द्विपद प्रमेय

द्विपद व्यंजकों की घातों के प्रसार का इतिहास अत्यंत प्राचीन है। द्विपद गुणांकों का ज्यामितीय विन्यास गहन पुनरावृत्त सौंदर्य प्रदर्शित करता है।

1654 ईस्वी में फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज पास्कल द्वारा इस विन्यास का प्रकाशन करने से लगभग दो सहस्राब्दी पूर्व, प्राचीन भारतीय गणितज्ञ आचार्य पिंगल ने अपने संस्कृत ग्रंथ छंदःशास्त्र (लगभग तीसरी–दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व) में इस पिरामिडनुमा सारणी का वर्णन किया था, जिसे मेरु प्रस्तार (सुमेरु पर्वत की सीढ़ियाँ) कहा गया। बाद में 11वीं सदी में फारस के उमर खय्याम और 13वीं सदी में चीन के यांग हुई ने भी इसी सारणी का उल्लेख किया।

प्रत्येक पंक्ति का आरंभ और अंत 1 से होता है। मध्य का प्रत्येक अवयव ठीक अपनी पिछली पंक्ति के ऊपर स्थित दो निकटवर्ती पदों के योगफल के बराबर होता है:

बीजीय उपपत्ति:

क्रमगुणित को उभयनिष्ठ रूप में लिखने पर ($r! = r(r-1)!$ तथा $(n-r+1)! = (n-r+1)(n-r)!$):

द्विपद प्रमेय एक ऐसा सामान्य सूत्र है जिसकी सहायता से बिना लंबे गुणा के सीधे $(a + b)^n$ का संपूर्ण प्रसार प्राप्त किया जा सकता है।

माना दिया गया कथन $P(n): (a + b)^n = \sum_{r=0}^n {^nC_r} a^{n-r} b^r$ है।

1. आधार चरण ($n = 1$): $$\text{LHS} = (a + b)^1 = a + b$$ $$\text{RHS} = {^1C_0} a^1 b^0 + {^1C_1} a^0 b^1 = 1 \cdot a + 1 \cdot b = a + b$$ चूंकि LHS = RHS, अतः कथन $P(1)$ सत्य है।
2. आगमन परिकल्पना: माना कथन किसी धन पूर्णांक $n = k$ के लिए सत्य है: $$(a + b)^k = {^kC_0} a^k + {^kC_1} a^{k-1} b + {^kC_2} a^{k-2} b^2 + \dots + {^kC_k} b^k$$
3. आगमन चरण ($n = k + 1$): दोनों पक्षों में $(a + b)$ से गुणा करने पर: $$(a + b)^{k+1} = (a + b) (a + b)^k = (a + b) \left[ \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r} b^r \right]$$ $$= a \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r} b^r + b \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r} b^r = \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r+1} b^r + \sum_{r=0}^k {^kC_r} a^{k-r} b^{r+1}$$ समान पदों को संयोजित करने और पास्कल की सर्वसमिका ${^kC_r} + {^kC_{r-1}} = {^{k+1}C_r}$ का उपयोग करने पर: $$= {^{k+1}C_0} a^{k+1} + \sum_{r=1}^k {^{k+1}C_r} a^{k+1-r} b^r + {^{k+1}C_{k+1}} b^{k+1} = \sum_{r=0}^{k+1} {^{k+1}C_r} a^{k+1-r} b^r$$ अतः यदि $P(k)$ सत्य है, तो $P(k + 1)$ भी निश्चित रूप से सत्य सिद्ध होता है।

अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा यह प्रमेय सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।

• पदों की कुल संख्या: $(a + b)^n$ के प्रसार में कुल $\mathbf{n + 1}$ पद होते हैं। उदाहरणार्थ: $(x + y)^{10}$ में 11 पद होंगे।
• घात संरक्षण: प्रत्येक पद ${^nC_r} a^{n-r} b^r$ में $a$ तथा $b$ की घातों का योग $(n - r) + r = \mathbf{n}$ सदैव अचर रहता है।
• गुणांकों की समरूपता: आरंभ और अंत से समदूरस्थ पदों के गुणांक समान होते हैं: ${^nC_r} = {^nC_{n-r}}$।
• एकांतर चिन्ह वाला प्रसार $(a - b)^n$: $$(a - b)^n = \sum_{r=0}^n (-1)^r {^nC_r} a^{n-r} b^r = {^nC_0} a^n - {^nC_1} a^{n-1} b + {^nC_2} a^{n-2} b^2 - \dots + (-1)^n {^nC_n} b^n$$
• मानक एकल-चर प्रसार $(1 + x)^n$: $$(1 + x)^n = {^nC_0} + {^nC_1} x + {^nC_2} x^2 + \dots + {^nC_n} x^n = \sum_{r=0}^n {^nC_r} x^r$$

बिना पूरा प्रसार लिखे किसी विशिष्ट पद का मान सीधे प्राप्त करने हेतु व्यापक पद के सूत्र का उपयोग किया जाता है।

चूंकि प्रथम पद $r = 0$ पर प्राप्त होता है, अतः $(a + b)^n$ के प्रसार में $(r + 1)$-वें पद को व्यापक पद कहा जाता है:

$(a - b)^n$ के प्रसार के लिए:

चूंकि प्रसार में कुल $(n + 1)$ पद होते हैं:

वैकल्पिक विधि: $(a + b)^n$ के अंत से $p$-वां पद सीधे व्युत्क्रम प्रसार $(b + a)^n$ के आरंभ से $p$-वें पद के बराबर होता है।

पश्चिम बंगाल बोर्ड एवं प्रतियोगी परीक्षाओं में $x$ से स्वतंत्र पद और संख्यात्मक रूप से महत्तम पद के प्रश्न अत्यधिक महत्वपूर्ण होते हैं।

$\left(A x^p + \frac{B}{x^q}\right)^n$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद ज्ञात करने की चरणबद्ध विधि:

1. व्यापक पद $T_{r+1}$ का निर्माण करें: $$T_{r+1} = {^nC_r} (A x^p)^{n-r} \left(\frac{B}{x^q}\right)^r = {^nC_r} A^{n-r} B^r \cdot x^{pn - (p+q)r}$$
2. पद के $x$ से स्वतंत्र होने के लिए $x$ की कुल घात शून्य होनी चाहिए: $$pn - (p + q)r = 0 \implies \mathbf{r = \frac{pn}{p + q}}$$
3. सत्यापन: यदि $r$ एक अऋणात्मक पूर्णांक ($0 \le r \le n$) प्राप्त होता है, तो $r$ का मान रखकर अचर पद प्राप्त कर लें। यदि $r$ भिन्न या ऋणात्मक है, तो प्रसार में कोई $x$ से स्वतंत्र पद उपस्थित नहीं है।

$(1 + x)^n$ के प्रसार में $x$ के दिए गए वास्तविक मान के लिए सबसे बड़े संख्यात्मक मान वाला पद ज्ञात करना:

• स्थिति 1: यदि $\frac{(n + 1)|x|}{|x| + 1} = m$ एक पूर्णांक है: तो $T_m$ तथा $T_{m+1}$ दोनों पद संख्यात्मक रूप से बराबर और संयुक्त रूप से सबसे बड़े होंगे।
• स्थिति 2: यदि $\frac{(n + 1)|x|}{|x| + 1} = m + f$ एक भिन्न है: (जहाँ $m$ पूर्णांक भाग है), तो एकमात्र संख्यात्मक रूप से महत्तम पद $\mathbf{T_{m+1}}$ होगा।

द्विपद गुणांक ${^nC_r}$ को संक्षिप्त रूप में $C_r$ लिखा जाता है। ये गुणांक कई अत्यंत महत्वपूर्ण योगफल संबंधों को संतुष्ट करते हैं।

• सर्वसमिका 1: भारित गुणांकों का योग $\sum r C_r$: $$(1 + x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$$ $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $$n(1 + x)^{n-1} = \sum_{r=1}^n r C_r x^{r-1} \xrightarrow{x = 1} \mathbf{\sum_{r=1}^n r C_r = n \cdot 2^{n-1}}$$
• सर्वसमिका 2: गुणांकों के वर्गों का योगफल: $$C_0^2 + C_1^2 + C_2^2 + \dots + C_n^2 = \mathbf{^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}}$$ उपपत्ति: $(1 + x)^n (x + 1)^n = (1 + x)^{2n}$ के दोनों पक्षों में $x^n$ के गुणांकों की तुलना करके सिद्ध किया जाता है।
• सर्वसमिका 3: समाकलन का उपयोग: $$\int_0^1 (1 + x)^n dx = \sum_{r=0}^n \frac{C_r}{r + 1} \implies \mathbf{\sum_{r=0}^n \frac{C_r}{r + 1} = \frac{2^{n+1} - 1}{n + 1}}$$

जब घात धन पूर्णांक नहीं होती, तब प्रसार सीमित नहीं रहता बल्कि एक अनंत अभिसारी श्रेणी में बदल जाता है।

1. अनंत पद: चूंकि $n$ पूर्णांक नहीं है, अतः अंश कभी शून्य नहीं होता और श्रेणी अनंत तक चलती है।
2. अभिसरण की अनिवार्यता: यह प्रसार केवल और केवल तभी मान्य होता है जब $|x| < 1$ हो। यदि $|x| \ge 1$, तो श्रेणी अपसारी हो जाती है।
3. प्रथम पद को 1 बनाना: $(a + b)^n$ का प्रसार करने हेतु $a^n$ को बाहर निकालना अनिवार्य है: $a^n(1 + b/a)^n$, जहाँ $|b/a| < 1$ होना चाहिए।

जब $|x| \ll 1$ (अर्थात $x^2, x^3 \approx 0$):

उदाहरण: $\sqrt{1.02} = (1 + 0.02)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}(0.02) = \mathbf{1.01}$।