মাধ্যম নির্বাচন করুন / Select Medium:

Eng (English) Beng (বাংলা) Hindi (हिन्दी)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE) • শ্রেণি XI • Mathematics • অধ্যায় 12

আনুমানিক সময়: 90 মিনিট

অগ্রগতি: অধ্যয়নে সক্রিয়

শঙ্কুচ্ছেদ (কনিক)

কনিক বা শঙ্কুচ্ছেদ হলো জ্যামিতির একটি অত্যন্ত মৌলিক ও সমৃদ্ধ ক্ষেত্র, যা ত্রিমাত্রিক সমবৃত্তীয় দ্বিমুখী শঙ্কুকে সমতল দ্বারা বিভিন্ন কোণে ছেদ করার ফলে উৎপন্ন বক্ররেখার সমষ্টিকে প্রকাশ করে। প্রাচীন গ্রিসের গণিতবিদ অ্যাপোলোনিয়াস থেকে শুরু করে সপ্তদশ শতকে রনে দেকার্তের স্থানাঙ্ক জ্যামিতির মাধ্যমে কনিকের বীজগাণিতিক রূপ প্রতিষ্ঠিত হয়। একটি কনিককে দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় তলে এমন একটি বিন্দুর সঞ্চারপথ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার একটি নির্দিষ্ট স্থির বিন্দু (নাভি বা ফোকাস) থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট স্থির সরলরেখা (নিয়ামক বা দিকাক্ষ) থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত সর্বদাই একটি ধ্রুবক সংখ্যা, যাকে উৎকেন্দ্রতা (e) বলা হয়। উৎকেন্দ্রতা শূন্য হলে বক্ররেখাটি বৃত্ত ধারণ করে; উৎকেন্দ্রতা ঠিক এক এর সমান হলে অধিবৃত্ত (প্যারাবোলা); উৎকেন্দ্রতা শূন্য থেকে বড় এবং এক থেকে ছোট হলে উপবৃত্ত (ইলিপ্স); এবং উৎকেন্দ্রতা এক এর বেশি হলে তা পরাবৃত্ত (হাইপারবোলা) গঠন করে। এই অধ্যায়ে ছাত্রছাত্রীরা বৃত্ত, অধিবৃত্ত, উপবৃত্ত ও পরাবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ, জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য, প্যারামেট্রিক রূপ এবং প্রতিফলন ধর্ম সম্পর্কে বিশদ জ্ঞান অর্জন করবে।

অনলাইন CBT টেস্ট দিন সকল অধ্যায় দেখুন

ভূমিকা মূল ধারণা সূত্র ও অভেদ সমাধানকৃত উদাহরণ সাধারণ ভুলত্রুটি অধ্যায় সারসংক্ষেপ স্ব-মূল্যায়ন অনলাইন টেস্ট

অধ্যায়টির গুরুত্ব

কনিকের ধারণা মহাবিশ্বের গ্রহ-নক্ষত্রের কক্ষপথ থেকে শুরু করে আধুনিক প্রকৌশলবিদ্যার প্রতিটি শাখায় সরাসরি প্রয়োগ হয়। জোহানেস কেপলারের প্রথম গ্রহগতি সূত্রানুযায়ী প্রতিটি গ্রহ সূর্যকে একটি নাভিতে রেখে উপবৃত্তাকার কক্ষপথে আবর্তন করে। সৌরজগতে পরিভ্রমণকারী ধূমকেতু বা মুক্ত মহাজাগতিক বস্তুগুলি অধিবৃত্ত বা পরাবৃত্তাকার পথে চলে। আলোকবিজ্ঞান ও টেলিযোগাযোগে অধিবৃত্তাকার প্রতিফলকের ধর্ম ব্যবহার করে গাড়ির হেডলাইট, স্যাটেলাইট ডিশ এবং দূরবীক্ষণ যন্ত্র তৈরি করা হয়, যেখানে সমান্তরাল সংকেত নাভিতে অভিসারী হয়। চিকিৎসাবিজ্ঞানে শকওয়েভ লিথোট্রিপ্সি পদ্ধতিতে উপবৃত্তের এক নাভিতে সৃষ্ট তরঙ্গ অভ্যন্তরীণ দেহাংশের ক্ষতি না করে অপর নাভিতে অবস্থিত কিডনির পাথর চূর্ণ করে। বিমান ও সামুদ্রিক নৌচালনায় হাইপারবোলিক নেভিগেশন (যেমন লোরান) দুটি সংকেতের সময়ের দূরত্বের পার্থক্য ব্যবহার করে সঠিক অবস্থান নির্ণয় করে। ডব্লিউবিসিএইচএসই উচ্চমাধ্যমিক একাদশ শ্রেণির বার্ষিক পরীক্ষা এবং ডব্লিউবিজেইই, জেইই মেইন ও অ্যাডভান্সড পরীক্ষার জন্য কনিক অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ও উচ্চ নম্বর প্রদায়ী অধ্যায়।

অধ্যায়ের বিষয়সূচি ও রূপরেখা

1 ১. শঙ্কুর ছেদাংশ, নাভি-নিয়ামক সংজ্...

2 ২. বৃত্ত: প্রমিত, সাধারণ, ব্যাসীয়...

3 ৩. অধিবৃত্ত: জ্যামিতিক উপাদান ও চার...

4 ৪. উপবৃত্ত: অক্ষীয় বৈশিষ্ট্য, প্রম...

5 ৫. পরাবৃত্ত: দুই শাখা, অনন্তস্পর্শী...

6 ৬. সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চয়ক...

সম্পূর্ণ তত্ত্ব ও ধারণাগত আলোচনা

১. শঙ্কুর ছেদাংশ, নাভি-নিয়ামক সংজ্ঞা ও উৎকেন্দ্রতা

একটি দ্বিমুখী সমবৃত্তীয় ফাঁপা শঙ্কুকে একটি সমতল দ্বারা বিভিন্ন অবস্থানে ছেদ করলে যে বক্ররেখাগুলি উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টিগতভাবে শঙ্কুচ্ছেদ বা কনিক (Conic Sections) বলা হয়।

১.১ শঙ্কুচ্ছেদের জ্যামিতিক উৎপত্তি

ধরা যাক একটি দ্বিমুখী শঙ্কুর উল্লম্ব অক্ষের সাথে তার অর্ধ-শীর্ষ কোণ $\alpha$ এবং ছেদক সমতলটি অক্ষের সাথে $\beta$ কোণ উৎপন্ন করে:

বৃত্ত (Circle): যখন $\beta = 90^\circ$ (সমতলটি শঙ্কু অক্ষের সাথে লম্ব), তখন উৎপন্ন ছেদাংশটি একটি বৃত্ত।
উপবৃত্ত (Ellipse): যখন $\alpha < \beta < 90^\circ$ (সমতলটি শঙ্কুর একটি দিককে সম্পূর্ণ ছেদ করে), তখন উৎপন্ন বক্ররেখাটি একটি উপবৃত্ত।
অধিবৃত্ত (Parabola): যখন $\beta = \alpha$ (সমতলটি শঙ্কুর কোনো একটি উৎপাদক রেখার সাথে সমান্তরাল), তখন অসীম প্রসারিত বক্ররেখাটি একটি অধিবৃত্ত।
পরাবৃত্ত (Hyperbola): যখন $0 \le \beta < \alpha$ (সমতলটি শঙ্কুর উভয় অংশকে বা উল্লম্ব অক্ষের সমান্তরালে ছেদ করে), তখন দুটি পৃথক শাখাবিশিষ্ট বক্ররেখাটি একটি পরাবৃত্ত।
অপজাত কনিক (Degenerate Conics): যদি ছেদক সমতলটি শঙ্কুর শীর্ষবিন্দু (Apex) দিয়ে অতিক্রম করে:
- $\beta > \alpha$: ছেদাংশটি একটি একক বিন্দু (Point)।
- $\beta = \alpha$: ছেদাংশটি একটি একক সরলরেখা (Straight Line)।
- $\beta < \alpha$: ছেদাংশটি একটি পরস্পরছেদী সরলরেখাযুগল (Pair of Intersecting Lines)।

