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WBB • कक्षा 7 • Mathematics (গণিত প্রভা) • अध्याय 15
अनुमानित समय: 50 मिनट
प्रगति: अध्ययनरत

समय और दूरी

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा 7 गणित प्रभा पाठ्यक्रम के अध्याय 15 "समय और दूरी" (Time and Distance) में आपका स्वागत है। TargetExams Gold-Standard 5-चरणीय शिक्षण पद्धति से सुसज्जित यह अध्याय चाल, समय व दूरी के मूल संबंध ($D = S \times T$), किमी/घंटा एवं मीटर/सेकंड के त्वरित रूपांतरण ($\times \frac{5}{18}$ एवं $\times \frac{18}{5}$), अनुक्रमानुपात व व्युत्क्रमानुपात (त्रैराशिक नियम), रेलगाड़ी द्वारा खंभा व प्लेटफॉर्म पार करने के नियम, सापेक्ष चाल (Relative Speed) तथा औसत चाल (Harmonic Mean) को अत्यंत रोचक एवं वैज्ञानिक रूप से सिखाता है।

🚄 राजधानी एक्सप्रेस का गति परीक्षण: ट्रेन अपनी लंबाई के बराबर दूरी कब तय करती है?

हावड़ा से नई दिल्ली जा रही राजधानी एक्सप्रेस जब किसी बिजली के खंभे को पार करती है, तो वह पलक झपकते ही निकल जाती है। परंतु किसी लंबे पुल को पार करने में वह अधिक समय क्यों लेती है?

क्योंकि खंभे या खड़े व्यक्ति को पार करते समय ट्रेन को केवल अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करनी होती है। परंतु पुल पार करने में ट्रेन की लंबाई और पुल की लंबाई—दोनों का योग तय करना पड़ता है!

इस अध्याय में हम सीखेंगे कि चाल, समय और दूरी के सूत्रों से ट्रेन, सापेक्ष गति और औसत चाल के प्रश्नों को बिना किसी त्रुटि के कैसे हल किया जाता है।

यह अध्याय क्यों महत्वपूर्ण है

पश्चिम बंगाल माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (WBBSE) कक्षा 7 गणित प्रभा पाठ्यक्रम के अध्याय 15 "समय और दूरी" (Time and Distance) में आपका स्वागत है। TargetExams Gold-Standard 5-चरणीय शिक्षण पद्धति से सुसज्जित यह अध्याय चाल, समय व दूरी के मूल संबंध ($D = S \times T$), किमी/घंटा एवं मीटर/सेकंड के त्वरित रूपांतरण ($\times \frac{5}{18}$ एवं $\times \frac{18}{5}$), अनुक्रमानुपात व व्युत्क्रमानुपात (त्रैराशिक नियम), रेलगाड़ी द्वारा खंभा व प्लेटफॉर्म पार करने के नियम, सापेक्ष चाल (Relative Speed) तथा औसत चाल (Harmonic Mean) को अत्यंत रोचक एवं वैज्ञानिक रूप से सिखाता है।

अध्ययन से पूर्व (आवश्यक ज्ञान)

  • समय और दूरी की मूल इकाइयां (घंटा, मिनट, सेकंड; किमी, मीटर)
  • ऐकिक नियम एवं त्रैराशिक विधि
  • भिन्नों का गुणा एवं भाग
  • सीधा एवं उल्टा अनुपात

इस अध्याय के लक्ष्य

  • दूरी, चाल एवं समय संबंध ($D = S \times T$) लागू करना
  • किमी/घंटा से मीटर/सेकंड ($\times 5/18$) में रूपांतरण
  • खंभा एवं प्लेटफॉर्म पार करने वाले प्रश्नों को हल करना
  • सापेक्ष चाल की गणना करके पार करने का समय निकालना
  • औसत चाल के सूत्र ($2xy / (x+y)$) का सही प्रयोग

अध्याय रूपरेखा एवं प्रगति

1 अवधारणा 1: चाल का मूल सूत्र एवं इका...
2 अवधारणा 2: चाल, समय व दूरी में अनुप...
3 अवधारणा 3: ट्रेन के प्रश्न—खंभा, व्...
4 अवधारणा 4: सापेक्ष चाल (Relative Sp...
5 अवधारणा 5: औसत चाल (Average Speed)...

सम्पूर्ण सैद्धांतिक एवं वैचारिक अध्ययन

अवधारणा 1: चाल का मूल सूत्र एवं इकाई रूपांतरण ($\times \frac{5}{18}$ एवं $\times \frac{18}{5}$)

चरण 1
परिभाषा एवं सूत्र

चाल: एकांक समय में चली गई दूरी। दूरी = चाल × समय।

चरण 2
5/18 एवं 18/5 का तर्क

$1\text{ किमी/घंटा} = \frac{1000\text{ मी}}{3600\text{ से}} = \frac{5}{18}\text{ मी/से}$।

चरण 3
विस्तृत उदाहरण एवं हल

$90\text{ किमी/घंटा} = 90 \times \frac{5}{18} = 25\text{ मी/से}$।

चरण 4
परीक्षक के जाल एवं सावधानियां

बड़ी इकाई से छोटी इकाई में बदलने हेतु अंश में छोटी संख्या 5 रखें (5/18)।

चरण 5
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

स्पीड गन: ट्रैफिक पुलिस द्वारा वाहनों की गति की तुरंत जांच।

अवधारणा 2: चाल, समय व दूरी में अनुपात संबंध (त्रैराशिक नियम)

चरण 1
अनुपात के नियम

निश्चित दूरी के लिए चाल और समय में व्युत्क्रमानुपात (उल्टा संबंध) होता है।

चरण 2
त्रैराशिक सारणी

उल्टे संबंध में अनुपात पलटकर गुणा किया जाता है।

चरण 3
विस्तृत उदाहरण एवं हल

40 किमी/घंटा से 3 घंटे लगते हैं तो 60 से: $3 \times \frac{40}{60} = 2\text{ घंटे}$।

चरण 4
परीक्षक के जाल एवं सावधानियां

चाल बढ़ने पर समय कम होना चाहिए, अधिक नहीं।

चरण 5
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

उड़ान समय सारणी: मौसम खराब होने पर गति घटाने से देरी का अनुमान।

अवधारणा 3: ट्रेन के प्रश्न—खंभा, व्यक्ति एवं प्लेटफॉर्म/पुल पार करना

चरण 1
दूरी की ज्यामिति

खंभा पार करने पर दूरी $= L$ (ट्रेन की लंबाई)।

प्लेटफॉर्म पार करने पर दूरी $= L + P$ (ट्रेन + प्लेटफॉर्म)।

चरण 2
समय का सूत्र

$\text{समय} = \frac{L + P}{\text{चाल}}$।

चरण 3
विस्तृत उदाहरण एवं हल

200 मी लंबी ट्रेन 36 किमी/घंटा (10 मी/से) से खंभा पार करेगी: $\frac{200}{10} = 20\text{ सेकंड}$।

चरण 4
परीक्षक के जाल एवं सावधानियां

प्लेटफॉर्म पार करने में ट्रेन की लंबाई जोड़ना कभी न भूलें।

चरण 5
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

सिग्नलिंग प्रणाली: ट्रैक सर्किट को खाली करने में लगा समय।

अवधारणा 4: सापेक्ष चाल (Relative Speed) एवं दो ट्रेनों का पार होना

चरण 1
सापेक्ष चाल के नियम

विपरीत दिशा में: $S_{\text{rel}} = S_1 + S_2$ (चाल जुड़ती है)।

समान दिशा में: $S_{\text{rel}} = S_1 - S_2$ (चाल घटती है)।

चरण 2
पार करने की दूरी

दोनों दिशाओं में कुल दूरी हमेशा $L_1 + L_2$ होती है।

चरण 3
विस्तृत उदाहरण एवं हल

120 मी और 80 मी की ट्रेनें विपरीत दिशा में: दूरी 200 मी, सापेक्ष चाल 72 किमी/घंटा (20 मी/से), समय $= 10\text{ सेकंड}$।

चरण 4
परीक्षक के जाल एवं सावधानियां

लंबाई कभी घटाई नहीं जाती, केवल चाल घटती या जुड़ती है।

चरण 5
वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

ओवरटेकिंग: सड़कों पर आगे निकलने में सापेक्ष गति का महत्व।

अवधारणा 5: औसत चाल (Average Speed) एवं विशेष सूत्र ($2xy / (x+y)$)

चरण 1
औसत चाल की सार्वभौमिक परिभाषा

औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय।

चरण 2
समान दूरी सूत्र

आने-जाने की दूरी समान होने पर: $\mathbf{\frac{2xy}{x+y}}$।

चरण 3
विस्तृत उदाहरण एवं हल

20 किमी/घंटा से जाना और 30 से आना: $\frac{2 \times 20 \times 30}{20 + 30} = 24\text{ किमी/घंटा}$।

चरण 4
परीक्षक के जाल एवं सावधानियां

कभी भी $\frac{20+30}{2} = 25$ न लिखें।

चरण 5
वास्तवিক जीवन में अनुप्रयोग

लॉजिस्टिक्स: वाहनों के पहुंचने के समय (ETA) की सही गणना।

महत्वपूर्ण सूत्र, सर्वसमिकाएँ एवं प्रमेय

चाल, दूरी एवं समय का मूल संबंध
$$d = s \times t \iff s = \frac{d}{t}, \quad t = \frac{d}{s}$$
जहाँ $d$ = दूरी, $s$ = चाल, और $t$ = लिया गया समय।
इकाई रूपांतरण: किमी/घंटा से मी/से
$$1 \text{ km/h} = \frac{5}{18} \text{ m/s}$$
किमी/घंटा को $\frac{5}{18}$ से गुणा करके मी/से प्राप्त होता है ($\frac{1000\text{ मी}}{3600\text{ से}}$)।
इकाई रूपांतरण: मी/से से किमी/घंटा
$$1 \text{ m/s} = \frac{18}{5} \text{ km/h}$$
मी/से को $\frac{18}{5}$ (या $3.6$) से गुणा करके किमी/घंटा प्राप्त होता है।
ट्रेन द्वारा प्लेटफॉर्म / पुल पार करना
$$t = \frac{L_{\text{train}} + L_{\text{platform}}}{s}$$
कुल तय दूरी = ट्रेन की लंबाई ($L_{\text{train}}$) + प्लेटफॉर्म की लंबाई ($L_{\text{platform}}$)।
सापेक्ष चाल (Relative Speed)
$$s_{\text{opp}} = s_1 + s_2, \quad s_{\text{same}} = s_1 - s_2$$
विपरीत दिशा में चालें जुड़ती हैं ($s_1 + s_2$), समान दिशा में घटती हैं ($s_1 - s_2$)।
समान दूरी पर औसत चाल (Harmonic Mean)
$$s_{avg} = {2 s_1 s_2}{s_1 + s_2} = {कुल दूरी}{कुल समय}$$
आने व जाने की दूरी समान होने पर हरात्मक माध्य का यह सूत्र लागू होता है।

अवधारणात्मक हल उदाहरण एवं अनुप्रयोग (Solved Examples)

उदाहरण 1
एक ट्रेन की चाल $54\text{ किमी/घंटा}$ है। इसे मीटर/सेकंड में बदलें तथा 10 सेकंड में तय दूरी निकालें।
विस्तृत समाधान / उत्तर:
$54 \times \frac{5}{18} = 15\text{ मी/से}$।
10 सेकंड में दूरी $= 15 \times 10 = 150\text{ मीटर}$।
उदाहरण 2
$150\text{ मीटर}$ लंबी ट्रेन $72\text{ किमी/घंटा}$ की चाल से $250\text{ मीटर}$ लंबे पुल को कितने समय में पार करेगी?
विस्तृत समाधान / उत्तर:
चाल $= 72 \times \frac{5}{18} = 20\text{ मी/से}$।
कुल दूरी $= 150 + 250 = 400\text{ मीटर}$।
समय $= \frac{400}{20} = 20\text{ सेकंड}$।
उदाहरण 3
एक व्यक्ति $12\text{ किमी/घंटा}$ की चाल से जाता है तथा $8\text{ किमी/घंटा}$ की चाल से लौटता है। औसत चाल निकालें।
विस्तृत समाधान / उत्तर:
दूरी समान होने पर औसत चाल $= \frac{2 \times 12 \times 8}{12 + 8} = \frac{192}{20} = 9.6\text{ किमी/घंटा}$।

सामान्य गलतियाँ एवं परीक्षक के जाल (Examiner Traps)

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

औसत चाल को साधारण औसत मान लेना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

औसत चाल $\frac{S_1+S_2}{2}$ नहीं होती। यह $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ होती है।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

इकाइयों को बदले बिना हल करना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

किमी/घंटा और मीटर को एक साथ न काटें। पहले सभी इकाइयों को समान करें।

सामान्य भ्रम / गलत उत्तर

प्लेटफॉर्म पार करने में ट्रेन की लंबाई न जोड़ना।

सही वैज्ञानिक तथ्य

प्लेटफॉर्म पार करने पर कुल दूरी $= \text{ट्रेन की लंबाई} + \text{प्लेटफॉर्म की लंबाई}$ होती है।

