यदि आपको $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$ लिखना हो, तो बार-बार एक ही संख्या लिखना असुविधाजनक होता है। गणित में एक ही संख्या के बार-बार गुणन को संक्षिप्त एवं प्रभावी रूप में दर्शाने के लिए घातीय संकेतन (Exponential Notation) का प्रयोग किया जाता है। यहाँ ३ का ६ बार गुणन हुआ है, जिसे संक्षेप में $3^6$ लिखा जाता है।
किसी वास्तविक संख्या $a$ को परस्पर $n$ बार गुणा करने पर उसे $\mathbf{a^n}$ लिखा जाता है:
$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ बार}}$$
- आधार (Base): जिस संख्या का बार-बार गुणन किया जाता है, उसे आधार कहते हैं। $a^n$ में $a$ आधार है।
- घातांक (Exponent/Power): संख्या जितनी बार गुणा की जाती है, उस संख्या को घातांक कहते हैं। $a^n$ में $n$ घातांक है।
- चिन्ह नियम:
• $(-a)^{\text{सम संख्या}} = +a^{\text{सम}}$ (उदा. $(-2)^4 = +16$)
• $(-a)^{\text{विषम संख्या}} = -a^{\text{विषम}}$ (उदा. $(-2)^5 = -32$)
उदाहरण: $343$ को $7$ के आधार पर तथा $625$ को $5$ के आधार पर घातीय रूप में व्यक्त कीजिए।
चरण 1 ($343$ का अभाज्य गुणनखंडन):
$343 = 7 \times 49 = 7 \times 7 \times 7 = \mathbf{7^3}$ (आधार 7, घातांक 3)।
चरण 2 ($625$ का अभाज्य गुणनखंडन):
$625 = 5 \times 125 = 5 \times 5 \times 25 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = \mathbf{5^4}$ (आधार 5, घातांक 4)।
उत्तर: $343 = \mathbf{7^3}$ तथा $625 = \mathbf{5^4}$।
विद्यार्थी प्रायः $3^4$ को $3 \times 4 = 12$ लिख देते हैं। यह गंभीर त्रुटि है!
सत्य अर्थ: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = \mathbf{81}$ होता है।
कंप्यूटर चिप्स और बाइनरी प्रणाली 2 की घातों पर कार्य करती है ($2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^8 = 256$ आदि)।