১.২ নাভি-নিয়ামক-উৎকেন্দ্রতা ভিত্তিক গাণিতিক সংজ্ঞা

মৌলিক সংজ্ঞা: কোনো সমতলে একটি চলমান বিন্দু $P(x, y)$-এর একটি নির্দিষ্ট স্থির বিন্দু $S(x_1, y_1)$ (যাকে নাভি বা ফোকাস বলা হয়) থেকে দূরত্ব এবং একটি নির্দিষ্ট স্থির সরলরেখা $ax + by + c = 0$ (যাকে নিয়ামক বা দিকাক্ষ বলা হয়) থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত সর্বদাই একটি ধ্রুবক সংখ্যা $e$। এই অনুপাতকে কনিকের উৎকেন্দ্রতা (Eccentricity) বলে। $$\mathbf{\frac{SP}{PM} = e \iff SP = e \cdot PM}$$

১.৩ উৎকেন্দ্রতা ($e$) অনুসারে কনিকের শ্রেণিবিভাগ

কনিকের নাম	উৎকেন্দ্রতা ($e$)	জ্যামিতিক রূপ	প্রমিত সমীকরণ
বৃত্ত (Circle)	$e = 0$	নিয়ামক অসীমে অবস্থিত; কেন্দ্র থেকে দূরত্ব নির্দিষ্ট	$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$
অধিবৃত্ত (Parabola)	$e = 1$	নাভি থেকে দূরত্ব ও নিয়ামক থেকে দূরত্ব সমান ($SP = PM$)	$y^2 = 4ax$
উপবৃত্ত (Ellipse)	$0 < e < 1$	নাভিদূরত্ব নিয়ামকদূরত্ব অপেক্ষা কম ($SP < PM$)	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)$
পরাবৃত্ত (Hyperbola)	$e > 1$	নাভিদূরত্ব নিয়ামকদূরত্ব অপেক্ষা বেশি ($SP > PM$)	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
সমপরাবৃত্ত (Rectangular Hyperbola)	$e = \sqrt{2}$	অনুবন্ধী অক্ষ ও তির্যক অক্ষ সমান ($a = b$)	$x^2 - y^2 = a^2$ বা $xy = c^2$

২. বৃত্ত: প্রমিত, সাধারণ, ব্যাসীয় ও প্যারামেট্রিক রূপ

বৃত্ত হলো তলের এমন একটি বিন্দুর সঞ্চারপথ, যার একটি নির্দিষ্ট স্থির কেন্দ্রবিন্দু থেকে দূরত্ব সর্বদা সমান ও অপরিবর্তনীয়।

২.১ কেন্দ্রীয় ও প্রমিত সমীকরণ

কেন্দ্রীয় রূপ: মূলবিন্দু $O(0, 0)$ কেন্দ্র এবং $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ: $$\mathbf{x^2 + y^2 = r^2}$$
প্রমিত রূপ (কেন্দ্র-ব্যাসার্ধ আকার): কেন্দ্র $C(h, k)$ এবং ব্যাসার্ধ $r$ হলে: $$\mathbf{(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2}$$

২.২ বৃত্তের সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ সমীকরণটি বিস্তৃত করলে পাওয়া যায় $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0$। এখানে $g = -h$, $f = -k$ এবং $c = h^2 + k^2 - r^2$ বসালে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ পাওয়া যায়:

সাধারণ সমীকরণ: $$\mathbf{x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0}$$

কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: $\mathbf{C(-g, -f)} = \left(-\frac{1}{2} \times x\text{-এর সহগ}, \; -\frac{1}{2} \times y\text{-এর সহগ}\right)$
ব্যাসার্ধ: $\mathbf{r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}}$

$g^2 + f^2 - c$-এর মানের ভিত্তিতে বৃত্তের প্রকৃতি:

যদি $g^2 + f^2 - c > 0$: বৃত্তটি বাস্তব বৃত্ত (Real Circle)।
যদি $g^2 + f^2 - c = 0$: ব্যাসার্ধ শূন্য হওয়ায় এটি একটি বিন্দু বৃত্ত (Point Circle), যা কেবল $(-g, -f)$ বিন্দুকে নির্দেশ করে।
যদি $g^2 + f^2 - c < 0$: ব্যাসার্ধ কাল্পনিক হওয়ায় এটি একটি কাল্পনিক বা অবাস্তব বৃত্ত (Imaginary Circle)।

২.৩ দ্বিঘাত সমীকরণ বৃত্ত নির্দেশ করার শর্তসমূহ

একটি সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ একটি বৃত্ত নির্দেশ করবে যদি ও কেবল যদি:

