সরলরেখা

স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে সমতলের প্রতিটি বিন্দুকে বাস্তব সংখ্যার ক্রোমজোড় $(x, y)$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং জ্যামিতিক বক্ররেখাকে বীজগণিতীয় সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

• দূরত্ব সূত্র: $P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$।
• বিভাজন সূত্র: $P(x_1, y_1)$ ও $Q(x_2, y_2)$ সংযোজক রেখাংশকে $m : n$ অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক: $$\text{অন্তর্বিভক্ত: } \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \; \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right), \quad \text{বহির্বিভক্ত: } \left(\frac{m x_2 - n x_1}{m - n}, \; \frac{m y_2 - n y_1}{m - n}\right)$$
• ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ও সমরেখ শর্ত: $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট $\triangle ABC$-এর ক্ষেত্রফল: $$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$ বিন্দু তিনটি সমরেখ হবে যদি এবং কেবল যদি $\Delta = 0$ হয়।

নতি বা প্রবণতা ($m$): যদি কোনো সরলরেখার আনতি $\theta$ হয় ($\theta \neq 90^\circ$), তবে তার ত্রিকোণমিতিক স্পর্শক $\tan \theta$-কে রেখাটির নতি বা প্রবণতা বলে:

• $x$-অক্ষের সমান্তরাল (অনুভূমিক) রেখার ক্ষেত্রে $\theta = 0^\circ \implies m = \tan 0^\circ = \mathbf{0}$।
• $y$-অক্ষের সমান্তরাল (উল্লম্ব) রেখার ক্ষেত্রে $\theta = 90^\circ \implies m = \tan 90^\circ$ অসংজ্ঞাত (বা অসীম)।
• যদি $\theta$ সূক্ষ্মকোণ হয় ($0^\circ < \theta < 90^\circ$), তবে নতি $m > 0$ (ধনাত্মক)।
• যদি $\theta$ স্থূলকোণ হয় ($90^\circ < \theta < 180^\circ$), তবে নতি $m < 0$ (ঋণাত্মক)।

ধরি একটি উল্লম্ব নয় এমন সরলরেখার উপর দুটি নির্দিষ্ট বিন্দু $P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ ($x_1 \neq x_2$):

নতির সাহায্যে সমরেখ প্রমাণ: তিনটি বিন্দু $A, B, C$ সমরেখ হবে যদি এবং কেবল যদি $\mathbf{\text{Slope}(AB) = \text{Slope}(BC)}$ হয়।

প্রদত্ত জ্যামিতিক তথ্যের ওপর ভিত্তি করে সরলরেখার সমীকরণকে বিভিন্ন প্রমিত আকারে প্রকাশ করা যায়।

• $x$-অক্ষের সমান্তরাল রেখা: রেখার ওপর প্রতিটি বিন্দুর কোটি ধ্রুবক থাকে। সমীকরণ: $\mathbf{y = k}$ (স্বয়ং $x$-অক্ষের সমীকরণ $\mathbf{y = 0}$)।
• $y$-অক্ষের সমান্তরাল রেখা: রেখার ওপর প্রতিটি বিন্দুর ভুজ ধ্রুবক থাকে। সমীকরণ: $\mathbf{x = c}$ (স্বয়ং $y$-অক্ষের সমীকরণ $\mathbf{x = 0}$)।

যে সরলরেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু $(x_1, y_1)$-গামী এবং যার নতি $m$, রেখাটির ওপর যেকোনো বিন্দু $(x, y)$-এর জন্য নতির সংজ্ঞানুসারে:

যে সরলরেখা দুটি ভিন্ন বিন্দু $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$-গামী, বিন্দু-নতি আকারে $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ প্রতিস্থাপন করে পাই:

যদি কোনো সরলরেখার নতি $m$ হয় এবং রেখাটি $y$-অক্ষকে $(0, c)$ বিন্দুতে ছেদ করে (অর্থাৎ $y$-ছেদিতাংশ $c$), তবে বিন্দু-নতি আকার থেকে পাই:

যদি রেখাটি $x$-অক্ষকে $(d, 0)$ বিন্দুতে ছেদ করে ($x$-ছেদিতাংশ $d$), তবে তার সমীকরণ $\mathbf{y = m(x - d)}$।

যে সরলরেখা $x$-অক্ষে অশূন্য ছেদিতাংশ $a$ এবং $y$-অক্ষে অশূন্য ছেদিতাংশ $b$ তৈরি করে, অর্থাৎ $(a, 0)$ এবং $(0, b)$ বিন্দুগামী:

মূলবিন্দু থেকে অভিলম্বের দৈর্ঘ্য কিংবা রেখা বরাবর দূরত্বের পরিমাপে অভিলম্ব ও প্রতিসম আকার অতুলনীয় ভূমিকা পালন করে।

ধরি মূলবিন্দু $O(0, 0)$ থেকে কোনো সরলরেখা $L$-এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $p$ ($p \ge 0$), এবং এই লম্বটি ধনাত্মক $x$-অক্ষের সাথে $\alpha$ কোণ উৎপন্ন করে ($0 \le \alpha < 360^\circ$)।

রেখাটির ওপর লম্বপাদ বিন্দু $N$-এর স্থানাঙ্ক হলো $(p \cos \alpha, \; p \sin \alpha)$। লম্ব $ON$-এর নতি $\tan \alpha$ হওয়ায়, তার ওপর লম্ব সরলরেখা $L$-এর নতি হবে:

বিন্দু-নতি আকার প্রয়োগ করে পাই:

যে সরলরেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু $P(x_1, y_1)$-গামী এবং ধনাত্মক $x$-অক্ষের সাথে $\theta$ কোণে আনত, তার ওপর $P$ থেকে $r$ বীজগাণিতিক দূরত্বে অবস্থিত যেকোনো বিন্দু $Q(x, y)$-এর জন্য:

দ্বিমাত্রিক তলে $x$ ও $y$-এর যেকোনো একঘাত সমীকরণ সর্বদা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।

দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের মধ্যবর্তী উৎপন্ন কোণ সম্পূর্ণরূপে তাদের নতির উপর নির্ভরশীল।

ধরি $L_1$ ও $L_2$ রেখাদ্বয়ের নতি যথাক্রমে $m_1$ এবং $m_2$ এবং তাদের আনতিকোণ $\theta_1$ ও $\theta_2$ ($\theta_2 > \theta_1$)। তাদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta = \theta_2 - \theta_1$:

• সমান্তরাল হওয়ার শর্ত ($\theta = 0^\circ$): $$\tan 0^\circ = 0 \implies m_2 - m_1 = 0 \implies \mathbf{m_1 = m_2}$$ সাধারণ আকারের রেখাদ্বয় $A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ এবং $A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$-এর ক্ষেত্রে: $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$$ $Ax + By + C = 0$-এর সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ: $\mathbf{Ax + By + k = 0}$।
• পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত ($\theta = 90^\circ$): $$\cot 90^\circ = 0 \implies 1 + m_1 m_2 = 0 \implies \mathbf{m_1 m_2 = -1} \quad \left(\text{বা } m_2 = -\frac{1}{m_1}\right)$$ সাধারণ আকারের রেখাদ্বয়ের ক্ষেত্রে: $$A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$$ $Ax + By + C = 0$-এর ওপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ: $\mathbf{Bx - Ay + k = 0}$।

সরলরেখার জ্যামিতির চরম উৎকর্ষ প্রকাশ পায় লম্ব দূরত্ব, রেখাগুচ্ছ এবং প্রতিবিম্ব রূপান্তর বিশ্লেষণের মাধ্যমে।

যদি দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একই $x$ ও $y$-এর সহগে লেখা হয় ($L_1: Ax + By + C_1 = 0$ এবং $L_2: Ax + By + C_2 = 0$):

$L_1 \equiv A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ এবং $L_2 \equiv A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ হলো:

যেখানে $\lambda \in \mathbb{R}$ হলো একটি বাস্তব প্যারামিটার।

তিনটি সরলরেখা $A_i x + B_i y + C_i = 0$ ($i = 1, 2, 3$) একটি সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হবে যদি এবং কেবল যদি: