অনুক্রম ও শ্রেণি

অনুক্রম, শ্রেণি ও প্রগতির সঠিক গাণিতিক সংজ্ঞা এবং তাদের পারস্পরিক সূক্ষ্ম পার্থক্য অনুধাবন করাই বীজগণিতের এই অধ্যায়ের ভিত্তি।

বাস্তব সংখ্যার একটি সুশৃঙ্খল বিন্যাস যা একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে বিন্যস্ত থাকে, তাকে অনুক্রম বলা হয়।

• সসীম অনুক্রম (Finite Sequence): যে অনুক্রমের পদের সংখ্যা নির্দিষ্ট, যেমন: $\langle a_n \rangle_{n=1}^m = \{a_1, a_2, \dots, a_m\}$।
• অসীম অনুক্রম (Infinite Sequence): যে অনুক্রমের পদের সংখ্যা অসীম, যেমন: $\langle a_n \rangle_{n=1}^\infty = \{a_1, a_2, a_3, \dots\}$।

যদি $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ একটি অনুক্রম হয়, তবে এর পদগুলিকে ধনাত্মক যোগ চিহ্নের মাধ্যমে সংযুক্ত করে যে রাশি পাওয়া যায় তাকে শ্রেণি বলা হয়:

শ্রেণির প্রথম $n$ সংখ্যক পদের যোগফলকে $n$-তম আংশিক সমষ্টি ($n$-th Partial Sum) বলা হয়:

যে অনুক্রমের পরবর্তী পদগুলি তাদের পূর্ববর্তী পদগুলির সম্পর্কের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত হয়, তাকে পুনরাবৃত্তিক অনুক্রম (Recursive Sequence) বলে।

সমান্তর প্রগতি হলো এমন একটি অনুক্রম যার যেকোনো পদ এবং তার পূর্ববর্তী পদের পার্থক্য সর্বদা একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক থাকে।

একটি অনুক্রম $a_1, a_2, a_3, \dots$-কে সমান্তর প্রগতি (Arithmetic Progression বা A.P.) বলা হবে যদি এবং কেবল যদি:

গাউসের বিপরীত সজ্জা পদ্ধতির সাহায্যে সমান্তর প্রগতির প্রথম $n$ পদের সমষ্টি নির্ণয় করা হয়:

বিপরীত ক্রমে লিখে অনুরূপ পদ যোগ করলে পাই:

• একক সমান্তরীয় মধ্যক: যদি $a, A, b$ সমান্তর প্রগতিতে থাকে, তবে $A - a = b - A \implies \mathbf{A = \frac{a + b}{2}}$।
• $a$ ও $b$-এর মধ্যে $n$-টি সমান্তরীয় মধ্যক ($A_1, A_2, \dots, A_n$) অন্তর্ভুক্তি:

  সৃষ্ট অনুক্রম $a, A_1, A_2, \dots, A_n, b$ মোট $(n + 2)$ পদের একটি A.P. গঠন করে। শেষ পদ $b = a + (n + 2 - 1)d = a + (n + 1)d$।

  $$\mathbf{d = \frac{b - a}{n + 1}}, \quad A_k = a + k d = a + k \left( \frac{b - a}{n + 1} \right)$$ অন্তর্ভুক্ত $n$-টি সমান্তরীয় মধ্যকের সমষ্টি: $$\sum_{k=1}^n A_k = \frac{n}{2}(A_1 + A_n) = \frac{n}{2}(a + b) = \mathbf{n \cdot A}$$

গুণোত্তর প্রগতি হলো এমন একটি অনুক্রম যার যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল সর্বদা একটি অশূন্য ধ্রুবক থাকে।

একটি অনুক্রম $a_1, a_2, a_3, \dots$-কে গুণোত্তর প্রগতি (Geometric Progression বা G.P.) বলা হবে যদি এবং কেবল যদি:

প্রথম সমীকরণ থেকে দ্বিতীয় সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:

যদি $r = 1$ হয়, তবে $S_n = a + a + \dots + a = \mathbf{n a}$।

যদি সাধারণ অনুপাতের পরম মান ১ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয় ($|r| < 1$), তবে $n \to \infty$ হলে $r^n \to 0$ হয়:

পৌনঃপুনিক দশমিকে প্রয়োগ:

এখানে $a = \frac{37}{100}$ এবং $r = \frac{1}{100} < 1$:

• একক গুণোত্তরীয় মধ্যক: যদি দুটি ধনাত্মক সংখ্যা $a$ ও $b$-এর মাঝে $G$ এমন হয় যেন $a, G, b$ গুণোত্তর প্রগতিতে থাকে, তবে $\frac{G}{a} = \frac{b}{G} \implies \mathbf{G = \sqrt{ab}}$।
• $a$ ও $b$-এর মধ্যে $n$-টি গুণোত্তরীয় মধ্যক ($G_1, G_2, \dots, G_n$) অন্তর্ভুক্তি:

  সৃষ্ট অনুক্রম $a, G_1, G_2, \dots, G_n, b$ মোট $(n + 2)$ পদের একটি G.P. গঠন করে, যেখানে $b = a r^{n+1}$:

  $$\mathbf{r = \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{n+1}}}, \quad G_k = a r^k = a \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{k}{n+1}}$$ অন্তর্ভুক্ত $n$-টি গুণোত্তরীয় মধ্যকের গুণফল: $$\prod_{k=1}^n G_k = G_1 \cdot G_2 \dots G_n = (\sqrt{ab})^n = \mathbf{G^n}$$

সমান্তরীয় মধ্যক ও গুণোত্তরীয় মধ্যকের মধ্যে সম্পর্ক $A \ge G$ উচ্চতর বীজগণিত ও চরম মান নির্ণয়ের অন্যতম সেরা মৌলিক উপপাদ্য।

বীজগাণিতিক প্রমাণ:

যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক, তাই $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$, যা প্রমাণ করে:

সমতা সত্য হবে যদি এবং কেবল যদি $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0 \iff \sqrt{a} = \sqrt{b} \iff a = b$ হয়।

$AB = a + b$ ব্যাস বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করি। এই অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ হলো:

ব্যাসটিকে $D$ বিন্দুতে এমনভাবে বিভক্ত করি যেন $AD = a$ এবং $DB = b$ হয়। $D$ বিন্দু থেকে অর্ধবৃত্তের পরিধির উপর লম্ব $DP$ টানলে সমকোণী ত্রিভুজের জ্যামিতিক উপপাদ্য অনুসারে লম্বটির দৈর্ঘ্য হয়:

যেহেতু বৃত্তের পরিধির যেকোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব কখনোই বৃত্তের ব্যাসার্ধ অপেক্ষা বড় হতে পারে না (উচ্চতা $\le$ ব্যাসার্ধ), তাই জ্যামিতিকভাবে প্রমাণিত হয় $\mathbf{A \ge G}$। সমতা কেবল তখনই ঘটে যখন $D$ বিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে মিলে যায় ($a = b$)।

দুটি ধনাত্মক সংখ্যা $a$ ও $b$-এর সমান্তরীয় মধ্যক $A$ এবং গুণোত্তরীয় মধ্যক $G$ দেওয়া থাকলে:

অতএব সংখ্যা দুটি যে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল, সেটি হলো:

শ্রীধর আচার্যের সূত্রের সাহায্যে সমাধান করলে পাই:

বাস্তব ক্ষেত্রে বহু সমস্যায় যোগাত্মক ও গুণাত্মক বৃদ্ধির যুগপৎ সংমিশ্রণ ঘটে, যা সমান্তরীয়-গুণোত্তরীয় শ্রেণির জন্ম দেয়।

একটি A.G.P. হলো এমন একটি শ্রেণি যার প্রতিটি পদ একটি সমান্তর প্রগতি ও একটি গুণোত্তর প্রগতির অনুরূপ পদদ্বয়ের গুণফল:

প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n$ নির্ণয় করতে:

বিয়োগ করলে $n - 1$ পদের একটি আদর্শ গুণোত্তর শ্রেণি পাওয়া যায়:

যখন $|r| < 1$ হয়, তখন $n \to \infty$ হলে $r^n \to 0$ এবং $n r^n \to 0$ হয়:

বিপরীত প্রগতি তিনটি চিরায়ত প্রগতির ত্রয়ী পূর্ণ করে এবং কেন্দ্রীয় মধ্যকত্রয়ের সার্বিক সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করে।

অশূন্য বাস্তব সংখ্যার একটি অনুক্রম $a_1, a_2, a_3, \dots$-কে বিপরীত প্রগতি (H.P.) বলা হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের অনোন্যকগুলি একটি সমান্তর প্রগতি (A.P.) গঠন করে:

অনুরূপ A.P.-এর প্রথম পদ $1/a$ এবং সাধারণ অন্তর $d$ হলে, বিপরীত প্রগতির $n$-তম পদ হলো:

বিশেষ দ্রষ্টব্য: H.P.-এর প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টির কোনো সাধারণ বীজগাণিতিক সূত্র নেই। H.P.-এর সমস্যা সমাধানে পদগুলিকে সর্বদা অনোন্যক করে A.P.-তে রূপান্তরিত করতে হয়।

যদি $a, H, b$ বিপরীত প্রগতিতে থাকে, তবে $\frac{1}{a}, \frac{1}{H}, \frac{1}{b}$ সমান্তর প্রগতিতে থাকবে:

যেকোনো দুটি ধনাত্মক সংখ্যা $a$ ও $b$-এর সমান্তরীয় মধ্যক $A$, গুণোত্তরীয় মধ্যক $G$ এবং বিপরীত মধ্যক $H$-এর জন্য:

যেহেতু $A \ge G$ এবং $G^2 = A H \implies \frac{G}{H} = \frac{A}{G} \ge 1 \implies G \ge H$: