সম্বন্ধ ও চিত্রণ (অপেক্ষক)

সেট তত্ত্ব থেকে অপেক্ষক ও বিশ্লেষণী জ্যামিতির সংযোগস্থলে অবস্থিত সবচেয়ে প্রাথমিক ভিত্তি হলো ক্রমিযুগল এবং কার্তেসীয় গুণফল, যা ফরাসি গণিতবিদ ও দার্শনিক রেনে দেকার্তে (René Descartes)-এর নামানুসারে নামাঙ্কিত।

দুটি উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজিয়ে বন্ধনীর মধ্যে প্রকাশ করলে তাকে ক্রমিযুগল (Ordered Pair) বলে, যথা: $(a, b)$। এখানে $a$-কে বলা হয় প্রথম পদ বা ভুজ (Abscissa) এবং $b$-কে বলা হয় দ্বিতীয় পদ বা কোটি (Ordinate)।

সেটের সাথে মূল পার্থক্য: সেটের ক্ষেত্রে উপাদানের ক্রম বিবেচ্য নয়: $\{1, 2\} = \{2, 1\}$। কিন্তু ক্রমিযুগলে ক্রম অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: $(1, 2) \neq (2, 1)$ (যদি না উপাদান দুটি অভিন্ন হয়)।

দুটি অশূন্য সেট $A$ ও $B$-এর কার্তেসীয় গুণফল $A \times B$ (পড়া হয়: "$A$ cross $B$") হলো সেই সমস্ত ক্রমিযুগল $(a, b)$-এর সেট যেখানে প্রথম উপাদানটি $A$ থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদানটি $B$ থেকে গৃহীত হয়।

• যদি $A = \emptyset$ অথবা $B = \emptyset$ হয়, তবে সংজ্ঞানুযায়ী $A \times B = \emptyset$।
• অ-বিনিময়যোগ্যতা: সাধারণভাবে $A \times B \neq B \times A$। তারা সমান হবে কেবল যদি $A = B$ হয়।

যদি $A$ ও $B$ সান্ত সেট হয় এবং $n(A) = p$ ও $n(B) = q$ হয়, তবে:

প্রমাণ রূপরেখা: $A$ সেটের $p$ সংখ্যক উপাদানের প্রত্যেকের জন্য $B$ সেটের $q$ সংখ্যক উপাদানের সঙ্গে জোড়া তৈরি করা যায়। গণনার মূল গুণন নীতি অনুসারে মোট ক্রমিযুগল সংখ্যা হবে $p \times q$।

1. সংযোগের উপর বন্টন: $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
2. ছেদের উপর বন্টন: $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
3. অন্তরের উপর বন্টন: $A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)$
4. সাধারণ উপাদান সংক্রান্ত উপপাদ্য (উচ্চমাধ্যমিক পরীক্ষার অত্যন্ত প্রিয় প্রশ্ন): যদি $A$ ও $B$ সেটের মধ্যে $k$ সংখ্যক উপাদান সাধারণ থাকে (অর্থাৎ $n(A \cap B) = k$), তবে $A \times B$ এবং $B \times A$-এর মধ্যে ঠিক $k^2$ সংখ্যক উপাদান সাধারণ থাকবে: $$(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) \implies n((A \times B) \cap (B \times A)) = k^2$$

• $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{R}\}$ হলো সমগ্র অবিচ্ছিন্ন দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক তল।
• $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^3 = \{(x, y, z) : x, y, z \in \mathbb{R}\}$ হলো ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় দেশ বা শূন্যস্থান (3D Space)।

দৈনন্দিন জীবনে "পিতা-পুত্র", "বৃহত্তর বা ক্ষুদ্রতর" যেমন দুটি বস্তুর মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করে, গণিতে তাকে কার্তেসীয় গুণফলের উপসেটের মাধ্যমে সুনির্দিষ্ট রূপ দেওয়া হয়।

একটি অশূন্য সেট $A$ থেকে অপর একটি অশূন্য সেট $B$-তে একটি সম্বন্ধ $R$ (Relation) হলো কার্তেসীয় গুণফল $A \times B$-এর যেকোনো একটি উপসেট।

যদি সম্বন্ধটি একই সেট $A$ থেকে $A$-এর মধ্যে হয় ($R \subseteq A \times A$), তবে তাকে $A$ সেটের উপর একটি সম্বন্ধ বলা হয়।

