मूल सिद्धांत एवं नियम (Core Theory)
भिन्नों का वर्गमूल: किसी भिन्न $\frac{a}{b}$ का वर्गमूल अंश के वर्गमूल को हर के वर्गमूल से भाग देने पर प्राप्त होता है: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$।
उचित भिन्न का नियम: यदि $0 < x < 1$ हो, तो उसका वर्गमूल संख्या से बड़ा होता है: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}$।
कारण विश्लेषण
1 से छोटी संख्या से गुणा करने पर मान घटता है (जैसे $10 \times \frac{1}{2} = 5$)। अतः उचित भिन्न का वर्ग करने पर वह घट जाती है और वर्गमूल लेने पर बढ़ जाती है।
हल सहित उदाहरण (Worked Example)
प्रश्न: $\frac{49}{81}$ का वर्गमूल ज्ञात करें।
हल: $\sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}} = \frac{7}{9}$। चूंकि $\frac{7}{9} = \frac{63}{81} > \frac{49}{81}$, अतः वर्गमूल मूल संख्या से बड़ा है।
सावधानी (Common Mistake)
वर्ग और वर्गमूल में भ्रमित न हों: वर्ग का अर्थ घात 2 है, जबकि वर्गमूल का अर्थ $\sqrt{}$ है।
व्यावहारिक अनुप्रयोग (Real-World Application)
छवि संपीड़न (Image Scaling): डिजिटल छवि का क्षेत्रफल एक-चौथाई करने पर उसकी लंबाई-चौड़ाई आधी हो जाती है।