জটিল রাশি ও দ্বিঘাত সমীকরণ

বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbb{R}$-এ যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক ($x^2 \ge 0$)। ফলে $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$ সমীকরণের কোনো বাস্তব সমাধান সম্ভব নয়। এই সীমাবদ্ধতা নিরসনে সুইস গণিতবিদ লিওনহার্ড অয়লার ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল নির্দেশ করতে কাল্পনিক একক $\mathbf{i}$ (iota) প্রবর্তন করেন।

কাল্পনিক এককের মৌলিক সংজ্ঞা:

$i$-এর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ঘাতগুলি একটি নির্দিষ্ট ৪-ধাপের চক্রাকার ধারা মেনে চলে:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$
• $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $n \in \mathbb{Z}$-কে $4$ দ্বারা ভাগ করলে ইউক্লিডের ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী $n = 4k + r$ লেখা যায়, যেখানে ভাগশেষ $r \in \{0, 1, 2, 3\}$। অতএব:

ঋণাত্মক ঘাতের ক্ষেত্রেও একই নিয়ম প্রযোজ্য: $i^{-1} = \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = -i$, $i^{-2} = -1$, $i^{-3} = i$, $i^{-4} = 1$।

যে রাশিকে নিম্নলিখিত আকারে প্রকাশ করা যায়:

তাকে একটি জটিল রাশি (Complex Number) বলা হয়। সকল জটিল রাশির সেটকে $\mathbb{C}$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

• $\mathbf{a = \text{Re}(z)}$ হলো জটিল রাশির বাস্তব অংশ (Real Part)।
• $\mathbf{b = \text{Im}(z)}$ হলো জটিল রাশির কাল্পনিক অংশ (Imaginary Part) (মনে রাখতে হবে: $\text{Im}(z)$ হলো বাস্তব সহগ $b$, $ib$ নয়)।
• যদি $b = 0$ হয়, তবে $z = a$ একটি বিশুদ্ধ বাস্তব রাশি (Purely Real)। অর্থাৎ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যাই একটি জটিল রাশি ($\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$)।
• যদি $a = 0$ এবং $b \neq 0$ হয়, তবে $z = ib$ একটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক রাশি (Purely Imaginary)।
• সংখ্যা $0 = 0 + 0i$ একই সাথে বিশুদ্ধ বাস্তব এবং বিশুদ্ধ কাল্পনিক।

দুটি জটিল রাশি $z_1 = a_1 + ib_1$ এবং $z_2 = a_2 + ib_2$ পরস্পর সমান ($z_1 = z_2$) হবে যদি ও কেবল যদি তাদের বাস্তব অংশদ্বয় সমান হয় এবং কাল্পনিক অংশদ্বয় সমান হয়:

ক্রম অসমতা দ্রষ্টব্য: জটিল রাশিমালায় কোনো ক্রম অসমতা ($>$ বা $<$) সংজ্ঞায়িত নয়। $z_1 > z_2$ বা $z_1 < z_2$ জাতীয় উক্তি সম্পূর্ণ অর্থহীন, যদি না উভয় রাশিই বিশুদ্ধ বাস্তব হয়।

জটিল রাশির যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ সাধারণ বীজগণিতীয় নিয়ম এবং $i^2 = -1$ সম্পর্ক মেনে চলে। বীজগণিতীয়ভাবে $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ একটি পূর্ণাঙ্গ গাণিতিক ফিল্ড (Field) গঠন করে।

ধরি $z_1 = a + ib$ এবং $z_2 = c + id$ যেখানে $a, b, c, d \in \mathbb{R}$:

যেকোনো অশূন্য জটিল রাশি $z = a + ib \neq 0$-এর জন্য এর গুণন বিপরীত $z^{-1} = \frac{1}{z}$ হলো:

যদি $z = a + ib$ হয়, তবে তার কাল্পনিক অংশের চিহ্ন পরিবর্তন করে যে জটিল রাশি পাওয়া যায় তাকে $z$-এর অনুবন্ধী জটিল রাশি বলা হয় এবং একে $\bar{z}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

জ্যামিতিকভাবে, আর্গ্যান্ড তলে বাস্তব অক্ষের সাপেক্ষে $z$-এর প্রতিফলন বা প্রতিবিম্বই হলো $\bar{z}$।

1. $\overline{(\bar{z})} = z$ (দ্বৈত বিপরীতকরণ নিয়ম)
2. $z + \bar{z} = (a + ib) + (a - ib) = 2a = \mathbf{2\,\text{Re}(z)}$ (সর্বদা বাস্তব)
3. $z - \bar{z} = (a + ib) - (a - ib) = 2ib = \mathbf{2i\,\text{Im}(z)}$ (বিশুদ্ধ কাল্পনিক বা শূন্য)
4. $z = \bar{z} \iff \text{Im}(z) = 0 \iff z \text{ বিশুদ্ধ বাস্তব}$
5. $z + \bar{z} = 0 \iff \text{Re}(z) = 0 \iff z \text{ বিশুদ্ধ কাল্পনিক}$
6. $\mathbf{z \cdot \bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |z|^2}$
7. $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2$
8. $\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$
9. $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} \quad (z_2 \neq 0)$

বাস্তব সংখ্যাকে যেমন সরলরেখার বিন্দুরূপে স্থাপন করা যায়, তেমনি প্রতিটি জটিল রাশিকে দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় তলে একটি অনন্য বিন্দুরূপে প্রকাশ করা যায়। এই সমতলকে আর্গ্যান্ড তল (Argand Plane) বা গাউসীয় তল বলা হয়।

প্রতিটি জটিল রাশি $z = a + ib$-কে বাস্তব সংখ্যার ক্রমিক জোড় $(a, b)$ হিসেবে চিহ্নিত করে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু $P(a, b)$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়:

• অনুভূমিক $X$-অক্ষকে বাস্তব অক্ষ (Real Axis) বলা হয় (বিন্দু $(a, 0)$ বাস্তব সংখ্যা $a$ নির্দেশ করে)।
• উলম্ব $Y$-অক্ষকে কাল্পনিক অক্ষ (Imaginary Axis) বলা হয় (বিন্দু $(0, b)$ কাল্পনিক সংখ্যা $ib$ নির্দেশ করে)।
• মূলবিন্দু $O(0, 0)$ নির্দেশ করে $0 = 0 + 0i$ জটিল রাশিটিকে।

$z = a + ib$ জটিল রাশির মডিউলাস $|z|$ হলো আর্গ্যান্ড তলে মূলবিন্দু $O(0,0)$ থেকে $P(a, b)$ বিন্দুর ইউক্লিডীয় দূরত্ব:

মডিউলাসের প্রধান ধর্মাবলি:

• $|z| \ge 0$, এবং $|z| = 0 \iff z = 0$।
• $|z| = |-z| = |\bar{z}| = |-\bar{z}| = \sqrt{a^2 + b^2}$।
• $-|z| \le \text{Re}(z) \le |z|$ এবং $-|z| \le \text{Im}(z) \le |z|$।
• $z \cdot \bar{z} = |z|^2 \implies \mathbf{z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}}$।
• গুণন ধর্ম: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ এবং $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad (z_2 \neq 0)$।
• ত্রিভুজ অসমতা (Triangle Inequality): $$\mathbf{|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|} \quad \text{এবং} \quad \mathbf{|z_1 - z_2| \ge ||z_1| - |z_2||}$$ সমতা $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$ তখনই ঘটে যখন মূলবিন্দু $O$, $z_1$, এবং $z_2$ একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং মূলবিন্দুর একই দিকে থাকে ($\text{Arg}(z_1) = \text{Arg}(z_2)$)।
• সামান্তরিক সূত্র: $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$।

আর্গ্যান্ড তলে মূলবিন্দুর সাপেক্ষে বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $\vec{OP}$ ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের সাথে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে জটিল রাশির আর্গুমেন্ট বা অ্যামপ্লিটিউড বলা হয় ($\arg(z)$)। যেহেতু কোণের মান $2\pi$ ব্যবধানে পর্যায়বৃত্ত, তাই আর্গুমেন্টের অসংখ্য মান থাকতে পারে।

অনন্য মান নিশ্চিত করতে মুখ্য আর্গুমেন্ট $\text{Arg}(z) = \theta$-কে সর্বদা অর্ধ-মুক্ত অন্তরালে সীমাবদ্ধ রাখা হয়:

মুখ্য আর্গুমেন্ট নির্ণয়ের ৪-পাদীয় নিয়ম:

1. প্রথমে ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণীয় নির্দেশক কোণ নির্ণয় করুন: $\mathbf{\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|}$, যেখানে $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$।
2. $P(a, b)$ বিন্দুর পাদ (Quadrant) নির্ধারণ করে নিচের সারণী অনুযায়ী $\theta$ গণনা করুন:

• ধনাত্মক বাস্তব অক্ষ ($z = a > 0$): $\theta = 0$
• ঋণাত্মক বাস্তব অক্ষ ($z = -a < 0$): $\theta = \pi$
• ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষ ($z = ib, b > 0$): $\theta = \frac{\pi}{2}$
• ঋণাত্মক কাল্পনিক অক্ষ ($z = -ib, b > 0$): $\theta = -\frac{\pi}{2}$
• $z = 0$-এর জন্য মডিউলাস $|0| = 0$, কিন্তু আর্গুমেন্ট অসংজ্ঞাত।

