রৈখিক অসমীকরণ

দুটি বাস্তব সংখ্যা বা দুটি বীজগণিতীয় রাশির মধ্যে $<$, $>$, $\le$, অথবা $\ge$ চিহ্ন দ্বারা গঠিত সম্পর্ককে অসমীকরণ (Inequality) বলা হয়। যেখানে সমীকরণ কেবল একটি নির্দিষ্ট ভারসাম্য বোঝায়, সেখানে অসমীকরণ সীমানা, সহনশীলতা ও মাত্রাগত ব্যাপ্তি প্রকাশ করে।

• কঠোর বা যথার্থ অসমীকরণ (Strict Inequalities): যে অসমীকরণে কেবল ক্ষুদ্রতর ($<$) বা বৃহত্তর ($>$) চিহ্ন থাকে, যেমন $ax + b < 0$ বা $ax + b > 0$। এখানে প্রান্তিক সীমারেখার মান সমাধান সেটের বাইরে থাকে।
• শিথিল অসমীকরণ (Slack / Non-Strict Inequalities): যে অসমীকরণে $\le$ বা $\ge$ চিহ্ন থাকে, যেমন $ax + b \le 0$ বা $ax + b \ge 0$। এখানে প্রান্তিক সীমারেখার মান সমাধান সেটের অন্তর্ভুক্ত হয়।
• এক চলকবিশিষ্ট রৈখিক অসমীকরণ: যে অসমীকরণকে $ax + b < 0$, $ax + b \le 0$, $ax + b > 0$, বা $ax + b \ge 0$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $a \neq 0$ এবং $a, b \in \mathbb{R}$।
• যৌগিক বা দ্বৈত অসমীকরণ: যেখানে দুটি অসমতার চিহ্ন দ্বারা একটি রাশি দুটি নির্দিষ্ট সীমার মাঝে আবদ্ধ থাকে, যেমন $a < f(x) \le b$।

1. অনন্যকের নিয়ম: যদি $a$ ও $b$ একই চিহ্নযুক্ত হয় এবং $a < b$ হয়, তবে $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ (যেমন $2 < 5 \implies \frac{1}{2} > \frac{1}{5}$; এবং $-5 < -2 \implies -\frac{1}{5} > -\frac{1}{2}$)।
2. বজ্রগুণন সতর্কতা: $\frac{x-1}{x-2} > 0$ অসমীকরণে সরাসরি $(x - 2)$ দিয়ে কোণাকুণি গুণ করা যায় না, কারণ $(x - 2)$-এর চিহ্ন ধনাত্মক না ঋণাত্মক তা অজ্ঞাত। $x < 2$ হলে চিহ্ন উল্টে যাবে। সর্বদা ধনাত্মক রাশি $[(x-2)^2 > 0]$ দ্বারা গুণ করতে হয় অথবা তরঙ্গরেখা পদ্ধতি প্রয়োগ করতে হয়।

চলকের যে মানগুলি প্রদত্ত অসমীকরণকে একটি সত্য গাণিতিক বিবৃতিতে পরিণত করে, তাদের সমাধান বলা হয়। এই সকল সমাধানের সমষ্টিকে সমাধান সেট বলে, যা প্রদত্ত প্রতিস্থাপন সেট (Replacement Set)-এর ওপর নির্ভর করে।

ধরা যাক অসমীকরণটি হলো $4x - 2 < 14 \implies 4x < 16 \implies x < 4$:

• প্রতিস্থাপন সেট $\mathbb{N}$ (স্বাভাবিক সংখ্যা $\{1, 2, 3, \dots\}$) হলে: সমাধান সেট হবে সসীম: $\{1, 2, 3\}$।
• প্রতিস্থাপন সেট $\mathbb{Z}$ (অখণ্ড সংখ্যা $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$) হলে: সমাধান সেট হবে অসীম বিচ্ছিন্ন: $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$।
• প্রতিস্থাপন সেট $\mathbb{R}$ (বাস্তব সংখ্যা) হলে: সমাধান সেট হবে একটি অবিচ্ছিন্ন অন্তরাল: $(-\infty, 4)$।

1. হরগুলির ল.সা.গু. দ্বারা উভয় পক্ষকে গুণ করে ভগ্নাংশ দূর করুন।
2. বন্ধনী উন্মোচন করে চলকযুক্ত পদগুলিকে বামপক্ষে (LHS) এবং ধ্রুবক সংখ্যাগুলিকে ডানপক্ষে (RHS) স্থানান্তর করুন।
3. সদৃশ পদগুলি যোগ-বিয়োগ করে অসমীকরণটিকে $Ax < B$, $Ax \le B$, $Ax > B$, বা $Ax \ge B$ আকারে নিয়ে আসুন।
4. উভয় পক্ষকে $A$ দ্বারা ভাগ করুন। মনে রাখুন: $A < 0$ হলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যাবে!
5. চূড়ান্ত সমাধান সেটকে বন্ধনী সংকেতে লিখুন এবং সংখ্যারেখায় স্থাপন করুন।

বাস্তব সমস্যার সীমানা প্রায়শই একটি চলকের ওপর একাধিক যুগপৎ শর্ত আরোপ করে। মডিউলাস অসমীকরণ উচ্চমাধ্যমিক বীজগণিতের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ অংশ।

$a \le f(x) \le b$ আকারের অসমীকরণ হলো দুটি অসমীকরণের যুগপৎ সংযোগ:

এর সমাধান হলো উভয় অসমীকরণের সমাধান সেটের ছেদ (Intersection): $S = S_1 \cap S_2$।