ट्रेन द्वारा दूरी पार करने का मॉडल एवं चाल इकाई रूपांतरण

ट्रेन दूरी मॉडल: खंभा पार करना बनाम पुल/प्लेटफॉर्म पार करना स्थिति 1: खंभा या व्यक्ति पार करना खंभा ट्रेन (लंबाई L) कुल दूरी = L स्थिति 2: पुल या प्लेटफॉर्म पार करना पुल / प्लेटफॉर्म (P) ट्रेन (L) कुल दूरी = (L + P) मास्टर सूत्र एवं इकाई रूपांतरण किमी/घंटा → मीटर/सेकंड: × 5/18 72 किमी/घंटा = 72 × (5/18) = 20 मी/से मीटर/सेकंड → किमी/घंटा: × 18/5 15 मी/से = 15 × (18/5) = 54 किमी/घंटा सापेक्ष चाल (Relative Speed): • विपरीत दिशा: S₁ + S₂ (चाल जुड़ती है) • समान दिशा: S₁ - S₂ (चाल घटती है) • औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय

अध्याय का सार संक्षेप एवं 10 मुख्य निष्कर्ष

मुख्य बिंदु 1
चाल का मूल संबंध: $\text{दूरी} = \text{चाल} \times \text{समय}$।
मुख्य बिंदु 2
किमी/घंटा से मी/से करने हेतु 5/18 से गुणा करें।
मुख्य बिंदु 3
मी/से से किमी/घंटा करने हेतु 18/5 से गुणा करें।
मुख्य बिंदु 4
दूरी निश्चित होने पर चाल व समय में व्युत्क्रमानुपात होता है।
मुख्य बिंदु 5
खंभा पार करने पर दूरी = ट्रेन की लंबाई।
मुख्य बिंदु 6
प्लेटफॉर्म पार करने पर दूरी = ट्रेन + प्लेटफॉर्म।
मुख्य बिंदु 7
विपरीत दिशा में चाल जुड़ती है, समान दिशा में चाल घटती है।
मुख्य बिंदु 8
समान दूरी में औसत चाल: $\frac{2xy}{x+y}$।

स्व-मूल्यांकन अभ्यास (Check Your Understanding)

मूल वैचारिक स्पष्टता की जांच के लिए नैदानिक प्रश्न। पहले स्वयं हल करें, फिर उत्तर देखें।

1
36 किमी/घंटा की चाल से कार 1 सेकंड में कितने मीटर चलेगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $36 \times \frac{5}{18} = 10\text{ मीटर}$।
5/18 से गुणा करें।
2
180 मीटर लंबी ट्रेन 54 किमी/घंटा की चाल से पेड़ को कितने सेकंड में पार करेगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $\frac{180}{15} = 12\text{ सेकंड}$।
54 किमी/घंटा = 15 मी/से।
3
100 मी लंबी ट्रेन 60 किमी/घंटा से 140 मी प्लेटफॉर्म पार करेगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $\frac{240 \times 3}{50} = 14.4\text{ सेकंड}$।
दूरी = 240 मी, चाल = 50/3 मी/से।
4
60 से जाना और 40 से लौटना, औसत चाल निकालें।
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $48\text{ किमी/घंटा}$।
$\frac{2 \times 60 \times 40}{60 + 40}$।
5
विपरीत दिशा से आ रही 50 और 40 किमी/घंटा की ट्रेनों की सापेक्ष चाल क्या होगी?
उत्तर एवं व्याख्या देखें
उत्तर: $50 + 40 = 90\text{ किमी/घंटा}$।
विपरीत में चाल जुड़ती है।
अध्याय का अध्ययन पूर्ण हुआ?
अभ्यास के लिए तैयार?

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कक्षा 7 Mathematics (গণিত প্রভা) के सभी अध्याय

अध्याय 1: पिछले पाठों की पुनरावृत्ति अध्याय 2: अनुपात अध्याय 3: समानुपात अध्याय 4: पूर्णांकों का जोड़, घटाव, गुणा एवं भाग अध्याय 5: घातांक की अवधारणा अध्याय 6: बीजीय संक्रियाएँ अध्याय 7: कम्पास की सहायता से विशिष्ट कोणों की रचना अध्याय 8: त्रिभुजों की रचना अध्याय 9: सर्वांगसमता की अवधारणा अध्याय 10: सन्निकटन अध्याय 11: भिन्नों का वर्गमूल अध्याय 12: बीजीय सूत्र अध्याय 13: समांतर रेखाएँ एवं तिर्यक रेखा अध्याय 14: त्रिभुज के गुणधर्म अध्याय 15: समय और दूरी अध्याय 16: द्वि-दंड आलेख अध्याय 17: आयत और वर्ग का क्षेत्रफल अध्याय 18: सममिति अध्याय 19: गुणनखंडन अध्याय 20: चतुर्भुजों का वर्गीकरण अध्याय 21: चतुर्भुजों की रचना अध्याय 22: समीकरण निर्माण एवं समाधान

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