মাধ্যম নির্বাচন করুন / Select Medium:

Eng (English) Beng (বাংলা) Hindi (हिन्दी)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) • শ্রেণি XI • Mathematics • অধ্যায় 6

আনুমানিক সময়: 75 মিনিট

অগ্রগতি: অধ্যয়নে সক্রিয়

বিন্যাস ও সমবায়

বিন্যাস ও সমবায় হলো সমন্বয়বিদ্যা বা কম্বিনেটোরিক্সের ভিত্তিপ্রস্তর, যা কোনো বস্তুর ক্রম বা নির্বাচনকে সুনির্দিষ্ট গাণিতিক নিয়মের সাহায্যে গণনা করতে ব্যবহৃত হয়। গণনার দুটি মৌলিক নীতি রয়েছে: ধারাবাহিক স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে গুণন নীতি এবং পরস্পর বিচ্ছিন্ন বিকল্পের ক্ষেত্রে যোগ নীতি। গাণিতিক হিসেব সহজ করার জন্য গৌণিক বা ফ্যাক্টোরিয়াল n! ব্যবহৃত হয়, যেখানে n! = n(n - 1)! এবং সংজ্ঞাগতভাবে 0! = 1। বিন্যাস (Permutation) হলো নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি নিয়ে গঠিত সুশৃঙ্খল বিন্যাস বা সজ্জা, যেখানে ক্রম বা ধারাবাহিকতা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। n-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে r-সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যাকে nPr দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যার সূত্র nPr = n! / (n - r)!। বিন্যাস তত্ত্ব পুনরাবৃত্তিমূলক বিন্যাস, সদৃশ বস্তুবিশিষ্ট বিন্যাস এবং চক্রীয় বিন্যাসের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। অন্যদিকে, সমবায় (Combination) হলো বস্তু নির্বাচন বা দল গঠন, যেখানে নির্বাচনের ক্রম সম্পূর্ণ উপেক্ষিত থাকে। n-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে r-সংখ্যক বস্তু নির্বাচনের উপায় সংখ্যা nCr = n! / [r!(n - r)!]। বিন্যাস ও সমবায়ের মধ্যে সম্পর্ক nPr = r! × nCr। সমবায়ের প্রধান ধর্মাবলি যেমন সম্পূরক সমবায় nCr = nCn-r এবং প্যাসকেলের অভেদ nCr + nCr-1 = n+1Cr সম্ভাবনা তত্ত্ব, দ্বিপদ উপপাদ্য এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের মৌলিক ভিত্তি গঠন করে।

অনলাইন CBT টেস্ট দিন সকল অধ্যায় দেখুন

ভূমিকা মূল ধারণা সূত্র ও অভেদ সমাধানকৃত উদাহরণ সাধারণ ভুলত্রুটি অধ্যায় সারসংক্ষেপ স্ব-মূল্যায়ন অনলাইন টেস্ট

অধ্যায়টির গুরুত্ব

বাস্তব জীবনের সিদ্ধান্ত গ্রহণ, সাইবার নিরাপত্তা, ক্রিপ্টোগ্রাফি, বায়োইনফরমেটিক্স এবং উচ্চতর গণিতে বিন্যাস ও সমবায়ের প্রয়োগ অপরিসীম। ডিজিটাল ডেটা সুরক্ষা ও পাসওয়ার্ড এনক্রিপশনে বিন্যাসের সম্ভাব্য বিন্যাস সংখ্যা গণনা করে সাইবার আক্রমণ প্রতিরোধ করা হয়। জেনেটিক্সে ডিএনএ-র চারটি ক্ষারকের (অ্যাডেনিন, সাইটোসিন, গুয়ানিন, থাইমিন) ত্রয়ী সংমিশ্রণ (4³ = 64 ট্রিপলেট কোডন) 20টি অপরিহার্য অ্যামিনো অ্যাসিড তৈরি করে, যা জীবনের রাসায়নিক ভিত্তি। টেলিযোগাযোগে ডেটা প্যাকেটের অপ্টিমাইজড রাউটিং এবং কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তার ডিসিশন ট্রিতে কম্বিনেটোরিয়াল অ্যালগরিদম ব্যবহৃত হয়। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় বোস-আইনস্টাইন এবং ফার্মি-ডিরাক সংখ্যাতত্ত্বে কণিকাসমূহকে পৃথকীকরণযোগ্য (বিন্যাস) অথবা অপৃথকীকরণযোগ্য (সমবায়) হিসেবে চিহ্নিত করা হয়। উচ্চমাধ্যমিক একাদশ শ্রেণির ফাইনাল পরীক্ষা এবং WBJEE, JEE Main ও অন্যান্য সর্বভারতীয় প্রবেশিকা পরীক্ষায় বিন্যাস ও সমবায় অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ও অধিক নম্বর বহনকারী অধ্যায়। এই অধ্যায়ের নিখুঁত প্রস্তুতি পরবর্তী অধ্যায় দ্বিপদ উপপাদ্য ও সম্ভাবনাতত্ত্বের ধারণাগত ভিত্তি মজবুত করে।

অধ্যায়ের বিষয়সূচি ও রূপরেখা

1 ১. গণনার মৌলিক নীতি: গুণন নীতি ও যো...

2 ২. গৌণিক বা ফ্যাক্টোরিয়াল: সংজ্ঞা,...

3 ৩. বিন্যাস (Permutations): উপপাদ্য,...

4 ৪. শর্তযুক্ত বিন্যাস: গুচ্ছ পদ্ধতি,...

5 ৫. সমবায় (Combinations): সূত্রাবলি...

6 ৬. জ্যামিতিক সমবায়, কমিটি নির্বাচন...