পরম মানের সংজ্ঞা অনুযায়ী, $|x|$ হলো সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু থেকে $x$-এর দূরত্ব। যেকোনো ধনাত্মক ধ্রুবক $a > 0$-এর জন্য:

$\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$ আকারের অসমীকরণ সমাধানের ধাপ:

1. ডানপক্ষ শূন্য করে লব ও হরকে একঘাত উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন, যাতে প্রতিটি উৎপাদকে $x$-এর সহগ $+1$ থাকে।
2. উৎপাদকগুলির শূন্যবিন্দুগুলি (Critical Points) চিহ্নিত করে সংখ্যারেখায় মানের ক্রমানুসারে সাজান।
3. ডানদিকের সবচেয়ে প্রান্তীয় অঞ্চলের ওপরে ($+$) চিহ্ন দিয়ে শুরু করুন এবং প্রতিটি বিজোড় ঘাতের বিন্দুর ওপর দিয়ে রেখাটি পর্যায়ক্রমে উপরে-নিচে অতিক্রম করবে।
4. $\ge 0$-এর জন্য ($+$) অঞ্চল এবং $\le 0$-এর জন্য ($-$) অঞ্চল নির্বাচন করুন। হরের শূন্যবিন্দুগুলি সর্বদা বর্জন করতে হবে!

এক চলকের অসমীকরণ যেমন একটি রেখার অন্তরাল নির্দেশ করে, তেমনি দুই চলকবিশিষ্ট অসমীকরণ কার্তেসীয় তলে একটি সম্পূর্ণ অর্ধতল (Half-Plane) নির্দেশ করে।

সরলরেখা $ax + by = c$ দ্বিমাত্রিক তলকে দুটি অর্ধতলে বিভক্ত করে:

• মুক্ত অর্ধতল (Open Half-Plane): $ax + by < c$ বা $ax + by > c$ অসমীকরণ নির্দেশ করে। সীমারেখার কোনো বিন্দু অন্তর্ভুক্ত থাকে না, তাই লেখচিত্রে সীমারেখাটি বিন্দুযুক্ত (Dashed Line) আঁকা হয়।
• বদ্ধ অর্ধতল (Closed Half-Plane): $ax + by \le c$ বা $ax + by \ge c$ অসমীকরণ নির্দেশ করে। সীমারেখার বিন্দুগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে, তাই রেখাটি অবিচ্ছিন্ন নিরেট (Solid Line) আঁকা হয়।

একাধিক রৈখিক অসমীকরণ নিয়ে গঠিত জোটের সমাধান হলো সমতলের সেই অঞ্চল যা যুগপৎভাবে সমস্ত অসমীকরণকে সিদ্ধ করে।

জ্যামিতিকভাবে, একটি অসমীকরণ জোটের সমাধান অঞ্চল হলো প্রতিটি পৃথক অসমীকরণের অর্ধতলসমূহের সাধারণ ছেদ (Common Intersection):

• সীমাবদ্ধ অঞ্চল (Bounded Region): সমাধান অঞ্চলটি একটি বৃহৎ বৃত্তের মধ্যে সম্পূর্ণ আবদ্ধ করা সম্ভব হলে তা একটি উত্তল বহুভুজ গঠন করে।
• অসীম অঞ্চল (Unbounded Region): সমাধান অঞ্চলটি কোনো নির্দিষ্ট দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকলে।
• অসংগত জোট: যদি অর্ধতলগুলির কোনো সাধারণ ছেদ না থাকে ($\mathcal{R} = \emptyset$), তবে জোটটির কোনো সমাধান নেই।

বাস্তব জীবনে উৎপাদিত পণ্যের সংখ্যা বা কাঁচামালের পরিমাণ কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। এই বাস্তবতাকে $x \ge 0$ এবং $y \ge 0$ শর্ত দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এটি সমাধান অঞ্চলকে কঠোরভাবে প্রথম পাদে (Quadrant I) সীমাবদ্ধ রাখে।

সমাধান বহুভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো পরস্পরছেদী সীমারেখাগুলির সমাধান বিন্দু। যেকোনো দুটি সন্নিহিত সরলরেখার সমীকরণকে যুগপৎ অপনয়ন বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান করে এই কৌণিক বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা হয়।

বাস্তব সমস্যার ভাষাগত বর্ণনাকে অসমীকরণের গাণিতিক রূপে প্রকাশ করা উচ্চমাধ্যমিক পরীক্ষার একটি প্রধান দক্ষতা।

যদি $V$ লিটার $p_2\%$ দ্রবণের সাথে $x$ লিটার $p_1\%$ দ্রবণ মিশিয়ে চূড়ান্ত দ্রবণের ঘনত্ব $C_1\%$ থেকে $C_2\%$-এর মাঝে রাখতে হয়, তবে মোট বিশুদ্ধ পদার্থের পরিমাণ এবং মোট আয়তনের অনুপাত থেকে যৌগিক অসমীকরণ গঠিত হয়:

দ্বাদশ শ্রেণিতে শিক্ষার্থীরা রৈখিক প্রোগ্রামিং শিখবে, যেখানে লাভ বা ব্যয়ের উদ্দেশ্যমূলক অপেক্ষক $Z = ax + by$-এর চরম বা অবম মান নির্ণয় করা হয়। শীর্ষবিন্দু উপপাদ্য (Corner Point Theorem) প্রমাণ করে যে কাম্য সমাধানটি সর্বদা একাদশ শ্রেণিতে আলোচিত সমাধান বহুভুজের কোনো একটি শীর্ষবিন্দুতেই অবস্থান করে।