দ্বিপদ উপপাদ্য

বীজগণিতে দুটি পদের ঘাতের বিস্তৃতি নির্ণয়ের ইতিহাস সুপ্রাচীন। দ্বিপদ সহগসমূহের জ্যামিতিক সজ্জা এক অনন্য পুনরাবৃত্তিক সৌন্দর্যের প্রকাশ ঘটায়।

১৬৫৪ খ্রিস্টাব্দে ফরাসি গণিতবিদ ব্লেইস প্যাসকেল তাঁর পাটিগণিত সংক্রান্ত গ্রন্থে দ্বিপদ সহগের ত্রিভুজাকার বিন্যাস প্রকাশের প্রায় দুই সহস্রাব্দ পূর্বে, প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদ আচার্য পিঙ্গলা তাঁর ছন্দঃসূত্র বা ছন্দঃশাস্ত্র গ্রন্থে (আনুমানিক খ্রিস্টপূর্ব ৩য়–২য় শতক) এই পিরামিড সজ্জা বর্ণনা করেছিলেন, যার নাম ছিল মেরু প্রস্তার (মেরু পর্বতের সোপান)। পরবর্তীতে একাদশ শতকে পারস্যের ওমর খৈয়াম এবং ত্রয়োদশ শতকে চীনের ইয়াং হুই একই সজ্জা নথিভুক্ত করেছিলেন।

প্রতিটি সারির শুরু ও শেষ ১ দিয়ে হয়। ভিতরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক তার পূর্ববর্তী সারির মাথার উপরের দুটি পাশাপাশি সংখ্যার যোগফলের সমান:

বীজগাণিতিক প্রমাণ:

সাধারণ গুণনীয়ক বাইরে নিয়ে লব ও হর সাজালে পাই ($r! = r(r-1)!$ এবং $(n-r+1)! = (n-r+1)(n-r)!$):

দ্বিপদ উপপাদ্য হলো এমন একটি সাধারণ সূত্র যার সাহায্যে গুণ না করেই সরাসরি $(a + b)^n$-এর সম্পূর্ণ বিস্তৃতি লিখে ফেলা যায়।

ধরি প্রদত্ত উক্তি $P(n): (a + b)^n = \sum_{r=0}^n {^nC_r} a^{n-r} b^r$।

1. ভিত্তি স্তর ($n = 1$): $$\text{বামপক্ষ} = (a + b)^1 = a + b$$ $$\text{ডানপক্ষ} = {^1C_0} a^1 b^0 + {^1C_1} a^0 b^1 = 1 \cdot a + 1 \cdot b = a + b$$ যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ, সুতরাং $P(1)$ সত্য।
2. আরোহী কল্পনা: ধরি কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n = k$-এর জন্য উক্তিটি সত্য: $$(a + b)^k = {^kC_0} a^k + {^kC_1} a^{k-1} b + {^kC_2} a^{k-2} b^2 + \dots + {^kC_k} b^k$$
3. আরোহ স্তর ($n = k + 1$): উভয়পক্ষকে $(a + b)$ দিয়ে গুণ করে পাই: $$(a + b)^{k+1} = (a + b) (a + b)^k = (a + b) \left[ \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r} b^r \right]$$ $$= a \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r} b^r + b \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r} b^r = \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r+1} b^r + \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r} b^{r+1}$$ সদৃশ পদগুলিকে একত্র করে এবং প্যাসকেলের অভেদ ${^kC_r} + {^kC_{r-1}} = {^{k+1}C_r}$ প্রয়োগ করে: $$= {^{k+1}C_0} a^{k+1} + \sum_{r=1}^k {^{k+1}C_r} a^{k+1-r} b^r + {^{k+1}C_{k+1}} b^{k+1} = \sum_{r=0}^{k+1} {^{k+1}C_r} a^{k+1-r} b^r$$ সুতরাং $P(k)$ সত্য হলে $P(k + 1)$-ও নিশ্চিতভাবে সত্য হয়।

অতএব গাণিতিক আরোহণ তত্ত্ব অনুসারে সকল $n \in \mathbb{N}$-এর জন্য উপপাদ্যটি সর্বজনীনভাবে সত্য।

• মোট পদসংখ্যা: $(a + b)^n$-এর বিস্তৃতিতে ঠিক $\mathbf{n + 1}$ সংখ্যক পদ থাকে। যেমন: $(x + y)^{10}$-এ পদসংখ্যা ১১।
• ঘাতের সংরক্ষণ: প্রতিটি পদ ${^nC_r} a^{n-r} b^r$-এ $a$ ও $b$-এর ঘাতের সমষ্টি $(n - r) + r = \mathbf{n}$ সর্বদা ধ্রুবক থাকে।
• সহগের প্রতিসাম্য: শুরু ও শেষ থেকে সমদূরবর্তী সহগগুলি সমান: ${^nC_r} = {^nC_{n-r}}$।
• চিহ্ন পরিবর্তনশীল বিস্তৃতি $(a - b)^n$: $$(a - b)^n = \sum_{r=0}^n (-1)^r {^nC_r} a^{n-r} b^r = {^nC_0} a^n - {^nC_1} a^{n-1} b + {^nC_2} a^{n-2} b^2 - \dots + (-1)^n {^nC_n} b^n$$
• একচলক বিস্তৃতি $(1 + x)^n$: $$(1 + x)^n = {^nC_0} + {^nC_1} x + {^nC_2} x^2 + \dots + {^nC_n} x^n = \sum_{r=0}^n {^nC_r} x^r$$