সম্পূর্ণ তত্ত্ব ও ধারণাগত আলোচনা

১. গণনার মৌলিক নীতি: গুণন নীতি ও যোগ নীতি

সমন্বয়বিদ্যা বা কম্বিনেটোরিক্স হলো গণিতের সেই বিশেষ শাখা যা বস্তু গণনা, বিন্যাস ও দল গঠন নিয়ে আলোচনা করে। কোনো সূত্র প্রয়োগের আগে দুটি মৌলিক নীতির সাহায্যে যৌক্তিক বিশ্লেষণ করা প্রয়োজন।

১.১ গণনার গুণন নীতি (The Fundamental Principle of Multiplication)

উপপাদ্য (গুণন নীতি): যদি কোনো একটি কাজ $m$ বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় এবং তা সম্পন্ন হওয়ার পর অপর একটি স্বাধীন কাজ $n$ বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায়, তবে উভয় কাজ একত্রে বা পর্যায়ক্রমে মোট $\mathbf{m \times n}$ উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে।

সাধারণীকরণ: যদি পরপর $k$-সংখ্যক ঘটনা ঘটে যেখানে ১ম ঘটনা $n_1$ উপায়ে, ২য় ঘটনা $n_2$ উপায়ে, ..., এবং $k$-তম ঘটনা $n_k$ উপায়ে ঘটে, তবে সবগুলি ঘটনা একত্রে ঘটার মোট উপায় সংখ্যা:

$$\text{মোট উপায়} = n_1 \times n_2 \times n_3 \times \dots \times n_k$$

উদাহরণ: পুনরাবৃত্তি ছাড়া $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ অঙ্কগুলি দ্বারা গঠিত ৩-অঙ্কের সংখ্যার হিসেব:

শতকের স্থান: ৫টি বিকল্প ($1, 2, 3, 4, 5$)
দশকের স্থান: অবশিষ্ট ৪টি বিকল্প
এককের স্থান: অবশিষ্ট ৩টি বিকল্প
মোট গঠিত সংখ্যা $= 5 \times 4 \times 3 = \mathbf{60}$।

১.২ গণনার যোগ নীতি (The Fundamental Principle of Addition)

উপপাদ্য (যোগ নীতি): যদি একটি কাজ $m$ বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় এবং অপর একটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন (পরস্পর অপবর্জী বা অ-উপাপতিত) কাজ $n$ বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায়, তবে প্রথম কাজ অথবা দ্বিতীয় কাজ মোট $\mathbf{m + n}$ বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে।

"এবং" বনাম "অথবা"-র পার্থক্য:

গুণন নীতি ($\times$): যৌক্তিক "এবং" (AND)-এর সমতুল্য (উভয় কাজ পরপর বা একত্রে সম্পন্ন হয়)।
যোগ নীতি ($+$): যৌক্তিক "অথবা" (OR)-এর সমতুল্য (পরস্পর বিচ্ছিন্ন দুটি বিকল্পের যেকোনো একটি সম্পন্ন হয়)।

২. গৌণিক বা ফ্যাক্টোরিয়াল: সংজ্ঞা, ধর্মাবলি ও বীজগাণিতিক প্রয়োগ

পরপর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করতে ফ্যাক্টোরিয়াল চিহ্ন $n!$ বা $\lfloor{n}$ ব্যবহার করা হয়।

২.১ ফ্যাক্টোরিয়ালের সংজ্ঞা

যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $n \in \mathbb{N}$-এর জন্য, প্রথম $n$-সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ধারাবাহিক গুণফলকে $n$ ফ্যাক্টোরিয়াল বলে:

$$\mathbf{n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n - 1) \times n}$$

অধঃক্রম অনুসারে লিখলে:

$$n! = n(n - 1)(n - 2) \cdots 3 \times 2 \times 1$$

কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ফ্যাক্টোরিয়াল মান (স্মরণে রাখা জরুরি):

$0!$	$1!$	$2!$	$3!$	$4!$	$5!$	$6!$	$7!$
1	1	2	6	24	120	720	5040

২.২ পৌনঃপুনিক ধর্ম এবং $0! = 1$-এর যৌক্তিক ব্যাখ্যা

যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $n \ge 1$-এর জন্য আমরা লিখতে পারি:

$$\mathbf{n! = n \times (n - 1)!} \implies (n - 1)! = \frac{n!}{n}$$

উক্ত সম্পর্কে $n = 1$ বসালে আমরা পাই:

$$(1 - 1)! = \frac{1!}{1} \implies \mathbf{0! = 1}$$

ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল অসংজ্ঞাত, কারণ $n = 0$ বসালে $(-1)! = \frac{0!}{0} = \frac{1}{0}$ (শূন্য দ্বারা ভাগ অসম্ভব)।

২.৩ ফ্যাক্টোরিয়ালের সাধারণ বীজগাণিতিক ধর্ম

$(a + b)! \neq a! + b!$ (উদাহরণ: $(2 + 3)! = 5! = 120 \neq 2! + 3! = 2 + 6 = 8$)।
$(a \times b)! \neq a! \times b!$।
ভগ্নাংশের সরলীকরণ: $\frac{n!}{(n - 2)!} = \frac{n(n - 1)(n - 2)!}{(n - 2)!} = n(n - 1) = n^2 - n$।

৩. বিন্যাস (Permutations): উপপাদ্য, সূত্র ও বিশেষ ক্ষেত্রসমূহ

নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি নিয়ে গঠিত সুশৃঙ্খল সজ্জাকে বিন্যাস (Permutation) বলে। বিন্যাসে ক্রম বা অবস্থানের পরিবর্তন অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ (যেমন $AB$ এবং $BA$ দুটি সম্পূর্ণ পৃথক বিন্যাস)।

৩.১ বিন্যাসের মূল সূত্র ($^n P_r$)

$n$-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে $r$-সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যাকে $^n P_r$ বা $P(n, r)$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় ($0 \le r \le n$):

$$\mathbf{^n P_r = \frac{n!}{(n - r)!} = n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - r + 1)}$$

প্রমাণের রূপরেখা: $n$-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু দিয়ে পরপর $r$-সংখ্যক শূন্যস্থান পূরণ করার পদ্ধতি:

১ম স্থান: $n$ উপায়ে পূরণ করা যায়
২য় স্থান: $(n - 1)$ উপায়ে পূরণ করা যায়
$r$-তম স্থান: $[n - (r - 1)] = (n - r + 1)$ উপায়ে পূরণ করা যায়
গণনার গুণন নীতি অনুযায়ী: $^n P_r = n(n - 1) \cdots (n - r + 1) = \frac{n(n - 1)\cdots(n - r + 1)(n - r)!}{(n - r)!} = \frac{n!}{(n - r)!}$।

বিশেষ মানসমূহ:

$^n P_0 = \frac{n!}{n!} = \mathbf{1}$
$^n P_1 = \frac{n!}{(n - 1)!} = \mathbf{n}$
$^n P_n = \frac{n!}{(n - n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = \mathbf{n!}$ ($n$-সংখ্যক বস্তুর সবকটিকে নিয়ে গঠিত সরলরেখীয় বিন্যাস)।

