সেট তত্ত্ব

ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষভাগে ১৮৭৪ সালে জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (Georg Cantor) ত্রিকোণমিতিক শ্রেণির অভিসারিতা নিয়ে গবেষণাকালে সেট তত্ত্বের উদ্ভাবন করেন। সমকালীন গণিতবিদদের প্রবল বিরোধিতার সম্মুখীন হলেও পরবর্তীকালে এটি গণিতের সবচেয়ে শক্তিশালী ও সার্বজনীন ভাষায় রূপান্তরিত হয়।

বাস্তব বা চিন্তা জগতের সুনির্দিষ্ট ও পরস্পর পৃথক বস্তুর সংকলনকে সেট (Set) বলে। সংকলনভুক্ত বস্তুগুলিকে সেটের উপাদান বা পদ (Elements / Members) বলা হয়।

• বৈধ সেট: "ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের (vowels) সংকলন" — সুনির্দিষ্ট, কারণ {a, e, i, o, u} নিয়ে কোনো দ্বিমত নেই। "২০-এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলির সংকলন" — সুনির্দিষ্ট ({2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19})।
• অবৈধ সংকলন (সেট নয়): "ভারতের পাঁচজন সেরা বিজ্ঞানীর সংকলন" — সেট নয়, কারণ "সেরা" শব্দটি ব্যক্তিগত রুচি ও মতামতের উপর নির্ভরশীল, এর কোনো বস্তুনিষ্ঠ পরিমাপ নেই। "একাদশ শ্রেণির কঠিন গণিত অধ্যায়গুলির সংকলন" — সেট নয়।

সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর ($A, B, C, X, Y, Z$) দ্বারা এবং উপাদানগুলিকে ছোট হাতের অক্ষর ($a, b, c, x, y, z$) বা সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

• যদি $x$ কোনো সেট $A$-এর একটি উপাদান হয়, তবে লেখা হয় $x \in A$ (উচ্চারণ: "$x$ belongs to $A$" বা "$x$ হলো $A$ সেটের সদস্য")।
• যদি $x$ সেট $A$-এর উপাদান না হয়, তবে লেখা হয় $x \notin A$ (উচ্চারণ: "$x$ does not belong to $A$")।

উচ্চমাধ্যমিক গণিতে ব্যবহৃত সর্বজনীন সংখ্যা সেট:

• $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ : সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট (Natural Numbers)।
• $\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ : সকল অখণ্ড সংখ্যার সেট (Whole Numbers)।
• $\mathbb{Z}$ বা $\mathbb{I} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$ : সকল পূর্ণসংখ্যার সেট (Integers)।
• $\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0, \gcd(p, q) = 1\right\}$ : সকল মূলদ সংখ্যার সেট (Rational Numbers)।
• $\mathbb{R}$ : সকল বাস্তব সংখ্যার সেট (Real Numbers) (মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার সম্মিলিত রূপ)।
• $\mathbb{C} = \{a + ib : a, b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1}\}$ : সকল জটিল সংখ্যার সেট (Complex Numbers)।

সেটের বিভিন্ন শ্রেণি এবং তাদের উপসেট সম্পর্ক বিশ্লেষণ করা উচ্চমাধ্যমিক বীজগণিতের অন্যতম মৌলিক ভিত্তি।