কার্তেসীয় আকার $z = a + ib$ যোগ ও বিয়োগের ক্ষেত্রে সহজ হলেও, জটিল রাশির গুণ, ভাগ এবং উচ্চতর ঘাত নির্ণয়ের ক্ষেত্রে পোলার (ত্রিকোণমিতিক) আকার ও সূচকীয় আকার অত্যন্ত কার্যকরী।

ধরি $z = a + ib \neq 0$ জটিল রাশির মডিউলাস $r = |z|$ এবং মুখ্য আর্গুমেন্ট $\theta = \text{Arg}(z)$। সমকোণী ত্রিভুজের অভিক্ষেপ থেকে পাই:

এই মান দুটি $z = a + ib$-তে বসালে পোলার আকার পাওয়া যায়:

অয়লারের বিখ্যাত সূত্র অনুযায়ী, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$। সুতরাং যেকোনো জটিল রাশিকে সূচকীয় আকারে সংক্ষেপে লেখা যায়:

ধরি $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ এবং $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$:

1. জটিল গুণন: $$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$$ $$\mathbf{|z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = r_1 r_2} \quad \text{এবং} \quad \mathbf{\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)}$$ জ্যামিতিক তাৎপর্য: $z_1$-কে $z_2$ দ্বারা গুণ করলে মূলবিন্দু থেকে এর দূরত্ব $r_2$ গুণ বৃদ্ধি পায় এবং অবস্থান ভেক্টরটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে $\theta_2$ কোণে ঘুরে যায়।
2. জটিল ভাগ: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$$ $$\mathbf{\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{r_1}{r_2}} \quad \text{এবং} \quad \mathbf{\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)}$$

যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $n \in \mathbb{Z}$ এবং বাস্তব কোণ $\theta$-এর জন্য:

ফলস্বরূপ, $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ হলে:

জটিল রাশির বর্গমূল বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে নির্ণয় করা এবং $x^3 = 1$ সমীকরণের কাল্পনিক মূল হিসেবে এককের ঘনমূলের ধর্মাবলি উচ্চমাধ্যমিক একাদশ শ্রেণির পরীক্ষার অন্যতম প্রধান প্রশ্নক্ষেত্র।

ধরি $\sqrt{a + ib} = x + iy$, যেখানে $x, y \in \mathbb{R}$। উভয় পক্ষে বর্গ করে:

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই:

1. $x^2 - y^2 = a$
2. $2xy = b$

বীজগাণিতিক অভেদ $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = a^2 + b^2$ প্রয়োগ করে পাই:

সমীকরণ দুটি যোগ ও বিয়োগ করে $x$ ও $y$-এর মান পাওয়া যায়:

স্ট্যান্ডার্ড বর্গমূলসমূহ:

• $\sqrt{i} = \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$
• $\sqrt{-i} = \pm \frac{1 - i}{\sqrt{2}}$

সমীকরণ $x^3 = 1 \implies x^3 - 1 = 0$-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে:

এখান থেকে তিনটি মূল পাওয়া যায়:

1. বাস্তব মূল: $x = 1$
2. দ্বিঘাত অংশ $x^2 + x + 1 = 0$ থেকে কাল্পনিক মূলদ্বয়: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2} = \mathbf{\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}}$$

একটি কাল্পনিক মূলকে $\mathbf{\omega}$ (ওমেগা) দ্বারা চিহ্নিত করলে:

অর্থাৎ এককের প্রতিটি অবাস্তব ঘনমূল অপরটির বর্গের সমান!

মাধ্যমিক স্তরে দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ হলে বলা হতো সমীকরণটির "কোনো বাস্তব বীজ নেই"। একাদশ শ্রেণিতে জটিল সংখ্যা সেট $\mathbb{C}$-এর মাধ্যমে প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের ঠিক দুটি বীজ নিশ্চিতভাবে নির্ণয় করা যায়।

বাস্তব সহগ $a, b, c \in \mathbb{R}$ ($a \neq 0$)-এর জন্য শ্রীধর আচার্যের সূত্র অনুযায়ী:

নিরূপক $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ হলে ঋণাত্মক রাশি থেকে $-1$ আলাদা করে পাই:

সুতরাং জটিল বীজদ্বয় হবে:

বিশেষ সতর্কবার্তা: সমীকরণের সহগগুলি যদি বাস্তব না হয়ে জটিল হয় (যেমন $x^2 - ix + 2 = 0$), তবে এই নিয়ম প্রযোজ্য হবে না!

দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2 + bx + c = 0$-এর বীজদ্বয় $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ হলে:

• বীজদ্বয়ের সমষ্টি: $\mathbf{\alpha + \beta = -\frac{b}{a}}$
• বীজদ্বয়ের গুণফল: $\mathbf{\alpha \beta = \frac{c}{a}}$
• সমীকরণ গঠন: প্রদত্ত বীজদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ দ্বারা গঠিত দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো: $$\mathbf{x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \beta) = 0}$$