৩.২ পুনরাবৃত্তি গ্রহণযোগ্য হলে বিন্যাস সংখ্যা

$n$-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে $r$-সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত বিন্যাসে যেকোনো বস্তু যতখুশি বার পুনরাবৃত্তি হতে পারলে মোট বিন্যাস সংখ্যা:

$$\text{মোট বিন্যাস (পুনরাবৃত্তিসহ)} = \underbrace{n \times n \times \dots \times n}_{r \text{ বার}} = \mathbf{n^r}$$

৩.৩ সদৃশ বস্তুবিশিষ্ট বিন্যাস (Objects Not All Distinct)

উপপাদ্য: মোট $n$-সংখ্যক বস্তুর মধ্যে যদি $p_1$-সংখ্যক প্রথম প্রকারের, $p_2$-সংখ্যক দ্বিতীয় প্রকারের, ..., এবং $p_k$-সংখ্যক $k$-তম প্রকারের সদৃশ বস্তু হয়, তবে তাদের পারস্পরিক মোট বিন্যাস সংখ্যা: $$\mathbf{\text{বিন্যাস সংখ্যা} = \frac{n!}{p_1! \, p_2! \, \cdots \, p_k!}}$$

উদাহরণ: "MATHEMATICS" শব্দের অক্ষরগুলির বিন্যাস সংখ্যা:

মোট বর্ণ $n = 11$।
সদৃশ বর্ণ: M আছে ২ বার, A আছে ২ বার, T আছে ২ বার; এবং H, E, I, C, S প্রতিটিতে ১ বার করে।
মোট বিন্যাস সংখ্যা $= \frac{11!}{2! \, 2! \, 2!} = \frac{39916800}{8} = \mathbf{4,989,600}$।

৩.৪ চক্রীয় বিন্যাস (Circular Permutations)

যখন বস্তুসমূহকে একটি বদ্ধ বৃত্ত বরাবর সাজানো হয়, তখন নির্দিষ্ট শুরু বা শেষ প্রান্ত না থাকায় প্রতিটি সজ্জাকে এক স্থান ঘুরিয়ে দিলে নতুন বিন্যাস সৃষ্টি হয় না:

ঘড়ির কাঁটার দিক ও বিপরীত দিক পৃথক হলে: গোল টেবিলে $n$-সংখ্যক ব্যক্তির আসন বিন্যাস: $$\mathbf{\text{চক্রীয় বিন্যাস} = (n - 1)!}$$
ঘড়ির কাঁটার দিক ও বিপরীত দিক অপৃথক হলে (মালা বা গলার হার): যেখানে হার উল্টে দিলে বিপরীত দিক পাওয়া যায়: $$\mathbf{\text{চক্রীয় বিন্যাস} = \frac{(n - 1)!}{2}}$$

৪. শর্তযুক্ত বিন্যাস: গুচ্ছ পদ্ধতি, ফাঁক পদ্ধতি ও অভিধানিক ক্রমবিন্যাস

বোর্ড পরীক্ষা এবং প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় সাধারণ বিন্যাসের চেয়ে শর্তসাপেক্ষ বা নিয়ন্ত্রিত বিন্যাসের প্রশ্নই সবচেয়ে বেশি আসে।

৪.১ কৌশল ১: গুচ্ছ পদ্ধতি (String Method - বস্তুসমূহ সর্বদা একত্রে থাকবে)

যখন নির্দিষ্ট কিছু বস্তুকে সর্বদা একত্রে রাখতে হয়:

যে বস্তুগুলিকে সর্বদা একত্রে রাখতে হবে, তাদের একটি অদৃশ্য দড়ি দিয়ে বেঁধে একটিমাত্র যৌগিক বস্তু (Single Block) বিবেচনা করো।
অবশিষ্ট বস্তুর সাথে এই যৌগিক বস্তুটিকে যোগ করে মোট বস্তু সাজানোর উপায় বের করো।
যৌগিক ব্লকের অভ্যন্তরীণ বস্তুগুলির পারস্পরিক বিন্যাস সংখ্যা দিয়ে গুণ করো।

উদাহরণ: ৫ জন বালক ও ৪ জন বালিকাকে এক সারিতে কত প্রকারে বসানো যায় যাতে ৪ জন বালিকা সর্বদা একত্রে বসে?

৪ জন বালিকাকে ১টি যৌগিক ব্লক ধরলে মোট বস্তু: ৫ জন বালক + ১টি ব্লক $= 6$ টি বস্তু।
৬টি বস্তুকে সাজানোর উপায় $= 6! = 720$।
ব্লকের ভেতরে ৪ জন বালিকার নিজেদের মধ্যে বসার উপায় $= 4! = 24$।
গণনার গুণন নীতি অনুযায়ী মোট বিন্যাস $= 6! \times 4! = 720 \times 24 = \mathbf{17,280}$।

৪.২ কৌশল ২: ফাঁক পদ্ধতি (Gap Method - দুটি নির্দিষ্ট বস্তু কখনো পাশাপাশি বসবে না)

যখন নির্দিষ্ট কিছু বস্তু কখনোই পাশাপাশি বা একত্রে বসতে পারবে না:

প্রথমে শর্তহীন বা অবাধ বস্তুগুলিকে একটি সারিতে সাজিয়ে তাদের মধ্যবর্তী ও উভয় প্রান্তের "ফাঁকা স্থান" বা গ্যাপ চিহ্নিত করো।
যদি অবাধ বস্তু $m$-টি হয়, তবে তাদের মাঝে ও প্রান্তে মোট $\mathbf{(m + 1)}$-টি ফাঁকা স্থান সৃষ্টি হবে।
শর্তযুক্ত $k$-টি বস্তুকে এই $(m + 1)$-টি ফাঁকা স্থানে $^{m+1} P_k$ উপায়ে বসাও।

উদাহরণ: ৫ জন বালক ও ৪ জন বালিকা এক সারিতে কত প্রকারে বসতে পারে যাতে কোনো দুজন বালিকা পাশাপাশি না বসে?