$\mathbf{A = B \neq 0}$ ($x^2$ এবং $y^2$-এর সহগ সমান ও অশূন্য হবে)।
$\mathbf{H = 0}$ ($xy$-সংবলিত কোনো পদ থাকবে না)।
$\mathbf{G^2 + F^2 - AC \ge 0}$ (ব্যাসার্ধ বাস্তব হবে)।

২.৪ ব্যাসাকার সমীকরণ (Diametric Form)

কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের দুই প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক $A(x_1, y_1)$ ও $B(x_2, y_2)$ হলে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ার শর্তানুযায়ী বৃত্তের সমীকরণ:

$$\mathbf{(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0}$$

২.৫ বৃত্তের প্যারামেট্রিক সমীকরণ

কেন্দ্র $C(h, k)$ ও ব্যাসার্ধ $r$ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধির যে-কোনো বিন্দুর প্যারামেট্রিক সমীকরণ ($\theta \in [0, 2\pi)$):

$$\mathbf{x = h + r \cos \theta, \quad y = k + r \sin \theta}$$

৩. অধিবৃত্ত: জ্যামিতিক উপাদান ও চারটি প্রমিত রূপ

অধিবৃত্ত হলো এমন একটি কনিক যার উৎকেন্দ্রতা $e = 1$। অর্থাৎ অধিবৃত্তস্থ যে-কোনো বিন্দুর নাভি থেকে দূরত্ব এবং নিয়ামক থেকে লম্ব দূরত্ব সর্বদা সমান।

৩.১ অধিবৃত্তের পারিভাষিক শব্দসমূহ

নাভি (Focus, $S$): নির্দিষ্ট স্থির বিন্দু।
নিয়ামক (Directrix, $L$): নির্দিষ্ট স্থির সরলরেখা।
অক্ষ (Axis): নাভিগামী যে সরলরেখা নিয়ামকের ওপর লম্ব।
শীর্ষবিন্দু (Vertex, $V$): অধিবৃত্ত এবং তার অক্ষের ছেদবিন্দু।
নাভিলম্ব (Latus Rectum, $LL'$): নাভিগামী যে জ্যা অধিবৃত্তের অক্ষের ওপর লম্ব।
নাভিদূরত্ব (Focal Distance, $SP$): অধিবৃত্তের ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু $P$-এর নাভি থেকে দূরত্ব।

৩.২ অধিবৃত্তের চারটি প্রমিত রূপ

বৈশিষ্ট্য	$y^2 = 4ax \; (a > 0)$	$y^2 = -4ax \; (a > 0)$	$x^2 = 4ay \; (a > 0)$	$x^2 = -4ay \; (a > 0)$
হা-মুখের দিক	ডানমুখী ($x \ge 0$)	বামমুখী ($x \le 0$)	ঊর্ধ্বমুখী ($y \ge 0$)	নিম্নমুখী ($y \le 0$)
শীর্ষবিন্দু	$(0, 0)$	$(0, 0)$	$(0, 0)$	$(0, 0)$
নাভি ($S$)	$(a, 0)$	$(-a, 0)$	$(0, a)$	$(0, -a)$
নিয়ামকের সমীকরণ	$x = -a \iff x + a = 0$	$x = a \iff x - a = 0$	$y = -a \iff y + a = 0$	$y = a \iff y - a = 0$
অক্ষের সমীকরণ	$y = 0$ ($x$-অক্ষ)	$y = 0$ ($x$-অক্ষ)	$x = 0$ ($y$-অক্ষ)	$x = 0$ ($y$-অক্ষ)
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য	$4a$	$4a$	$4a$	$4a$
নাভিলম্বের প্রান্তদ্বয়	$(a, 2a), \; (a, -2a)$	$(-a, 2a), \; (-a, -2a)$	$(2a, a), \; (-2a, a)$	$(2a, -a), \; (-2a, -a)$
নাভিদূরত্ব ($SP$)	$x + a$	$a - x$	$y + a$	$a - y$
প্যারামেট্রিক স্থানাঙ্ক	$(at^2, 2at)$	$(-at^2, 2at)$	$(2at, at^2)$	$(2at, -at^2)$

৩.৩ শীর্ষবিন্দু স্থানান্তরিত রূপ $(h, k)$

শীর্ষ মূলবিন্দু থেকে স্থানান্তরিত হয়ে $V(h, k)$ হলে এবং অক্ষসমূহ স্থানাঙ্ক অক্ষের সমান্তরাল থাকলে:

$x$-অক্ষের সমান্তরাল অক্ষের জন্য: $\mathbf{(y - k)^2 = 4a(x - h)}$ (নাভি: $(h + a, k)$, নিয়ামক: $x = h - a$)।
$y$-অক্ষের সমান্তরাল অক্ষের জন্য: $\mathbf{(x - h)^2 = 4a(y - k)}$ (নাভি: $(h, k + a)$, নিয়ামক: $y = k - a$)।

৪. উপবৃত্ত: অক্ষীয় বৈশিষ্ট্য, প্রমিত আকার ও নাভিদূরত্ব ধর্ম

উপবৃত্ত হলো এমন একটি কনিক যার উৎকেন্দ্রতা $0 < e < 1$। এটি নাভি-নিয়ামক অনুপাত অথবা দুটি নাভি থেকে দূরত্বের ধ্রুবক সমষ্টির সাহায্যে সংজ্ঞায়িত হয়।

৪.১ দুটি সমতুল্য জ্যামিতিক সংজ্ঞা

নাভি-নিয়ামক সংজ্ঞা: $SP = e \cdot PM$, যেখানে $0 < e < 1$।
দ্বি-নাভি সংজ্ঞা: কোনো তলে দুটি নির্দিষ্ট স্থির নাভি $S$ ও $S'$ হলে, উপবৃত্ত হলো এমন বিন্দুর সঞ্চারপথ যাতে নাভিদ্বয় থেকে দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা ধ্রুবক এবং পরাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান: $$\mathbf{SP + S'P = 2a \quad (2a > 2ae)}$$

৪.২ অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপবৃত্তের প্রমিত তুলনা

জ্যামিতিক উপাদান	অনুভূমিক উপবৃত্ত: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \; (a > b)$	উল্লম্ব উপবৃত্ত: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \; (b > a)$
কেন্দ্র	$(0, 0)$	$(0, 0)$
পরাক্ষ (Major Axis)	দৈর্ঘ্য $2a$, $x$-অক্ষ বরাবর ($y = 0$)	দৈর্ঘ্য $2b$, $y$-অক্ষ বরাবর ($x = 0$)
উপাক্ষ (Minor Axis)	দৈর্ঘ্য $2b$, $y$-অক্ষ বরাবর ($x = 0$)	দৈর্ঘ্য $2a$, $x$-অক্ষ বরাবর ($y = 0$)
শীর্ষবিন্দুদ্বয়	$(\pm a, 0)$	$(0, \pm b)$
নাভিদ্বয় ($S, S'$)	$(\pm ae, 0)$	$(0, \pm be)$
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ	$x = \pm \frac{a}{e}$	$y = \pm \frac{b}{e}$
উৎকেন্দ্রতা সম্পর্ক ($e$)	$b^2 = a^2(1 - e^2) \implies \mathbf{e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}}$	$a^2 = b^2(1 - e^2) \implies \mathbf{e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}}}$
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য	$\mathbf{\frac{2b^2}{a}}$	$\mathbf{\frac{2a^2}{b}}$
নাভিদূরত্বদ্বয় ($P(x, y)$)	$SP = a - ex, \quad S'P = a + ex$	$SP = b - ey, \quad S'P = b + ey$

৪.৩ সহায়ক বৃত্ত ও প্যারামেট্রিক সমীকরণ

উপবৃত্তের পরাক্ষকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তকে উপবৃত্তের সহায়ক বৃত্ত (Auxiliary Circle) বলা হয়, যার সমীকরণ $x^2 + y^2 = a^2$।

উপবৃত্তের যে-কোনো বিন্দুর প্যারামেট্রিক সমীকরণ ($\theta \in [0, 2\pi)$): $$\mathbf{x = a \cos \theta, \quad y = b \sin \theta}$$ যেখানে $\theta$-কে বলা হয় ওই বিন্দুর উৎকেন্দ্রিক কোণ (Eccentric Angle)।

৫. পরাবৃত্ত: দুই শাখা, অনন্তস্পর্শী ও সমপরাবৃত্তের গাণিতিক ধর্ম

পরাবৃত্ত হলো এমন একটি কনিক যার উৎকেন্দ্রতা $e > 1$। এর দুটি বিচ্ছিন্ন শাখা থাকে এবং যে-কোনো বিন্দু থেকে দুটি নাভির দূরত্বের অন্তর সর্বদা ধ্রুবক থাকে।

৫.১ জ্যামিতিক সংজ্ঞা

নাভি-নিয়ামক সংজ্ঞা: $SP = e \cdot PM$, যেখানে $e > 1$।
দ্বি-নাভি সংজ্ঞা: কোনো তলে দুটি স্থির নাভি $S$ ও $S'$ হলে, পরাবৃত্ত হলো এমন বিন্দুর সঞ্চারপথ যাতে নাভিদ্বয় থেকে দূরত্বের পরম বিয়োগফল সর্বদা ধ্রুবক এবং তির্যক অক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান: $$\mathbf{|SP - S'P| = 2a}$$

৫.২ প্রমিত পরাবৃত্ত ও অনুবন্ধী পরাবৃত্তের তুলনা

জ্যামিতিক উপাদান	প্রমিত পরাবৃত্ত: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	অনুবন্ধী পরাবৃত্ত: $-\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \iff \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$
তির্যক অক্ষ (Transverse Axis)	দৈর্ঘ্য $2a$, $x$-অক্ষ বরাবর ($y = 0$)	দৈর্ঘ্য $2b$, $y$-অক্ষ বরাবর ($x = 0$)
অনুবন্ধী অক্ষ (Conjugate Axis)	দৈর্ঘ্য $2b$, $y$-অক্ষ বরাবর ($x = 0$)	দৈর্ঘ্য $2a$, $x$-অক্ষ বরাবর ($y = 0$)
শীর্ষবিন্দুদ্বয়	$(\pm a, 0)$	$(0, \pm b)$
নাভিদ্বয় ($S, S'$)	$(\pm ae, 0)$	$(0, \pm be)$
নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ	$x = \pm \frac{a}{e}$	$y = \pm \frac{b}{e}$
উৎকেন্দ্রতা সম্পর্ক ($e$)	$b^2 = a^2(e^2 - 1) \implies \mathbf{e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}}$	$a^2 = b^2(e^2 - 1) \implies \mathbf{e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{b^2}}}$
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য	$\mathbf{\frac{2b^2}{a}}$	$\mathbf{\frac{2a^2}{b}}$

৫.৩ পরাবৃত্তের অনন্তস্পর্শী (Asymptotes)

যে সরলরেখা কোনো পরাবৃত্তকে অসীমে স্পর্শ করে অথচ সসীম দূরত্বের কোনো বিন্দুতে ছেদ করে না, তাকে অনন্তস্পর্শী বলা হয়। $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ পরাবৃত্তের অনন্তস্পর্শীদ্বয় হলো:

$$\mathbf{y = \pm \frac{b}{a} x \iff \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 \quad \text{ও} \quad \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0}$$ অনন্তস্পর্শীযুগলের সম্মিলিত সমীকরণ: $\mathbf{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0}$।

৫.৪ সমপরাবৃত্ত (Rectangular Hyperbola)

যে পরাবৃত্তের তির্যক অক্ষের দৈর্ঘ্য এবং অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান ($a = b$), তাকে সমপরাবৃত্ত বলে:

প্রমিত সমীকরণ: $\mathbf{x^2 - y^2 = a^2}$
উৎকেন্দ্রতা: $e = \sqrt{1 + \frac{a^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \mathbf{\sqrt{2}}$ (যে-কোনো সমপরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা সর্বদা $\sqrt{2}$)।
অনন্তস্পর্শীদ্বয়: $y = \pm x$, যা পরস্পর লম্ব ($\theta = 90^\circ$)।
অনন্তস্পর্শীদ্বয়কে অক্ষ ধরে রূপান্তর করলে সমীকরণ হয়: $\mathbf{xy = c^2}$ (যেখানে $c^2 = a^2/2$)।

৫.৫ প্যারামেট্রিক সমীকরণ

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ অভেদ ব্যবহার করে পরাবৃত্ত $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$-এর প্যারামেট্রিক সমীকরণ:

$$\mathbf{x = a \sec \theta, \quad y = b \tan \theta}$$

৬. সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চয়ক দ্বারা কনিক শনাক্তকরণ ও বাস্তব প্রয়োগ

