण 1

अंतर का वर्ग एवं त्रिपद सूत्र

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - 2ab + b^2$।

त्रिपद वर्ग: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$।

चरण 2

चिन्ह नियम का तर्क

$(-b)^2 = +b^2$ होता है, इसलिए अंतिम पद सदैव धनात्मक रहता है, जबकि मध्य पद $(-2ab)$ ऋणात्मक होता है। त्रिपद में जो पद ऋणात्मक होगा, केवल उसी से जुड़े गुणनफल ऋणात्मक होंगे।

चरण 3

विस्तृत उदाहरण एवं हल (Step-by-Step Worked Example)

प्रश्न 1: सूत्र से $97^2$ ज्ञात करें।
हल:
$97^2 = (100 - 3)^2 = 100^2 - 2(100)(3) + 3^2 = 10000 - 600 + 9 = 9,409$।

प्रश्न 2 (त्रिपद विस्तार): $(2x - y + 3z)^2$ का विस्तार करें।
हल:
$=(2x)^2 + (-y)^2 + (3z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(3z) + 2(3z)(2x)
$= 4x^2 + y^2 + 9z^2 - 4xy - 6yz + 12zx$।

चरण 4

परीक्षक के जाल एवं सावधानियां (Examiner Traps)

त्रिपद में $(-y)^2$ को $-y^2$ लिखना भारी भूल है। किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग धनात्मक ہوتا है ($+y^2$)।

चरण 5

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग (Real-World Application)

सांख्यिकी एवं प्रसरण (Variance): डेटा विश्लेषण में माध्य से विचलन का वर्ग $(x_i - \bar{x})^2 = x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2$ इसी सूत्र से लाखों डेटा पॉइंट्स में हल किया जाता है।

अवधारणा 3: दो वर्गों का अंतर एवं गुणनखंडन ($a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$)

चरण 1

सूत्र का सिद्धांत

$(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$।

विलोमतः: दो पूर्ण वर्गों के अंतर को उनके योग और अंतर के गुणनफल में तोड़ा जा सकता है: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$।

चरण 2

तीव्र मौखिक गणना का रहस्य

जब दो संख्याओं का औसत शून्य या सरल संख्या हो, जैसे $62 \times 58 = (60+2)(60-2) = 3600 - 4 = 3596$।

चरण 3

विस्तृत उदाहरण एवं हल (Step-by-Step Worked Example)

प्रश्न 1: $49x^2 - 64y^2$ का गुणनखंडन करें।
हल:
$(7x)^2 - (8y)^2 = (7x + 8y)(7x - 8y)$।

प्रश्न 2: $(x+y)(x-y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$ का मान निकालें।
हल:
$(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4) = x^8 - y^8$।

चरण 4

परीक्षक के जाल एवं सावधानियां (Examiner Traps)

उभयनिष्ठ गुणनखंड पहले न लेना: $2x^2 - 32$ में पहले $2$ कॉमन लें: $2(x^2 - 16) = 2(x+4)(x-4)$।

चरण 5

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग (Real-World Application)

पाइप एवं वलय का क्षेत्रफल: संकेन्द्री वृत्तों का क्षेत्रफल $\pi(R^2 - r^2) = \pi(R+r)(R-r)$ से पाइप की धातु की लागत निकाली जाती है।

अवधारणा 4: उपसूत्र—$4ab$, $2(a^2+b^2)$ एवं दो वर्गों का अंतर रूप

चरण 1

उपसूत्रों की व्युत्पत्ति

$(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$।

चरण 2

उपसूत्रों के चयन की विधि

जब $(a+b)$ और $(a-b)$ ज्ञात हों और $ab$ या $a^2+b^2$ पूछा जाए, तो सीधे इन सूत्रों का प्रयोग करें।

चरण 3

विस्तृत उदाहरण एवं हल (Step-by-Step Worked Example)

प्रश्न 1: यदि $a+b=9$ और $a-b=5$ हो, तो $8ab(a^2+b^2)$ का मान निकालें।
हल:
$8ab(a^2+b^2) = 4ab \times 2(a^2+b^2) = [9^2 - 5^2] \times [9^2 + 5^2] = 56 \times 106 = 5,936$।

प्रश्न 2: $44$ को दो वर्गों के अंतर के रूप में लिखें।
हल:
$44 = 22 \times 2 = (\frac{22+2}{2})^2 - (\frac{22-2}{2})^2 = 12^2 - 10^2$।

चरण 4

परीक्षक के जाल एवं सावधानियां (Examiner Traps)

हर के 2 का वर्ग छोड़ना: $(\frac{a+b}{2})^2$ में हर का वर्ग $4$ होता है, इसे २ न छोड़ें।

चरण 5

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग (Real-World Application)

क्रिप्टोग्राफी एवं डेटा सुरक्षा: विषम संख्याओं को दो वर्गों के अंतर में तोड़ना (Fermat Factorization) आधुनिक इंटरनेट सुरक्षा का आधार है।

अवधारणा 5: मान ज्ञात करना एवं जटिल राशियां ($x + 1/x = k$ रूप)

चरण 1

व्युत्क्रम चरों का गुणधर्म

$x \cdot \frac{1}{x} = 1$ होने से मध्य पद सदैव $2$ बन जाता है:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$।

चरण 2

उच्च घातों का सोपान

पहले वर्ग करके $x^2 + \frac{1}{x^2}$ निकालें, फिर उस परिणाम का पुनः वर्ग करके $x^4 + \frac{1}{x^4}$ ज्ञात करें।

चरण 3

विस्तृत उदाहरण एवं हल (Step-by-Step Worked Example)

प्रश्न 1: यदि $m - \frac{1}{m} = 4$ हो, तो $m^2 + \frac{1}{m^2}$ एवं $m^4 + \frac{1}{m^4}$ निकालें।
हल:
$(m - \frac{1}{m})^2 = 4^2 \implies m^2 - 2 + \frac{1}{m^2} = 16 \implies m^2 + \frac{1}{m^2} = 18$।
पुनः वर्ग करने पर:
$(m^2 + \frac{1}{m^2})^2 = 18^2 \implies m^4 + 2 + \frac{1}{m^4} = 324 \implies m^4 + \frac{1}{m^4} = 322$।

प्रश्न 2: $k$ के किस मान के लिए $c^2 + kc + 36$ पूर्ण वर्ग होगा?
हल:
मध्य पद $=\pm 2 \cdot c \cdot 6 = \pm 12c$। अतः $k = \pm 12$।

चरण 4

परीक्षक के जाल एवं सावधानियां (Examiner Traps)

चिन्हों का पक्षांतरण: $m - 1/m = 4$ में $-2$ दाईं ओर जाकर $+2$ जुड़ेगा ($16+2=18$), न कि घटेगा।

चरण 5

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग (Real-World Application)

इलेक्ट्रॉनिक्स एवं सिग्नल प्रोसेसिंग: परिपथों में प्रतिबाधा (Impedance) और आवृत्ति $f + 1/f$ के न्यूनतम मान की गणना में यह संबंध अनिवार्य रूप से प्रयुक्त होता है।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

द्विपद योग का वर्ग

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

प्रथम पद का वर्ग + 2(प्रथम पद)(द्वितीय पद) + द्वितीय पद का वर्ग।

द्विपद अंतर का वर्ग

$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

मध्य पद सदैव ऋणात्मक ($-2ab$) होता है।

दो वर्गों का अंतर

$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$

गुणनखंडन एवं तीव्र गुणा का आधारभूत सूत्र।

वर्गों का योग उपसूत्र

$$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2}$$

दिए गए मानों के अनुसार उपयुक्त रूप चुनें।

४ गुणनफल एवं दो वर्गों के अंतर रूप में गुणनफल

$$4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2, \quad ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$

किसी भी गुणनफल को दो पूर्ण वर्गों के अंतर में लिखने का सूत्र।

त्रिपद का वर्ग

$$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$$

तीनों पदों के वर्गों का योग + दो-दो पदों के गुणनफलों का दुगुना।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

सूत्र की सहायता से $(3x + 4y)^2$ का विस्तार करें।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

$a = 3x$ तथा $b = 4y$ रखने पर:
$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2$।

उदाहरण 2

यदि $x + \frac{1}{x} = 5$ हो, तो $x^2 + \frac{1}{x^2}$ तथा $x^4 + \frac{1}{x^4}$ का मान निकालें।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2 \implies x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 23$।
पुनः वर्ग करने पर:
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 23^2 \implies x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 529 \implies x^4 + \frac{1}{x^4} = 527$।

उदाहरण 3

$12xy$ को दो वर्गों के अंतर के रूप में व्यक्त करें।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

$12xy = (6x)(2y)$।
$ab = (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2$ सूत्र से:
$12xy = (\frac{6x+2y}{2})^2 - (\frac{6x-2y}{2})^2 = (3x+y)^2 - (3x-y)^2$।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

$(a+b)^2 = a^2 + b^2$ या $(a-b)^2 = a^2 - b^2$ लिखना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

यह बीजगणित की सबसे बड़ी भूल है। मध्य पद $+2ab$ अथवा $-2ab$ कभी न छोड़ें।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

गुणांक का वर्ग न करना: जैसे $(5m)^2 = 5m^2$ लिखना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

कोष्ठक के प्रत्येक पद का वर्ग होगा: $(5m)^2 = 5^2 \times m^2 = 25m^2$।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

$x^2 - y^2$ और $(x-y)^2$ को एक समान समझना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ है, जबकि $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ है। ये दोनों भिन्न हैं।

द्विपद वर्ग का ज्यामितीय मॉडल: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ क्षेत्रफल प्रमाण

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

द्विपद योग का वर्ग: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (मध्य पद $2ab$ कभी न छोड़ें)।

मुख्य बिंदु 2

द्विपद अंतर का वर्ग: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (मध्य पद ऋणात्मक होता है)।

मुख्य बिंदु 3

दो वर्गों का अंतर: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ (गुणनखंडन एवं तीव्र गुणा का आधार)।

मुख्य बिंदु 4

वर्गों का योग: $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab$।

मुख्य बिंदु 5

चार गुणनफल उपसूत्र: $4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$।

मुख्य बिंदु 6

दो वर्गों के अंतर रूप में गुणनफल: $ab = (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2$।

मुख्य बिंदु 7

त्रिपद का वर्ग: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$।

मुख्य बिंदु 8

व्युत्क्रम चरों में: $x^2 + 1/x^2 = (x \pm 1/x)^2 \mp 2$।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

सूत्र से विस्तार करें: $(4a - 5b)^2$।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $(4a)^2 - 2(4a)(5b) + (5b)^2 = 16a^2 - 40ab + 25b^2$।
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ सूत्र लगाएं।

सूत्र द्वारा $103 \times 97$ का मान ज्ञात करें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $10,000 - 9 = 9,991$।
$(100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2$।

यदि $x + \frac{1}{x} = 4$ हो, तो $x^2 + \frac{1}{x^2}$ एवं $x^4 + \frac{1}{x^4}$ निकालें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 14$ तथा $x^4 + \frac{1}{x^4} = 14^2 - 2 = 194$।
क्रमशः दो बार वर्ग करें।

$25x^2 - 30x + 9 = (px + q)^2$ में $p$ और $q$ का मान क्या होगा?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $p = 5, q = -3$ (या $p = -5, q = 3$)।
$(5x - 3)^2$ से तुलना करें।

$15xy$ को दो वर्गों के अंतर के रूप में लिखें।

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $(\frac{5x+3y}{2})^2 - (\frac{5x-3y}{2})^2$।
$15xy = (5x)(3y)$ मानकर $ab = (\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2$ लगाएं।

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15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स

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