প্রথমে ৫ জন বালককে সাজাই: $5! = 120$ উপায়।
৫ জন বালক মোট $5 + 1 = 6$ টি ফাঁকা স্থান তৈরি করে: $\underline{\phantom{x}} B_1 \underline{\phantom{x}} B_2 \underline{\phantom{x}} B_3 \underline{\phantom{x}} B_4 \underline{\phantom{x}} B_5 \underline{\phantom{x}}$।
৪ জন বালিকাকে এই ৬টি ফাঁকা স্থানে বসানোর উপায়: $^6 P_4 = \frac{6!}{2!} = 360$ উপায়।
মোট বিন্যাস সংখ্যা $= 5! \times \, ^6 P_4 = 120 \times 360 = \mathbf{43,200}$।

৪.৩ অভিধানিক ক্রমবিন্যাস ও শব্দের ক্রম বা র‍্যাংক (Dictionary Rank)

কোনো শব্দের অক্ষরগুলি দিয়ে গঠিত শব্দসমূহকে অভিধানের বর্ণানুক্রমিক সজ্জায় সাজালে প্রদত্ত শব্দের ক্রম বা অবস্থান (Rank) নির্ণয় পদ্ধতি:

শব্দের বর্ণগুলিকে বর্ণানুক্রমে সাজাও (যেমন "MOTHER"-এর ক্ষেত্রে: E, H, M, O, R, T)।
E দিয়ে শুরু হওয়া শব্দের সংখ্যা নির্ণয় করো: $1 \times 5! = 120$।
H দিয়ে শুরু হওয়া শব্দের সংখ্যা: $1 \times 5! = 120$।
M দিয়ে শুরু: ME... ($4! = 24$), MH... ($4! = 24$), MO... (উদ্দিষ্ট বর্ণ মিললো!)।
পর্যায়ক্রমে পরবর্তী বর্ণসমূহের আগের মোট সংখ্যা যোগ করে শেষে মূল শব্দের জন্য ১ যোগ করে র‍্যাংক নির্ধারিত হয়।

৫. সমবায় (Combinations): সূত্রাবলি, ধর্মাবলি ও প্যাসকেলের অভেদ

নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি নিয়ে যে দল বা গোষ্ঠী গঠন করা হয়, তাকে সমবায় (Combination) বলে। সমবায়ে নির্বাচনের ক্রম সম্পূর্ণ অপ্রাসঙ্গিক (যেমন টেনিস দ্বৈতের জন্য $\{A, B\}$ নির্বাচন করা আর $\{B, A\}$ নির্বাচন করা হুবহু একই বিষয়)।

৫.১ সমবায়ের মূল সূত্র ($^n C_r$)

$n$-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে $r$-সংখ্যক বস্তু নিয়ে গঠিত সমবায় সংখ্যাকে $^n C_r$ বা $C(n, r)$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় ($0 \le r \le n$):

$$\mathbf{^n C_r = \frac{n!}{r! \, (n - r)!}}$$

বিন্যাস ও সমবায়ের মৌলিক সম্পর্ক:

প্রতিটি $r$-সংখ্যক নির্বাচিত বস্তুর দলকে নিজেদের মধ্যে $r!$ উপায়ে সাজিয়ে বিন্যাস পাওয়া যায়:

$$\mathbf{^n P_r = r! \times \, ^n C_r} \iff \mathbf{^n C_r = \frac{^n P_r}{r!}}$$

৫.২ সমবায়ের প্রধান ধর্মাবলি ও বীজগাণিতিক অভেদ

ধর্মের নাম	গাণিতিক অভেদ	তাৎপর্য / প্রয়োগ
সম্পূরক সমবায়	$\mathbf{^n C_r = \, ^n C_{n - r}}$	$n$ থেকে $r$-টি অন্তর্ভুক্ত করা আর $(n - r)$-টি বাদ দেওয়া একই কথা। (যেমন: $^{100} C_{98} = \, ^{100} C_2 = 4950$)।
সমতার ধর্ম	$\text{যদি } ^n C_x = \, ^n C_y \implies \mathbf{x = y} \text{ অথবা } \mathbf{x + y = n}$	বোর্ড পরীক্ষায় অজ্ঞাত রাশি $n$-এর মান নির্ণয়ে বহুল ব্যবহৃত।
প্যাসকেলের অভেদ	$\mathbf{^n C_r + \, ^n C_{r - 1} = \, ^{n + 1} C_r}$	প্যাসকেল ত্রিভুজের মৌলিক পদ গঠনের যোগ নীতি।
সকল সমবায়ের সমষ্টি	$\sum_{r=0}^n \, ^n C_r = \, ^n C_0 + \, ^n C_1 + \dots + \, ^n C_n = \mathbf{2^n}$	$n$-টি উপাদানবিশিষ্ট সেটের মোট উপসেট সংখ্যা নির্দেশ করে।
অনুপাতের ধর্ম	$\frac{^n C_r}{^n C_{r - 1}} = \frac{n - r + 1}{r}$	দ্বিপদ বিস্তৃতির বৃহত্তম পদ নির্ণয়ে অত্যন্ত কার্যকর।

৬. জ্যামিতিক সমবায়, কমিটি নির্বাচন ও বস্তুসমূহের দল বিভাজন

জ্যামিতিক আকার গণনা এবং বিভিন্ন শর্তাধীনে দল গঠন ও বস্তু বিভাজনের ক্ষেত্রে সমবায় সূত্রের প্রত্যক্ষ ও আকর্ষণীয় প্রয়োগ দেখা যায়।

৬.১ জ্যামিতিক কম্বিনেটোরিক্স (Geometric Combinatorics)

সরলরেখার সংখ্যা: সমতলে অবস্থিত $n$-সংখ্যক বিন্দুর সংযোগে গঠিত সরলরেখার সংখ্যা, যার মধ্যে $m$-সংখ্যক বিন্দু সমরেখ (Collinear): $$\mathbf{\text{সরলরেখা} = \, ^n C_2 - \, ^m C_2 + 1}$$ (কারণ $m$-সংখ্যক সমরেখ বিন্দু $^m C_2$-টি রেখার বদলে কেবল ১টি সরলরেখা গঠন করে)।
ত্রিভুজের সংখ্যা: $n$-সংখ্যক বিন্দুর মধ্যে $m$-সংখ্যক বিন্দু সমরেখ হলে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা: $$\mathbf{\text{ত্রিভুজ} = \, ^n C_3 - \, ^m C_3}$$ (সমরেখ বিন্দুসমূহ কোনো ত্রিভুজ গঠন করতে পারে না, তাই $^m C_3$ বাদ যায়)।
$n$-বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা: শীর্ষবিন্দুগুলি যোগ করলে মোট রেখাংশ $^n C_2$; তা থেকে পরিধির $n$-টি বাহু বাদ দিলে কর্ণ পাওয়া যায়: $$\mathbf{\text{কর্ণের সংখ্যা} = \, ^n C_2 - n = \frac{n(n - 1)}{2} - n = \frac{n(n - 3)}{2}}$$
সামান্তরিকের সংখ্যা: $m$-সংখ্যক সমান্তরাল সরলরেখার সাথে অপর $n$-সংখ্যক সমান্তরাল সরলরেখার ছেদনে গঠিত সামান্তরিকের সংখ্যা: $$\mathbf{\text{সামান্তরিক} = \, ^m C_2 \times \, ^n C_2}$$