সম্পূর্ণ বিস্তৃতি না লিখেই যেকোনো নির্দিষ্ট পদ নির্ণয় করতে সাধারণ পদের সূত্র ব্যবহার করা হয়।

যেহেতু ১ম পদটি $r = 0$-এর জন্য পাওয়া যায়, তাই $(a + b)^n$-এর বিস্তৃতিতে $(r + 1)$-তম পদটিকে সাধারণ পদ বলা হয়:

$(a - b)^n$-এর বিস্তৃতির ক্ষেত্রে:

যেহেতু বিস্তৃতিতে মোট $(n + 1)$ সংখ্যক পদ থাকে, তাই:

বিকল্প কৌশল: $(a + b)^n$-এর শেষ থেকে $p$-তম পদ হলো বিপরীত রাশি $(b + a)^n$-এর শুরু থেকে $p$-তম পদ।

পশ্চিমবঙ্গ বোর্ডের পরীক্ষায় $x$-বর্জিত পদ ও সাংখ্যমানে বৃহত্তম পদ নির্ণয় অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ দুটি সমস্যা।

$\left(A x^p + \frac{B}{x^q}\right)^n$-এর বিস্তৃতিতে $x$-বর্জিত পদ নির্ণয়ের ধাপসমূহ:

1. সাধারণ পদ $T_{r+1}$ গঠন করুন: $$T_{r+1} = {^nC_r} (A x^p)^{n-r} \left(\frac{B}{x^q}\right)^r = {^nC_r} A^{n-r} B^r \cdot x^{p(n-r) - qr} = {^nC_r} A^{n-r} B^r \cdot x^{pn - (p+q)r}$$
2. পদটি $x$-বর্জিত হতে হলে $x$-এর মোট ঘাত শূন্য হতে হবে: $$pn - (p + q)r = 0 \implies \mathbf{r = \frac{pn}{p + q}}$$
3. শর্ত যাচাই: যদি $r$ একটি অখণ্ড সংখ্যা হয় এবং $0 \le r \le n$ পরিসরে থাকে, তবে $r$-এর মান বসিয়ে ধ্রুবক পদ পাওয়া যাবে। অন্যথায় বিস্তৃতিতে কোনো $x$-বর্জিত পদ থাকবে না।

$(1 + x)^n$-এর বিস্তৃতিতে $x$-এর কোনো বাস্তব মানের জন্য বৃহত্তম সাংখ্যমানের পদ নির্ণয়:

• ক্ষেত্র ১: $\frac{(n + 1)|x|}{|x| + 1} = m$ একটি পূর্ণসংখ্যা হলে: $T_m$ এবং $T_{m+1}$ দুটি পদেরই সাংখ্যমান সমান এবং তারা উভয়েই বৃহত্তম পদ।
• ক্ষেত্র ২: $\frac{(n + 1)|x|}{|x| + 1} = m + f$ ভগ্নাংশ হলে: (যেখানে $m$ হলো অখণ্ড অংশ), তখন একক বৃহত্তম পদটি হবে $\mathbf{T_{m+1}}$।

দ্বিপদ সহগ ${^nC_r}$-কে সংক্ষেপে $C_r$ লেখা হয়। এই সহগগুলি বহুবিধ চমকপ্রদ গাণিতিক সম্পর্ক সিদ্ধ করে।

• অভেদ ১: গুণিতক সহগের সমষ্টি $\sum r C_r$: $$(1 + x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$$ উভয়পক্ষকে $x$-এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই: $$n(1 + x)^{n-1} = \sum_{r=1}^n r C_r x^{r-1} \xrightarrow{x = 1} \mathbf{\sum_{r=1}^n r C_r = n \cdot 2^{n-1}}$$
• অভেদ ২: সহগসমূহের বর্গের সমষ্টি: $$C_0^2 + C_1^2 + C_2^2 + \dots + C_n^2 = \mathbf{^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}}$$ প্রমাণ: $(1 + x)^n (x + 1)^n = (1 + x)^{2n}$-এর উভয়পক্ষে $x^n$-এর সহগ তুলনা করে এটি প্রমাণিত হয়।
• অভেদ ৩: সমাকলন প্রয়োগ: $$\int_0^1 (1 + x)^n dx = \sum_{r=0}^n \frac{C_r}{r + 1} \implies \mathbf{\sum_{r=0}^n \frac{C_r}{r + 1} = \frac{2^{n+1} - 1}{n + 1}}$$

যখন ঘাত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়, তখন বিস্তৃতিটি সসীম থাকে না; এটি একটি অসীম অভিসারী শ্রেণিতে পরিণত হয়।

1. অসীম পদসংখ্যা: $n$ কোনো অখণ্ড সংখ্যা না হওয়ায় কোনো পদেই লব শূন্য হয় না, ফলে বিস্তৃতি অনন্তকাল চলতে থাকে।
2. অভিসারিতার শর্ত: এই অসীম শ্রেণিটি কেবল এবং কেবলমাত্র $|x| < 1$ হলেই গ্রাহ্য হয়। $|x| \ge 1$ হলে এটি অপসারী হয়ে পড়ে।
3. প্রথম পদকে ১-এ রূপান্তর: $(a + b)^n$ বিস্তৃত করতে $a^n$ বাইরে নিতে হয়: $a^n(1 + b/a)^n$, যেখানে $|b/a| < 1$ আবশ্যক।

যখন $|x| \ll 1$ (অর্থাৎ $x^2, x^3 \approx 0$):

উদাহরণ: $\sqrt{1.02} = (1 + 0.02)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}(0.02) = \mathbf{1.01}$।