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WBB • कक्षा 7 • Mathematics (গণিত প্রভা) • अध्याय 3

अनुमानित समय: 50 मिनट

प्रगति: अध्ययनरत

समानुपात

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा 7 गणित के तृतीय अध्याय "समानुपात" (Proportion) में आपका स्वागत है। TargetExams Gold-Standard शिक्षण पद्धति पर आधारित इस अध्याय में चार राशियों के परस्पर संबंध, चरम पदों व मध्य पदों का गुणनफल नियम, अज्ञात चतुर्थ व तृतीय समानुपाती की गणना, सतत समानुपात (Continued Proportion) तथा व्यावहारिक समस्याओं का गहन और प्रामाणिक अध्ययन प्रस्तुत किया गया है।

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प्रस्तावना अध्याय अवधारणाएँ सूत्र एवं सर्वसमिकाएँ हल उदाहरण सामान्य गलतियाँ अध्याय सारांश स्व-मूल्यांकन अभ्यास टेस्ट दें

🌍 दैनिक जीवन में समानुपात का चमत्कार

बिना किसी सैटेलाइट के 2000 वर्ष पूर्व पृथ्वी की परिधि कैसे मापी गई?

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ इरेटोस्थनीज ने केवल सूर्य की छाया और एक लाठी की मदद से समानुपात ($a : b :: c : d$) का उपयोग करके पृथ्वी की परिधि 99% शुद्धता से माप ली थी। उन्होंने कोण और दूरी के बीच समानुपात स्थापित किया: $\frac{7.2^\circ}{360^\circ} = \frac{500\text{ मील}}{\text{परिधि}}$।

समानुपात केवल किताबी सूत्र नहीं है—यह मानचित्रों के पैमाने, मोबाइल स्क्रीन के आस्पेक्ट रेशियो और वैज्ञानिक मॉडलों का आधार है।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

अनुपात की संकल्पना, पूर्वपद एवं उत्तरपद की पहचान।
भिन्नों का सरलतम रूप और वज्र गुणन (Cross-Multiplication)।
सजातीय मात्रकों में रूपांतरण (जैसे मीटर से सेमी, रुपये से पैसे)।

इस अध्याय के लक्ष्य

समानुपाती होने की शर्त की जाँच करना तथा चरम पद और मध्य पद की पहचान करना।
समानुपात के मूलभूत नियम ($\text{चरम पदों का गुणनफल} = \text{मध्य पदों का गुणनफल}$) द्वारा अज्ञात पद ज्ञात करना।
सतत समानुपात (Continued Proportion) और मध्यानुपाती ($b = \sqrt{ac}$) का निर्धारण करना।
सीधे और विलोम समानुपात में अंतर समझकर व्यावहारिक प्रश्नों को हल करना।
छाया की लंबाई और मानचित्र के पैमाने संबंधी प्रश्नों में समानुपात का अनुप्रयोग करना।

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 1. समानुपात की संकल्पना एवं मूलभूत...

2 2. अज्ञात पद एवं चतुर्थ समानुपाती क...

3 3. सतत समानुपात एवं मध्यानुपाती (Co...

4 4. व्यावहारिक प्रश्न: सीधा एवं विलो...

5 5. ज्यामितीय अनुप्रयोग एवं छाया की...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

1. समानुपात की संकल्पना एवं मूलभूत नियम

1. मूल अवधारणा (The Intuition)

जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो चारों राशियाँ समानुपाती (in Proportion) कहलाती हैं। इसे $a : b :: c : d$ लिखा जाता है।

2. औपचारिक सिद्धांत (The Formal Law)

चार राशियों $a, b, c, d$ में $a$ व $d$ चरम पद (Extremes) तथा $b$ व $c$ मध्य पद (Means) कहलाते हैं।

$$\mathbf{\text{चरम पदों का गुणनफल} = \text{मध्य पदों का गुणनफल} \implies a \times d = b \times c}$$

3. हल उदाहरण (Worked Example)

उदाहरण: क्या $8, 10, 16, 20$ समानुपात में हैं?

चरम पदों का गुणनफल $= 8 \times 20 = 160$

मध्य पदों का गुणनफल $= 10 \times 16 = 160$

चूँकि दोनों गुणनफल समान हैं, अतः ये संख्याएँ समानुपात में हैं।

4. सामान्य भूल (Pitfall)

समानुपात में पदों का क्रम नहीं बदलना चाहिए।

5. व्यावहारिक उपयोग

स्क्रीन आस्पेक्ट रेशियो और फोटोग्राफी में उपयोगी।

2. अज्ञात पद एवं चतुर्थ समानुपाती की गणना

1. मूल अवधारणा

किन्हीं तीन ज्ञात पदों की सहायता से अज्ञात पद की सीधे गणना की जा सकती है: $d = \frac{b \times c}{a}$।

2. औपचारिक सूत्र

$$d = \frac{\text{द्वितीय पद} \times \text{तृतीय पद}}{\text{प्रथम पद}}$$

3. हल उदाहरण

$9, 12, 18$ का चतुर्थ समानुपाती ज्ञात कीजिए।

$9 \times x = 12 \times 18 \implies x = \frac{216}{9} = \mathbf{24}$।

4. सावधानी

वज्र गुणन में पदों का सही गुणा सुनिश्चित करें।

5. व्यावहारिक उपयोग

मुद्रा विनिमय दर (Forex Exchange) में प्रयुक्त।

3. सतत समानुपात एवं मध्यानुपाती (Continued Proportion)

1. मूल अवधारणा

जब तीन राशियाँ $a, b, c$ इस प्रकार हों कि $a : b :: b : c$, तो इन्हें सतत समानुपाती कहते हैं।

2. औपचारिक सूत्र

$$b^2 = a \times c \implies b = \sqrt{a \times c} \text{ (मध्यानुपाती)}$$

$$c = \frac{b^2}{a} \text{ (तृतीय समानुपाती)}$$

3. हल उदाहरण

$4$ और $25$ का मध्यानुपाती $= \sqrt{4 \times 25} = \sqrt{100} = \mathbf{10}$।

$8$ और $12$ का तृतीय समानुपाती $= \frac{12^2}{8} = \frac{144}{8} = \mathbf{18}$।

4. सावधानी

तृतीय समानुपाती में मध्य पद को दो बार प्रयुक्त किया जाता है।

5. व्यावहारिक उपयोग

ज्यामितीय श्रेणी और स्वर्ण अनुपात में प्रयुक्त।

4. व्यावहारिक प्रश्न: सीधा एवं विलोम समानुपात

1. मूल अवधारणा

सीधे समानुपात में $x_1 : x_2 :: y_1 : y_2$ तथा विलोम समानुपात में $x_1 : x_2 :: y_2 : y_1$ लिखा जाता है।

2. तुलनात्मक तालिका

मजदूर व दिन: विलोम संबंध। सामग्री व मूल्य: सीधा संबंध।

3. हल उदाहरण

15 मजदूर 12 दिन में काम पूरा करते हैं। 9 दिन में पूरा करने हेतु: $12 : 9 :: x : 15 \implies x = 20$ मजदूर।

अतिरिक्त मजदूर $= 20 - 15 = \mathbf{5\text{ मजदूर}}$।

4. सावधानी

अतिरिक्त मजदूरों की गणना में मूल मजदूरों को घटाना न भूलें।

5. व्यावहारिक उपयोग

परियोजना प्रबंधन एवं बजट निर्धारण में अनिवार्य।

5. ज्यामितीय अनुप्रयोग एवं छाया की लंबाई

1. मूल अवधारणा

धूप में एक ही समय पर किसी वस्तु की ऊँचाई और उसकी छाया की लंबाई में सीधा समानुपात होता है।

2. औपचारिक सूत्र

$$\frac{\text{ऊँचाई}_1}{\text{छाया}_1} = \frac{\text{ऊँचाई}_2}{\text{छाया}_2}$$

3. हल उदाहरण

6 मीटर खंभे की छाया 8 मीटर है। 24 मीटर छाया वाले पेड़ की ऊँचाई $= \frac{6 \times 24}{8} = \mathbf{18\text{ मीटर}}$।

4. सावधानी

सभी मानों को एक ही इकाई में बदलें।

5. व्यावहारिक उपयोग

मानचित्र पैमाने और भवनों के वास्तुशिल्प मॉडल में प्रयुक्त।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

समानुपात का मूलभूत नियम

$$a \times d = b \times c$$

चरम पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल

चतुर्थ समानुपाती

$$d = \frac{b \times c}{a}$$

अज्ञात चौथा पद

मध्यानुपाती सूत्र

$$b = \sqrt{a \times c}$$

सतत समानुपात a:b :: b:c

तृतीय समानुपाती

$$c = \frac{b^2}{a}$$

सतत समानुपात का तीसरा पद

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1

$7, x, 35, 45$ समानुपात में हैं, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

$x \times 35 = 7 \times 45 \implies x = \frac{315}{35} = \mathbf{9}$।

उदाहरण 2

$16$ और $36$ का मध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।

विस्तृत समाधान / उत्तर:

$b = \sqrt{16 \times 36} = 4 \times 6 = \mathbf{24}$।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

पदों के क्रम में हेरफेर करना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

समानुपात में पदों का क्रम अपरिवर्तनीय होता है।

चित्रात्मक व्याख्या एवं मॉडल

WBBSE गणित: समानुपात का संतुलन पैमाना

चरम पदों का गुणनफल सदैव मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है ($a \times d = b \times c$)

1st पद

$a$

चरम पद

2nd पद

$b$

मध्य पद

3rd पद

$c$

मध्य पद

4th पद

$d$

चरम पद

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1

समानुपात: दो अनुपातों की समता ($a:b :: c:d$)।

मुख्य बिंदु 2

मूल सूत्र: $\text{चरम पदों का गुणनफल} = \text{मध्य पदों का गुणनफल} (a \times d = b \times c)$।

मुख्य बिंदु 3

चतुर्थ समानुपाती: $d = \frac{b \times c}{a}$।

मुख्य बिंदु 4

सतत समानुपात: $b = \sqrt{ac}$ (मध्यानुपाती) तथा $c = \frac{b^2}{a}$ (तृतीय समानुपाती)।

मुख्य बिंदु 5

सीधा व विलोम: सीधे में $x_1:x_2 :: y_1:y_2$, विलोम में $x_1:x_2 :: y_2:y_1$।

मुख्य बिंदु 6

छाया एवं ऊँचाई: सूर्य के प्रकाश में ऊँचाई और छाया की लंबाई सीधे समानुपात में होती है।

मुख्य बिंदु 7

इकाई समरूपता: समानुपात स्थापित करने से पूर्व सभी राशियों को एक ही मात्रक में बदलें।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

$4, 6, 10, x$ समानुपात में हैं तो $x$?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $\mathbf{15}$
$4x = 60 \implies x = 15$।

$9$ और $25$ का मध्यानुपाती क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $\mathbf{15}$
$\sqrt{9 \times 25} = 15$।

$4$ और $12$ का तृतीय समानुपाती क्या है?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $\mathbf{36}$
$12^2 / 4 = 36$।

मानचित्र पर 2 सेमी = 50 किमी, तो 5 सेमी = ?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $\mathbf{125\text{ किमी}}$
सीधा समानुपात।

12 मजदूर 20 दिन में काम करते हैं, तो 15 मजदूर कितने दिन में?

उत्तर एवं व्याख्या देखें

उत्तर: $\mathbf{16\text{ दिन}}$
विलोम समानुपात।

अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?

अभ्यास के लिए तैयार?

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फाउंडेशन टेस्ट

15 MCQs • मूल अवधारणाएँ

एडवांस्ड टेस्ट

15 MCQs • HOTS और ट्रैप्स