৬.২ বস্তুসমূহের দল বিভাজন (Partitions into Groups)

বিভাজনের প্রকৃতি	সূত্র	বিশেষ শর্ত ও সতর্কতা
$(m + n)$-টি বিভিন্ন বস্তুকে $m$ ও $n$ আকারের দুটি অসমান দলে বিভক্ত করা	$\frac{(m + n)!}{m! \, n!}$	দল দুটির আকার অসমান ($m \neq n$) এবং দলগুলির নাম নেই।
$2m$-টি বিভিন্ন বস্তুকে $m$ আকারের দুটি সমান দলে বিভক্ত করা	$\frac{(2m)!}{(m!)^2 \, 2!}$	দল দুটি সমমানের এবং নামহীন হওয়ায় $2!$ দিয়ে ভাগ করতে হয়।
$2m$-টি বস্তু ২ জন নির্দিষ্ট ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বণ্টন করা	$\frac{(2m)!}{(m!)^2}$	কে কোন দল পাবে তা নির্দিষ্ট করতে $2!$ দিয়ে গুণ করতে হয় (ফলে $2!$ কেটে যায়)।
$3m$-টি বস্তুকে $m$ আকারের ৩টি সমান দলে বিভক্ত করা	$\frac{(3m)!}{(m!)^3 \, 3!}$	দলগুলি নামহীন হলে $3!$ দ্বারা ভাগ হয়; ৩ জন ব্যক্তির মধ্যে বণ্টন করলে $3!$ গুণ হয়ে বাদ যায়।

গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সূত্র, অভেদ ও উপপাদ্য

গণনার মূল নীতি ও ফ্যাক্টোরিয়াল

m × n, m + n

ধারাবাহিক স্বাধীন ঘটনার জন্য গুণ (এবং); পরস্পর বিচ্ছিন্ন বিকল্পের জন্য যোগ (অথবা)।

বিন্যাসের মূল সূত্র (nPr)

ⁿPᵣ = n! / (n - r)!

ক্রম গুরুত্বপূর্ণ হলে প্রযোজ্য; পুনরাবৃত্তি গ্রহণযোগ্য হলে মোট বিন্যাস সংখ্যা nʳ।

সদৃশ বস্তু ও চক্রীয় বিন্যাস

n! / (p!q!r!)

উল্টানো যায় এমন মালা বা হারের ক্ষেত্রে ঘড়ির কাঁটার দিক ও বিপরীত দিক এক হওয়ায় ২ দিয়ে ভাগ হয়।

সমবায়ের মূল সূত্র (nCr)

ⁿCᵣ = n! / [r!(n - r)!]

ক্রম নিরপেক্ষ; যদি ⁿCₓ = ⁿCᵧ হয় তবে x = y অথবা x + y = n।

প্যাসকেলের কম্বিনেটোরিয়াল অভেদ

ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ

দ্বিপদ সহগ ও প্যাসকেল ত্রিভুজের মৌলিক পৌনঃপুনিক সূত্র।

জ্যামিতিক সমবায় ও বহুভুজের কর্ণ

n(n - 3) / 2

n-বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের মোট কর্ণ n(n - 3)/2 টি; ত্রিভুজের সংখ্যা ⁿC₃ - ᵐC₃।

সমাধানকৃত উদাহরণ ও প্রয়োগ (Solved Examples)

উদাহরণ 1

যদি $\frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!}$ হয়, তবে $x$-এর মান নির্ণয় করো। [2 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান:
ধাপ ১: বৃহত্তর ফ্যাক্টোরিয়ালগুলিকে $8!$-এর আকারে প্রকাশ: আমরা জানি: $$9! = 9 \times 8!$$ $$10! = 10 \times 9 \times 8! = 90 \times 8!$$
ধাপ ২: বামপক্ষ থেকে $\frac{1}{8!}$ সাধারণ উৎপাদক হিসেবে কমন নেওয়া: $$\text{LHS} = \frac{1}{8!} + \frac{1}{9 \times 8!} = \frac{1}{8!} \left(1 + \frac{1}{9}\right) = \frac{1}{8!} \times \frac{10}{9}$$
ধাপ ৩: ডানপক্ষের সাথে সমতা স্থাপন: $$\frac{1}{8!} \times \frac{10}{9} = \frac{x}{10!} = \frac{x}{90 \times 8!}$$
ধাপ ৪: উভয়পক্ষ থেকে $\frac{1}{8!}$ অপনয়ন করে $x$-এর মান নির্ণয়: $$\frac{10}{9} = \frac{x}{90} \implies x = \frac{10 \times 90}{9} = \mathbf{100}$$
উত্তর: নির্ণেয় $x$-এর মান $100$।

উদাহরণ 2

"EQUATION" শব্দের সমস্ত বর্ণগুলি একযোগে নিয়ে অর্থপূর্ণ বা অর্থহীন কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি সর্বদা একত্রে থাকে? [3 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান:
ধাপ ১: "EQUATION" শব্দের বর্ণগুলি বিশ্লেষণ: "EQUATION" শব্দটিতে মোট বর্ণ $= 8$ টি। এখানে সবগুলি বর্ণই পৃথক বা বিভিন্ন:

স্বরবর্ণ (Vowels): E, U, A, I, O (মোট ৫টি স্বরবর্ণ — ইংরেজি ৫টি স্বরবর্ণই এতে বর্তমান!)।
ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonants): Q, T, N (মোট ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ)।