ধরি $A$ ও $B$ দুটি সান্ত সেট যেখানে $n(A) = p$ এবং $n(B) = q$।

• কার্তেসীয় গুণফল $A \times B$-এর মোট উপাদান সংখ্যা হলো $p \cdot q$।
• যেহেতু $A \times B$-এর যেকোনো উপসেটই একটি সম্বন্ধ, সুতরাং $A$ থেকে $B$-তে মোট সম্ভাব্য সম্বন্ধের সংখ্যা হবে $A \times B$-এর মোট উপসেট সংখ্যার সমান: $$\mathbf{\text{মোট সম্বন্ধের সংখ্যা} = 2^{n(A \times B)} = 2^{p \cdot q}}$$
• মোট অশূন্য সম্বন্ধের সংখ্যা হলো $2^{pq} - 1$।

যদি $R$ সেট $A$ থেকে $B$-তে একটি সম্বন্ধ হয়, তবে $B$ থেকে $A$-তে বিপরীত সম্বন্ধ $R^{-1}$ সংজ্ঞায়িত হয় ক্রমিযুগলগুলির পদের স্থান বিনিময়ের মাধ্যমে:

• শূন্য সম্বন্ধ (Void / Empty Relation): শূন্য সেট $\emptyset \subseteq A \times A$ হলো $A$-এর উপর শূন্য সম্বন্ধ। এতে কোনো উপাদান কারো সাথে সম্পর্কিত নয়।
• সার্বিক সম্বন্ধ (Universal Relation): সমগ্র $A \times A \subseteq A \times A$ হলো $A$-এর উপর সার্বিক সম্বন্ধ। প্রতিটি উপাদান প্রত্যেকের সাথে যুক্ত।
• একক বা অভেদ সম্বন্ধ (Identity Relation, $I_A$): $I_A = \{(a, a) : a \in A\}$। প্রতিটি উপাদান কেবল নিজের সাথেই এবং অন্য কারো সাথে সম্পর্কিত নয়।

চিত্রণ বা অপেক্ষক (Function) হলো এমন একটি সুনির্দিষ্ট নিয়ম যা প্রতিটি প্রদত্ত ইনপুটের জন্য একটিমাত্র সুনির্দিষ্ট আউটপুট প্রদান করে।

ধরি $A$ ও $B$ দুটি অশূন্য সেট। $A$ সেট থেকে $B$ সেটে একটি সম্বন্ধ $f$-কে চিত্রণ বা অপেক্ষক (Function / Mapping) বলা হবে (চিহ্ন: $f: A \to B$) যদি তা নিম্নলিখিত দুটি মৌলিক শর্ত পূরণ করে:

যদি $(x, y) \in f$ হয়, তবে আমরা লিখি $y = f(x)$, যেখানে $y$-কে $x$-এর প্রতিবিম্ব (Image) এবং $x$-কে $y$-এর প্রাক-প্রতিবিম্ব (Pre-image) বলা হয়।

• এক-এক চিত্রণ (One-to-One): পৃথক ইনপুটের জন্য পৃথক আউটপুট। (বৈধ অপেক্ষক ✓)
• বহু-এক চিত্রণ (Many-to-One): একাধিক ভিন্ন ইনপুট একই আউটপুটে যুক্ত হতে পারে। (যেমন $f(x) = x^2$ যেখানে $f(-2) = 4$ এবং $f(2) = 4$)। এটি একটি সম্পূর্ণ বৈধ অপেক্ষক ✓!
• এক-বহু সম্বন্ধ (চিত্রণের জন্য সম্পূর্ণ নিষিদ্ধ): একটিমাত্র ইনপুটের দুটি ভিন্ন প্রতিবিম্ব থাকা চলবে না (যেমন $1 \to a$ এবং $1 \to b$ যেখানে $a \neq b$)। এটি শর্ত ২ লঙ্ঘন করে ✗!
• প্রতিবিম্বহীন উপাদান (সম্পূর্ণ নিষিদ্ধ): ডোমেন $A$-এর কোনো উপাদান যদি প্রতিবিম্বহীন থেকে যায়, তবে তা অপেক্ষক হবে না (শর্ত ১ লঙ্ঘন ✗)।

ধরি $A$ ও $B$ দুটি সান্ত সেট যেখানে $n(A) = p$ এবং $n(B) = q$।

ব্যাখ্যা: $A$-এর প্রথম উপাদানের প্রতিবিম্ব হওয়ার জন্য $B$-তে $q$ সংখ্যক পছন্দ রয়েছে। দ্বিতীয় উপাদানের জন্যও $q$ সংখ্যক পছন্দ রয়েছে। এইভাবে $p$ সংখ্যক উপাদানের প্রত্যেকের জন্য $q$ টি করে স্বাধীন সম্ভাবনা থাকায় মোট চিত্রণ সংখ্যা $= q \times q \times \dots \times q \text{ ($p$ বার)} = q^p$।

দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক সমতলে কোনো বক্ররেখা একটি বাস্তব অপেক্ষক $y = f(x)$ নির্দেশ করে কি না তা জ্যামিতিকভাবে যাচাই করার নীতি:

• অধিবৃত্ত $y = x^2$: যেকোনো উল্লম্ব রেখা লেখকে কেবল একটি বিন্দুতে ছেদ করে $\implies$ বৈধ অপেক্ষক ✓।
• বৃত্ত $x^2 + y^2 = r^2$: উল্লম্ব রেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে $\implies$ অপেক্ষক নয় ✗।
• অনুভূমিক অধিবৃত্ত $y^2 = 4ax$: $x > 0$-এর জন্য উল্লম্ব রেখা দুটি বিন্দুতে ($y = \pm 2\sqrt{ax}$) ছেদ করে $\implies$ অপেক্ষক নয় ✗।

যেসব অপেক্ষকের সংজ্ঞার অঞ্চল ও সহ-অঞ্চল বাস্তব সংখ্যা সেট $\mathbb{R}$ বা তার উপসেট, তাদের বাস্তব অপেক্ষক (Real-Valued Functions) বলা হয়। নিম্নে প্রধান আদর্শ অপেক্ষকসমূহ বিস্তারিতভাবে দেওয়া হলো:

বাস্তব সংখ্যার বীজগণিতের মতো বাস্তব অপেক্ষকগুলির মধ্যেও যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ সংজ্ঞায়িত করা যায়, তবে তা কেবল তাদের সাধারণ ডোমেনের মধ্যেই প্রযোজ্য।

ধরি $f: D_1 \to \mathbb{R}$ এবং $g: D_2 \to \mathbb{R}$ দুটি বাস্তব অপেক্ষক যাদের ডোমেন যথাক্রমে $D_1$ ও $D_2$।

উচ্চমাধ্যমিক ও প্রবেশিকা পরীক্ষায় যেকোনো বাস্তব অপেক্ষকের ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় সংক্রান্ত সমস্যা সবচেয়ে বেশি নম্বর বহন করে।

কোনো বাস্তব অপেক্ষক $f(x)$-এর সংজ্ঞার অঞ্চল বা ডোমেন হলো $x$-এর সেই সমস্ত বাস্তব মানের সেট যার জন্য $f(x)$ একটি বাস্তব ও সসীম মান প্রদান করে।

1. লবে বর্গমূল থাকলে: $f(x) = \sqrt{P(x)}$ হলে শর্ত হবে: $$P(x) \ge 0$$
2. হরে সাধারণ রাশি থাকলে: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ হলে শর্ত হবে: $$Q(x) \neq 0$$
3. হরে বর্গমূল থাকলে: $f(x) = \frac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}$ হলে শর্ত হবে: $$Q(x) > 0 \quad (\text{কখনোই শূন্য বা ঋণাত্মক নয়})$$

$y = f(x)$-এর পাল্লা বা প্রসার নির্ণয়ের নির্ভরযোগ্য ধাপসমূহ:

1. সমীকরণটিকে $y = f(x)$ আকারে লিখুন।
2. বীজগণিতীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে $x$-কে $y$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করুন: $x = \phi(y)$।
3. $y$-এর যেসব বাস্তব মানের জন্য $x$ বাস্তব হবে এবং ডোমেনের অন্তর্ভুক্ত হবে, সেই মানগুলিকে চিহ্নিত করুন।
4. মূল অপেক্ষকের কোনো বাস্তব সীমাবদ্ধতা (যেমন বর্গমূলের মান সর্বদা $\ge 0$) থাকলে তার সাথে ছেদ নির্ণয় করে রেঞ্জ নির্ধারণ করুন।