• শূন্য সেট বা শূন্যগর্ভ সেট (Empty / Null / Void Set): যে সেটে কোনো উপাদান থাকে না তাকে শূন্য সেট বলে। একে ডেনিশ বর্ণ $\emptyset$ (ফাই) অথবা খালি বন্ধনী $\{\}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
  উপাদান সংখ্যা: $n(\emptyset) = 0$।
  উদাহরণ: $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 + 4 = 0 \text{ এবং } x \in \mathbb{R}\} = \emptyset$; $B = \{x \in \mathbb{N} : 2 < x < 3\} = \emptyset$।
  পরীক্ষকের ফাঁদ: $\{\emptyset\}$ শূন্য সেট নয়! এটি একটি একপদী সেট যার একমাত্র উপাদান হলো $\emptyset$। একইভাবে $\{0\}$ একটি একপদী সেট যার উপাদান সংখ্যা ১।
• একপদী সেট (Singleton Set / Unit Set): যে সেটে একটিমাত্র উপাদান থাকে তাকে একপদী সেট বলে। $n(A) = 1$।
  উদাহরণ: $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 = 25\} = \{5\}$। জোড় মৌলিক সংখ্যার সেট: $\{2\}$।
• সান্ত সেট (Finite Set) বনাম অনন্ত সেট (Infinite Set):
  যে সেটে নির্দিষ্ট সংখ্যক উপাদান থাকে (বা শূন্য সেট) তাকে সান্ত সেট বলে। এর স্বতন্ত্র উপাদানের সংখ্যাকে সেটের কার্ডিনাল সংখ্যা বা উপাদান সংখ্যা বলে, যাকে $n(A)$ বা $|A|$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
  যে সেটের উপাদান গণনা করে শেষ করা যায় না তাকে অনন্ত সেট বলে (যেমন: $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}$, বা কোনো সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুর সেট)।
• সমান সেট (Equal Sets, $A = B$): দুটি সেট $A$ ও $B$-কে সমান বলা হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের উপাদানগুলি হুবহু অভিন্ন হয়।
  প্রতীকী রূপ: $A = B \iff (\forall x, x \in A \iff x \in B)$। অর্থাৎ $A \subseteq B$ এবং $B \subseteq A$।
• সমতুল্য সেট (Equivalent Sets, $A \sim B$): দুটি সান্ত সেট $A$ ও $B$-এর উপাদান সংখ্যা সমান হলে অর্থাৎ $n(A) = n(B)$ হলে তাদের সমতুল্য সেট বলে। তাদের মধ্যে এক-এক সংগতি (Bijection) স্থাপন করা সম্ভব।
  মৌলিক সত্য: সকল সমান সেটই সমতুল্য, কিন্তু সমতুল্য সেট সমান নাও হতে পারে! (যেমন: $\{1, 2, 3\} \sim \{x, y, z\}$ কারণ উভয়ের উপাদান সংখ্যা ৩, কিন্তু তারা সমান নয়)।

যদি সেট $A$-এর প্রতিটি উপাদান সেট $B$-এরও উপাদান হয়, তবে $A$-কে $B$-এর উপসেট (Subset) বলা হয় এবং লেখা হয় $A \subseteq B$। তখন $B$-কে $A$-এর অধিসেট (Superset) ($B \supseteq A$) বলা হয়।

• প্রত্যেক সেট নিজেই নিজের উপসেট: যেকোনো সেট $A$-এর জন্য $A \subseteq A$ (স্বসম ধর্ম)।
• শূন্য সেট যেকোনো সেটের উপসেট: যেকোনো সেট $A$-এর জন্য $\emptyset \subseteq A$।
• যথার্থ উপসেট (Proper Subset, $A \subset B$): যদি $A \subseteq B$ হয় এবং $A \neq B$ হয়, তবে $A$-কে $B$-এর যথার্থ উপসেট বলে। অর্থাৎ $B$-তে অন্তত একটি উপাদান থাকবে যা $A$-তে নেই।
  উদাহরণ: $A = \{1, 2\}$ এবং $B = \{1, 2, 3\}$ হলে $A \subset B$।
• সংক্রমী ধর্ম (Transitive Property): যদি $A \subseteq B$ এবং $B \subseteq C$ হয়, তবে $A \subseteq C$।
• সেটের সমতার মাপকাঠি: $A = B \iff (A \subseteq B \text{ এবং } B \subseteq A)$। সেট তত্ত্বের যেকোনো সূত্রের তাত্ত্বিক প্রমাণে এই নীতিটি প্রয়োগ করা হয়!

বাস্তব সংখ্যা রেখা $\mathbb{R}$-এর কোনো অবিচ্ছিন্ন অংশকে রোস্টার পদ্ধতিতে প্রকাশ করা যায় না। তাই তাদের ব্যবধি (Interval) আকারে প্রকাশ করা হয়:

শক্তি সেট গণিতে বহুপদী ও দ্বিপদ উপপাদ্যের ভিত্তি তৈরি করে এবং ভেন চিত্র সেটের বিমূর্ত বীজগণিতকে দৃষ্টিগ্রাহ্য জ্যামিতিক নকশায় রূপান্তর করে।

কোনো প্রদত্ত সেট $A$-এর সমস্ত উপসেটকে উপাদান হিসেবে নিয়ে গঠিত সেটকে $A$-এর শক্তি সেট (Power Set) বলা হয়। একে $P(A)$ বা $\mathcal{P}(A)$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

লক্ষণীয় যে, শক্তি সেটের প্রতিটি উপাদান নিজেই একটি স্বতন্ত্র সেট! যেকোনো সেট $A$-এর জন্য:

• $\emptyset \in P(A)$ (যেহেতু $\emptyset \subseteq A$)
• $A \in P(A)$ (যেহেতু $A \subseteq A$)

যদি কোনো সান্ত সেটে $n$ সংখ্যক উপাদান থাকে (অর্থাৎ $n(A) = n$), তবে:

1. $A$ সেটের মোট উপসেটের সংখ্যা হলো $2^n$, অর্থাৎ $n(P(A)) = |P(A)| = 2^n$।
2. $A$ সেটের যথার্থ উপসেটের সংখ্যা হলো $2^n - 1$ (কারণ সেট $A$ স্বয়ং নিজের যথার্থ উপসেট নয়)।
3. $A$ সেটের অশূন্য উপসেটের সংখ্যা হলো $2^n - 1$ (শূন্য সেট $\emptyset$ বাদে)।
4. $A$ সেটের অশূন্য যথার্থ উপসেটের সংখ্যা হলো $2^n - 2$ ($\emptyset$ এবং $A$ উভয় বাদে)।

কোনো নির্দিষ্ট গাণিতিক আলোচনায় বা প্রেক্ষাপটে উপস্থিত সমস্ত সেট যদি একটি নির্দিষ্ট মূল সেটের উপসেট হয়, তবে সেই মূল সেটটিকে সার্বিক সেট (Universal Set) বলে। একে সাধারণত $U$ বা $\xi$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

• দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে সার্বিক সেট হলো কার্তেসীয় তল $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$।
• বাস্তব সংখ্যার তত্ত্বে সার্বিক সেট হলো বাস্তব সংখ্যা সেট $\mathbb{R}$।
• কোনো বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের সমীক্ষায় সার্বিক সেট হলো ওই বিদ্যালয়ের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা।

ইংরেজ যুক্তিবিদ জন ভেন (John Venn, ১৮৩৪–১৯২৩) সেটের সম্পর্ককে চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশের পদ্ধতি প্রবর্তন করেন:

• সার্বিক সেট $U$-কে একটি আয়তক্ষেত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
• সার্বিক সেটের উপসেটগুলিকে (যেমন $A, B, C$) আয়তক্ষেত্রের ভেতরের বৃত্ত বা উপবৃত্ত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
• উপসেট ($A \subseteq B$) বোঝাতে বৃত্ত $A$-কে বৃত্ত $B$-এর ভেতরে সম্পূর্ণভাবে আঁকা হয়।
• বিচ্ছিন্ন সেট ($A \cap B = \emptyset$) বোঝাতে বৃত্ত দুটিকে পরস্পর সম্পূর্ণ পৃথক করে আঁকা হয়।

সংখ্যার পাটিগণিতে যোগ ও গুণের মতো সেট তত্ত্বে সংযোগ, ছেদ, অন্তর, প্রতিসম অন্তর ও পূরক হলো মূল প্রক্রিয়া যার দ্বারা নতুন সেট তৈরি হয়।

দুটি সেট $A$ ও $B$-এর সংযোগ হলো সেই সমস্ত উপাদানের সেট যারা সেট $A$-তে অথবা সেট $B$-তে অথবা উভয় সেটে অবস্থিত।

উদাহরণ: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ এবং $B = \{3, 4, 5, 6\}$ হলে, $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।

দুটি সেট $A$ ও $B$-এর ছেদ হলো সেই সমস্ত সাধারণ উপাদানের সেট যারা একই সাথে $A$ এবং $B$ উভয় সেটেই উপস্থিত।

উদাহরণ: পূর্বোক্ত উদাহরণে $A \cap B = \{3, 4\}$।

• বিচ্ছিন্ন সেট (Disjoint Sets): যদি দুটি সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে, অর্থাৎ তাদের ছেদ যদি শূন্য সেট হয়, তবে সেট দুটিকে পরস্পর বিচ্ছিন্ন সেট বলে। গাণিতিক শর্ত: $A \cap B = \emptyset$।

$A$ সেট থেকে $B$ সেটের অন্তর বলতে সেই উপাদানগুলির সেটকে বোঝায় যা $A$-তে আছে কিন্তু $B$-তে নেই।

গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য: সেটের অন্তর সাধারণত বিনিময়যোগ্য নয়, অর্থাৎ $A - B \neq B - A$ (যদি না $A = B$ হয়)।

উদাহরণ: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ এবং $B = \{3, 4, 5, 6\}$ হলে:
$A - B = \{1, 2\}$
$B - A = \{5, 6\}$
লক্ষণীয় যে $(A - B)$, $(A \cap B)$ এবং $(B - A)$ তিনটি পরস্পর সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন সেট এবং তাদের সংযোগ হলো $A \cup B$!

দুটি সেট $A$ ও $B$-এর প্রতিসম অন্তর হলো সেই সমস্ত উপাদান যা হয় $A$-তে আছে অথবা $B$-তে আছে, কিন্তু উভয়ের সাধারণ ছেদে নেই।

উদাহরণ: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ এবং $B = \{3, 4, 5, 6\}$ হলে $A \Delta B = \{1, 2\} \cup \{5, 6\} = \{1, 2, 5, 6\}$।
ধর্ম: $A \Delta B = B \Delta A$ (বিনিময়যোগ্য); $A \Delta A = \emptyset$; $A \Delta \emptyset = A$।

সার্বিক সেট $U$-এর সাপেক্ষে কোনো উপসেট $A$-এর পূরক সেট হলো সার্বিক সেটের সেই সমস্ত উপাদান যা $A$-এর অন্তর্ভুক্ত নয়।

পূরক সেটের মৌলিক বৈশিষ্ট্যসমূহ:

1. $A \cup A' = U$ (সংযোগ পূরক সূত্র)
2. $A \cap A' = \emptyset$ (ছেদ পূরক সূত্র)
3. $(A')' = A$ (দ্বৈত পূরক সূত্র / Law of Involution)
4. $U' = \emptyset$ এবং $\emptyset' = U$ (সার্বিক ও শূন্য সেটের পূরক)

সেটের বীজগণিত হলো এমন একটি স্বতঃসিদ্ধভিত্তিক ব্যবস্থা যা বুলিয়ান অ্যালজেব্রা এবং গাণিতিক যুক্তিশাস্ত্রের ভিত্তি গঠন করে।

ব্রিটিশ গণিতবিদ অগাস্টাস দ্য মরগ্যান (১৮০৬–১৮৭১) সেটের সংযোগ ও ছেদের সাথে পূরকের ক্রিয়া সংক্রান্ত দুটি যুগান্তকারী সূত্র প্রদান করেন:

দুটি সেট $X$ ও $Y$ পরস্পর সমান প্রমাণ করতে হলে প্রমাণ করতে হবে $X \subseteq Y$ এবং $Y \subseteq X$।

ধাপ ১: প্রমাণ করা যে $(A \cup B)' \subseteq A' \cap B'$

1. ধরি, $x \in (A \cup B)'$ একটি যেকোনো উপাদান।
2. $\implies x \notin (A \cup B)$ [পূরক সেটের সংজ্ঞানুযায়ী]
3. $\implies x \in A$ অথবা $x \in B$ বক্তব্যটি মিথ্যা
4. $\implies x \notin A$ এবং $x \notin B$ [যুক্তিশাস্ত্রের বিযোজনের অসত্যতা]
5. $\implies x \in A'$ এবং $x \in B'$ [পূরক সেটের সংজ্ঞানুযায়ী]
6. $\implies x \in (A' \cap B')$ [ছেদের সংজ্ঞানুযায়ী]
7. যেহেতু $(A \cup B)'$-এর প্রতিটি উপাদান $A' \cap B'$-এ উপস্থিত, সুতরাং:
   $(A \cup B)' \subseteq A' \cap B'$ ... (১নং সমীকরণ)

ধাপ ২: প্রমাণ করা যে $A' \cap B' \subseteq (A \cup B)'$

1. ধরি, $y \in A' \cap B'$ একটি যেকোনো উপাদান।
2. $\implies y \in A'$ এবং $y \in B'$
3. $\implies y \notin A$ এবং $y \notin B$
4. $\implies y \notin (A \cup B)$ [কারণ $y \in A \cup B$ হলে $y$-কে অন্তত একটিতে থাকতে হতো, যা ধাপ ৩-এর পরিপন্থী]
5. $\implies y \in (A \cup B)'$ [পূরক সেটের সংজ্ঞানুযায়ী]
6. যেহেতু $A' \cap B'$-এর প্রতিটি উপাদান $(A \cup B)'$-এ উপস্থিত, সুতরাং:
   $A' \cap B' \subseteq (A \cup B)'$ ... (২নং সমীকরণ)

(১) ও (২) নং সমীকরণ থেকে সেটের সমতার সংজ্ঞানুযায়ী প্রমাণিত হলো: $(A \cup B)' = A' \cap B'$। $\quad \blacksquare$

উপাদান সংখ্যা তত্ত্ব বিভিন্ন সেটের উপাদানের পুনরাবৃত্তি পরিহার করে সঠিক সংখ্যা গণনা করতে সহায়তা করে।

ধরি $A$ ও $B$ দুটি সান্ত সেট। এদের সংযোগ $A \cup B$-কে তিনটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন সেটে বিভক্ত করা যায়: $(A - B)$, $(A \cap B)$ এবং $(B - A)$।

অতএব: $n(A \cup B) = n(A - B) + n(A \cap B) + n(B - A)$।

যেহেতু $n(A) = n(A - B) + n(A \cap B) \implies n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)$, এবং অনুরূপভাবে $n(B - A) = n(B) - n(A \cap B)$, মান বসিয়ে পাই:

গুরুত্বপূর্ণ অনুসিদ্ধান্তসমূহ:

• যদি সেট দুটি বিচ্ছিন্ন হয় ($A \cap B = \emptyset$), তবে $n(A \cap B) = 0 \implies \mathbf{n(A \cup B) = n(A) + n(B)}$।
• কেবলমাত্র একটি সেটের অন্তর্ভুক্ত উপাদান সংখ্যা (প্রতিসম অন্তর): $$n(A \Delta B) = n(A - B) + n(B - A) = n(A) + n(B) - 2n(A \cap B) = n(A \cup B) - n(A \cap B)$$
• $A$ ও $B$-এর কোনোটির অন্তর্ভুক্ত নয় এমন উপাদান সংখ্যা: $$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(U) - n(A \cup B)$$

যেকোনো তিনটি সান্ত সেট $A, B$ এবং $C$-এর জন্য:

কেন শেষে $n(A \cap B \cap C)$ যোগ করা হয়? পৃথক সেটগুলির যোগফলে কেন্দ্রীয় ছেদটি ৩ বার যোগ হয়। এরপর দুটি করে সেটের ছেদ বিয়োগের সময় এটি ৩ বার বিয়োগ হয়ে যায় (ফলে মোট গণনা শূন্য হয়ে যায়)। তাই সংযোগে একে ঠিক ১ বার রাখতে শেষে $+n(A \cap B \cap C)$ যোগ করা বাধ্যতামূলক!

• ঠিক দুটি সেটের অন্তর্ভুক্ত উপাদান সংখ্যা: $$n(\text{ঠিক দুটি}) = [n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] - 3n(A \cap B \cap C)$$
• কমপক্ষে দুটি সেটের অন্তর্ভুক্ত উপাদান সংখ্যা: $$n(\text{কমপক্ষে দুটি}) = [n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] - 2n(A \cap B \cap C)$$
• ঠিক একটিমাত্র সেটের অন্তর্ভুক্ত উপাদান সংখ্যা: $$n(\text{ঠিক একটি}) = n(A) + n(B) + n(C) - 2[n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] + 3n(A \cap B \cap C)$$

দুটি অশূন্য সেট $A$ ও $B$-এর কার্তেসীয় গুণফল (Cartesian Product) হলো সেই সমস্ত ক্রমিযুগল $(a, b)$-এর সেট যেখানে $a \in A$ এবং $b \in B$:

• ক্রমিযুগল (Ordered Pair): $(a, b) = (c, d) \iff a = c$ এবং $b = d$। সুতরাং $(1, 2) \neq (2, 1)$।
• অ-বিনিময়যোগ্য: সাধারণভাবে $A \times B \neq B \times A$।
• উপাদান সংখ্যা উপপাদ্য: যদি $n(A) = p$ এবং $n(B) = q$ হয়, তবে $n(A \times B) = p \times q$।
• $A$ সেট থেকে $B$ সেটে মোট সম্ভাব্য সম্বন্ধের (Relation) সংখ্যা হলো $A \times B$-এর মোট উপসেট সংখ্যা, অর্থাৎ $2^{pq}$। (এটি পরবর্তী অধ্যায় 'সম্বন্ধ ও চিত্রণ'-এর মূল সেতুবন্ধন)।