ধাপ ২: গুচ্ছ পদ্ধতির (String Method) প্রয়োগ: ৫টি স্বরবর্ণকে সর্বদা একত্রে রাখতে হবে, তাই তাদের একটি ব্লকে আবদ্ধ ধরি: $[E, U, A, I, O]$। এখন আমাদের সাজাতে হবে: ৩টি ব্যঞ্জনবর্ণ + ১টি স্বরবর্ণের ব্লক $= 4$ টি বস্তু। $$\text{৪টি বস্তুকে সারিতে সাজানোর উপায়} = 4! = 24$$
ধাপ ৩: ব্লকের অভ্যন্তরীণ স্বরবর্ণের পারস্পরিক বিন্যাস: ৫টি ভিন্ন স্বরবর্ণ নিজেদের মধ্যে সাজানো যায়: $$5! = 120 \text{ উপায়ে}$$
ধাপ ৪: মোট শব্দ সংখ্যা নির্ণয়: গণনার গুণন নীতি অনুযায়ী: $$\text{মোট শব্দ সংখ্যা} = 4! \times 5! = 24 \times 120 = \mathbf{2,880}$$
উত্তর: স্বরবর্ণগুলি সর্বদা একত্রে রেখে মোট $2,880$ টি শব্দ গঠন করা যায়।

উদাহরণ 3

যদি $^{n} C_9 = \, ^{n} C_8$ হয়, তবে $n$-এর মান নির্ণয় করো এবং অতঃপর $^{n} C_{17}$-এর মান বের করো। [3 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান:
ধাপ ১: সমবায়ের সমতা উপপাদ্য প্রয়োগ: আমরা জানি যে কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$-এর ক্ষেত্রে: $$\text{যদি } ^n C_x = \, ^n C_y \text{ হয়, তবে হয় } x = y \text{ অথবা } \mathbf{x + y = n}$$
ধাপ ২: $n$-এর মান নির্ণয়: এখানে $x = 9$ এবং $y = 8$। যেহেতু $9 \neq 8$: $$x + y = n \implies 9 + 8 = n \implies \mathbf{n = 17}$$
ধাপ ৩: $^{n} C_{17}$-এর মান নির্ণয়: $n = 17$ প্রতিস্থাপন করে পাই: $$^{17} C_{17} = \frac{17!}{17! \, (17 - 17)!} = \frac{17!}{17! \, 0!} = \frac{1}{1} = \mathbf{1}$$
উত্তর: $n$-এর মান $17$ এবং $^{n} C_{17} = \, ^{17} C_{17} = 1$।

উদাহরণ 4

৯ জন বালক এবং ৪ জন বালিকার মধ্য থেকে ৭ জনের একটি কমিটি কত প্রকারে গঠন করা যায় যাতে কমিটিতে: (i) ঠিক ৩ জন বালিকা থাকে? (ii) কমপক্ষে ৩ জন বালিকা থাকে? (iii) অনধিক ৩ জন বালিকা থাকে? [4 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান:
মোট ব্যক্তি: ৯ জন বালক এবং ৪ জন বালিকা। কমিটির সদস্য সংখ্যা $= 7$।
ক্ষেত্র (i): ঠিক ৩ জন বালিকা থাকে: কমিটিতে ঠিক ৩ জন বালিকা এবং অবশিষ্ট $7 - 3 = 4$ জন বালক নির্বাচন করতে হবে: $$\text{উপায় সংখ্যা} = \, ^4 C_3 \times \, ^9 C_4 = 4 \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4 \times 126 = \mathbf{504}$$
ক্ষেত্র (ii): কমপক্ষে ৩ জন বালিকা থাকে (At least 3 girls): "কমপক্ষে ৩ জন বালিকা" কথার অর্থ ৩ জন অথবা ৪ জন বালিকা থাকবে:

৩ জন বালিকা ও ৪ জন বালক: $^4 C_3 \times \, ^9 C_4 = 4 \times 126 = 504$
৪ জন বালিকা ও ৩ জন বালক: $^4 C_4 \times \, ^9 C_3 = 1 \times \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 1 \times 84 = 84$

$$\text{মোট উপায় (কমপক্ষে ৩ জন বালিকা)} = 504 + 84 = \mathbf{588}$$
ক্ষেত্র (iii): অনধিক ৩ জন বালিকা থাকে (At most 3 girls): "অনধিক ৩ জন বালিকা" মানে সর্বোচ্চ ৩ জন বালিকা থাকতে পারে; অর্থাৎ ৪ জন বালিকা থাকার ঘটনাটি ব্যতীত অন্য সকল ক্ষেত্র: $$\text{মোট সদস্য ১৩ জন থেকে ৭ জন নির্বাচনের মোট উপায়} = \, ^{13} C_7 = \frac{13!}{7! \, 6!} = 1,716$$ $$\text{৪ জন বালিকা থাকা কমিটির সংখ্যা} = 84 \quad (\text{ক্ষেত্র ii থেকে})$$ $$\text{মোট উপায় (অনধিক ৩ জন বালিকা)} = 1,716 - 84 = \mathbf{1,632}$$ (বিকল্প পদ্ধতি: ০ বালিকা (৩৬) + ১ বালিকা (৩৩৬) + ২ বালিকা (৭৫৬) + ৩ বালিকা (৫০৪) = ১,৬৩২)।

উদাহরণ 5

একটি সমতলে ১২টি বিন্দু আছে যার মধ্যে ৫টি বিন্দু সমরেখ। (i) বিন্দুগুলি যোগ করে কতগুলি সরলরেখা পাওয়া যায়? (ii) কতগুলি ত্রিভুজ গঠন করা যায়? (iii) একটি দশভুজের (Decagon) কর্ণের সংখ্যা কত? [4 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান:
অংশ (i): গঠিত সরলরেখার সংখ্যা: যে কোনো ২টি বিন্দু যোগ করলে একটি সরলরেখা পাওয়া যায় ($^{12} C_2$)। যেহেতু ৫টি বিন্দু সমরেখ, সেগুলি আলাদা করে $^5 C_2$-টি রেখা তৈরি না করে মাত্র ১টি রেখা তৈরি করে: $$\text{সরলরেখার সংখ্যা} = \, ^{12} C_2 - \, ^5 C_2 + 1$$ $$^{12} C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$$ $$^5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$$ $$\mathbf{\text{মোট সরলরেখা} = 66 - 10 + 1 = 57}$$
অংশ (ii): গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা: যে কোনো ৩টি অসমরেখ বিন্দু যোগ করে ১টি ত্রিভুজ পাওয়া যায় ($^{12} C_3$)। সমরেখ ৫টি বিন্দু কোনো ত্রিভুজ গঠন করতে পারে না ($^5 C_3$ বিনষ্ট হয়): $$\text{ত্রিভুজের সংখ্যা} = \, ^{12} C_3 - \, ^5 C_3$$ $$^{12} C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$$ $$^5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$$ $$\mathbf{\text{মোট ত্রিভুজ} = 220 - 10 = 210}$$
অংশ (iii): একটি দশভুজের ($n = 10$) কর্ণের সংখ্যা: বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র $D = \frac{n(n - 3)}{2}$: $$D = \frac{10(10 - 3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \mathbf{35 \text{ টি কর্ণ}}$$

উদাহরণ 6

"ASSASSINATION" শব্দের বর্ণগুলি কত প্রকারে সাজানো যায়? তাদের মধ্যে কতগুলিতে: (i) ৪টি S সর্বদা একত্রে থাকবে? (ii) কোনো দুটি S পাশাপাশি বসবে না? [5 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান:
ধাপ ১: "ASSASSINATION" শব্দের বর্ণসমূহের পুনরাবৃত্তি গণনা: মোট বর্ণ সংখ্যা $n = 13$। বর্ণগুলির পুনরাবৃত্তি:

A আছে ৩ বার
S আছে ৪ বার
I আছে ২ বার
N আছে ২ বার
T আছে ১ বার
O আছে ১ বার

শর্তহীন মোট বিন্যাস সংখ্যা $= \frac{13!}{3! \, 4! \, 2! \, 2!} = \frac{6227020800}{6 \times 24 \times 2 \times 2} = \mathbf{10,810,800}$।
ধাপ ২: ক্ষেত্র (i) - ৪টি S সর্বদা একত্রে থাকবে (গুচ্ছ পদ্ধতি): ৪টি S-কে একত্রে বেঁধে একটিমাত্র যৌগিক ব্লক $[S, S, S, S]$ ধরি। অবশিষ্ট বর্ণ: ৩টি A, ২টি I, ২টি N, ১টি T, ১টি O (মোট ৯টি বর্ণ)। সাজানোর জন্য মোট বস্তু $= 9 + 1 \text{ ব্লক} = 10$ টি। যেহেতু ব্লকের ভেতরের ৪টি S হুবহু সদৃশ, তাদের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস $= \frac{4!}{4!} = 1$। $$\text{বিন্যাস (৪টি S একত্রে)} = \frac{10!}{3! \, 2! \, 2!} = \frac{3628800}{6 \times 2 \times 2} = \frac{3628800}{24} = \mathbf{151,200}$$
ধাপ ৩: ক্ষেত্র (ii) - কোনো দুটি S পাশাপাশি বসবে না (ফাঁক পদ্ধতি): প্রথমে ৪টি S বাদে বাকি $13 - 4 = 9$ টি বর্ণকে (৩টি A, ২টি I, ২টি N, ১টি T, ১টি O) সাজাই: $$\text{অবশিষ্ট ৯টি বর্ণ সাজানোর উপায়} = \frac{9!}{3! \, 2! \, 2!} = \frac{362880}{24} = 15,120$$ এই ৯টি বর্ণ তাদের মাঝে ও দুই প্রান্তে মোট $9 + 1 = 10$ টি ফাঁকা স্থান সৃষ্টি করে: $$\underline{\phantom{x}} L_1 \underline{\phantom{x}} L_2 \underline{\phantom{x}} L_3 \underline{\phantom{x}} L_4 \underline{\phantom{x}} L_5 \underline{\phantom{x}} L_6 \underline{\phantom{x}} L_7 \underline{\phantom{x}} L_8 \underline{\phantom{x}} L_9 \underline{\phantom{x}}$$ ৪টি সদৃশ S-কে এই ১০টি ফাঁকা স্থানের যেকোনো ৪টিতে বসানোর উপায়: $$\text{ফাঁকা স্থান নির্বাচন} = \, ^{10} C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$$ $$\text{মোট বিন্যাস (কোনো দুটি S পাশাপাশি নেই)} = 15,120 \times 210 = \mathbf{3,175,200}$$
উত্তর: ৪টি S একত্রে থাকলে মোট $151,200$ টি এবং কোনো দুটি S পাশাপাশি না থাকলে মোট $3,175,200$ টি বিন্যাস পাওয়া যায়।

সাধারণ ভুলত্রুটি ও সতর্কতা (Common Traps)

সাধারণ ভুল ধারণা

বিন্যাস (ক্রম গুরুত্বপূর্ণ) এবং সমবায়ের (ক্রম অপ্রাসঙ্গিক) মধ্যে দ্বিধাদ্বন্দ্ব

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

১১ জনের মধ্য থেকে ৫ জনের কমিটি নির্বাচনে সদস্যদের বসার ক্রম বিবেচ্য নয়; তাই সমবায় $^{11} C_5 = 462$ হবে, $^{11} P_5 = 55,440$ নয়।

সাধারণ ভুল ধারণা

শব্দের বিন্যাসে পুনরাবৃত্ত বা সদৃশ অক্ষরের ফ্যাক্টোরিয়াল দিয়ে ভাগ করতে ভুলে যাওয়া

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

যেহেতু O বর্ণটি ২ বার এসেছে, তাই $2!$ দিয়ে ভাগ করতে হবে: $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = \mathbf{12}$।

সাধারণ ভুল ধারণা

নির্বাচনে "কমপক্ষে" (at least) এবং "অনধিক" (at most) শব্দের শর্ত ভুল বোঝা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

"কমপক্ষে ৩ জন বালিকা" মানে $\ge 3$ জন (অর্থাৎ ৩ জন বালিকা অথবা ৪ জন বালিকা)। প্রতিটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রের হিসেব বের করে যোগ করতে হবে।

সাধারণ ভুল ধারণা

নামহীন সমান আকারের দল গঠনে $2!$ বা $3!$ দ্বারা ভাগ করতে ভুলে যাওয়া

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

সমান আকারের ২টি নামহীন দলের জন্য $2!$ দ্বারা ভাগ করতে হবে: $\frac{4!}{(2!)^2 \times 2!} = \frac{24}{4 \times 2} = \mathbf{3}$।

সাধারণ ভুল ধারণা

মালা বা হারের ক্ষেত্রে সরাসরি চক্রীয় বিন্যাস $(n - 1)!$ ব্যবহার করা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

মালা উল্টে দিলে ঘড়ির কাঁটার দিক ও বিপরীত দিক এক হয়ে যায়, তাই ২ দিয়ে ভাগ করতে হয়: $\frac{(8 - 1)!}{2} = \frac{5040}{2} = \mathbf{2520}$।

বিন্যাস, সমবায়, প্যাসকেল ত্রিভুজ ও কম্বিনেটোরিয়াল জ্যামিতি ডায়াগ্রাম

অধ্যায় সারসংক্ষেপ ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

মূল বিষয় 1

গণনার গুণন নীতি অনুযায়ী প্রথম ঘটনা m উপায়ে এবং পরবর্তী স্বাধীন ঘটনা n উপায়ে ঘটলে, উভয় ঘটনা পর্যায়ক্রমে m × n উপায়ে ঘটে।

মূল বিষয় 2

গণনার যোগ নীতি অনুযায়ী একটি ঘটনা m উপায়ে অথবা একটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন বিকল্প ঘটনা n উপায়ে ঘটলে, যেকোনো একটি m + n উপায়ে ঘটে।

মূল বিষয় 3

অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য ফ্যাক্টোরিয়াল সংজ্ঞায়িত: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n, যেখানে 0! = 1 এবং n! = n(n - 1)!।

মূল বিষয় 4

বিন্যাস হলো বস্তুসমূহের সুশৃঙ্খল সজ্জা; n-সংখ্যক পৃথক বস্তু থেকে r-সংখ্যক নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা ⁿPᵣ = n! / (n - r)!।

মূল বিষয় 5

n-সংখ্যক বস্তুর মধ্যে p-সংখ্যক প্রথম প্রকার, q-সংখ্যক দ্বিতীয় প্রকার ও r-সংখ্যক তৃতীয় প্রকার সদৃশ হলে মোট বিন্যাস সংখ্যা n! / (p! · q! · r!)।

মূল বিষয় 6

n-সংখ্যক ভিন্ন বস্তুর চক্রীয় বিন্যাস টেবিলের ক্ষেত্রে (n - 1)! এবং উল্টানো যায় এমন মালা বা হারের ক্ষেত্রে (n - 1)! / 2।

মূল বিষয় 7

সমবায় হলো ক্রমহীন নির্বাচন; n-সংখ্যক পৃথক বস্তু থেকে r-সংখ্যক বস্তু নির্বাচনের উপায় সংখ্যা ⁿCᵣ = n! / [r!(n - r)!]।

মূল বিষয় 8

বিন্যাস ও সমবায়ের মৌলিক সম্পর্ক: ⁿPᵣ = r! × ⁿCᵣ।

মূল বিষয় 9

সমবায়ের গুরুত্বপূর্ণ অভেদ: ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ; যদি ⁿCₓ = ⁿCᵧ হয় তবে x = y অথবা x + y = n; এবং প্যাসকেলের অভেদ: ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ।

মূল বিষয় 10

জ্যামিতিক প্রয়োগ: n-সংখ্যক বিন্দুর m-সংখ্যক সমরেখ হলে সরলরেখার সংখ্যা ⁿC₂ - ᵐC₂ + 1; n-বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ⁿC₂ - n = n(n - 3)/2।

স্ব-মূল্যায়ন অনুশীলন (Check Your Understanding)

মূল ধারণাগত স্পষ্টতা যাচাই করার জন্য অনুশীলন প্রশ্ন। উত্তর দেখার আগে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো।

পুনরাবৃত্তি না করে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্কগুলি দিয়ে ৪-অঙ্কের কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যায়?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: ⁹P₄ = 9! / (9 - 4)! = 9! / 5! = 9 × 8 × 7 × 6 = 3,024 টি সংখ্যা।
এখানে মোট ৯টি অঙ্ক থেকে ৪টি স্থান পূরণ করতে হবে; বিন্যাসের সূত্র ⁹P₄ ব্যবহার করো।

যদি ⁿPᵣ = 720 এবং ⁿCᵣ = 120 হয়, তবে r এবং n-এর মান কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: r! = ⁿPᵣ / ⁿCᵣ = 720 / 120 = 6। যেহেতু 3! = 6, তাই r = 3। এখন ⁿP₃ = n(n - 1)(n - 2) = 720 = 10 × 9 × 8। সুতরাং, n = 10 এবং r = 3।
মৌলিক সম্পর্ক ⁿPᵣ = r! × ⁿCᵣ থেকে r! বের করো, তারপর n নির্ণয় করো।

একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত ২১টি বিন্দুর সংযোগে কতগুলি জ্যা (Chord) অঙ্কন করা যায়?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: যেহেতু পরিধির কোনো ৩টি বিন্দু সমরেখ নয়, তাই জ্যার সংখ্যা = ²¹C₂ = (21 × 20) / 2 = 210 টি জ্যা।
পরিধির যেকোনো ২টি বিন্দু যোগ করলে একটি অনন্য জ্যা তৈরি হয়; সমবায় ব্যবহার করো।

৫ জন বালিকা ও ৩ জন বালক এক সারিতে কত উপায়ে বসতে পারে যাতে কোনো দুজন বালক পাশাপাশি না বসে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: ৫ জন বালিকাকে সাজানোর উপায়: 5! = 120। তৈরি হওয়া ফাঁকা স্থান = 5 + 1 = 6। ৩ জন বালককে ৬টি ফাঁকে বসানোর উপায়: ⁶P₃ = 6 × 5 × 4 = 120। মোট উপায় = 120 × 120 = 14,400 উপায়ে।
প্রথমে ৫ জন বালিকাকে বসাও, তারপর তাদের মধ্যবর্তী ৬টি ফাঁকা স্থানে ৩ জন বালককে বসাও।

একটি অষ্টভুজের (8-sided polygon) কর্ণের সংখ্যা নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: D = 8(8 - 3)/2 = (8 × 5)/2 = 20 টি কর্ণ।
বহুভুজের কর্ণের সূত্র D = n(n - 3)/2-এ n = 8 বসাও।

অধ্যায় পড়া শেষ হয়েছে?

অনুশীলন শুরু করো