দ্বিমাত্রিক তলে যে-কোনো দ্বিঘাত সমীকরণ একটি কনিককে প্রকাশ করে। নিশ্চয়ক ও সহগের সম্পর্কের মাধ্যমে কনিকের প্রকৃতি তৎক্ষণাৎ নির্ধারণ করা সম্ভব।

৬.১ সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ ও নিশ্চয়ক ($\Delta$)

দ্বিমাত্রিক তলে দ্বিঘাত সমীকরণ:

$$\mathbf{Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0}$$

এর নির্ণায়ক নিশ্চয়ক $\Delta$ হলো:

$$\mathbf{\Delta = \begin{vmatrix} A & H & G \\ H & B & F \\ G & F & C \end{vmatrix} = ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2}$$

নির্ণায়কের মান	$H^2 - AB$-এর মান	কনিকের প্রকৃতি
$\mathbf{\Delta = 0}$ (অপজাত কনিক)	$H^2 - AB > 0$	দুটি পরস্পরছেদী সরলরেখা
	$H^2 - AB = 0$	দুটি সমান্তরাল বা সমাপতিত সরলরেখা
	$H^2 - AB < 0$	একটি একক বিন্দু
$\mathbf{\Delta \neq 0}$ (প্রকৃত অনপজাত কনিক)	$H^2 - AB = 0$	অধিবৃত্ত (Parabola) ($e = 1$)
	$H^2 - AB < 0$	উপবৃত্ত (Ellipse) ($0 < e < 1$); যদি $H = 0$ ও $A = B$ হয় তবে বৃত্ত
	$H^2 - AB > 0$	পরাবৃত্ত (Hyperbola) ($e > 1$)
	$H^2 - AB > 0$ এবং $A + B = 0$	সমপরাবৃত্ত (Rectangular Hyperbola) ($e = \sqrt{2}$)

৬.২ কনিকের প্রতিফলন ধর্ম ও বাস্তব প্রয়োগ

অধিবৃত্তাকার প্রতিফলন: নাভি থেকে নির্গত যে-কোনো রশ্মি অধিবৃত্তের অভ্যন্তরীণ তলে প্রতিফলিত হয়ে অক্ষের সমান্তরালে নির্গত হয়। বিপরীতভাবে, সমান্তরাল রশ্মি নাভিতে এসে কেন্দ্রীভূত হয়। প্রয়োগ: গাড়ির হেডলাইট, সার্চলাইট, স্যাটেলাইট রিসিভার ও টেলিস্কোপ।
উপবৃত্তাকার প্রতিফলন: একটি নাভি থেকে নির্গত শব্দ বা আলোক রশ্মি উপবৃত্তাকার তলে প্রতিফলিত হয়ে অপর নাভি দিয়ে গমন করে। প্রয়োগ: ফিসফিসানি গ্যালারি (Whispering Galleries) এবং কিডনির পাথর চূর্ণকারী লিথোট্রিপ্সি যন্ত্র।
পরাবৃত্তাকার প্রতিফলন: একটি নাভিমুখী রশ্মি বাইরের তলে প্রতিফলিত হয়ে অপর নাভি থেকে অপসারিত হচ্ছে বলে মনে হয়। প্রয়োগ: ক্যাসগ্রেন প্রতিফলক দূরবীক্ষণ যন্ত্রের গৌণ দর্পণ এবং নেভিগেশন ব্যবস্থা।

গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সূত্র, অভেদ ও উপপাদ্য

বৃত্তের সাধারণ রূপ

কেন্দ্র: (-g, -f), ব্যাসার্ধ: √(g² + f² - c)

g, f, c নির্ণয়ের পূর্বে x² ও y²-এর সহগ ১ করে নিতে হবে। বাস্তব বৃত্তের জন্য g² + f² - c ≥ 0।

প্রমিত অধিবৃত্তের সমীকরণ

y² = 4ax, LL' = 4a, নাভি (a, 0)

প্যারামেট্রিক স্থানাঙ্ক (at², 2at)। যে-কোনো বিন্দুর নাভিদূরত্ব SP = x + a।

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা ও নাভিলম্ব

b² = a²(1 - e²), e = √(1 - b²/a²), LL' = 2b²/a

a > b (অনুভূমিক) এর জন্য প্রযোজ্য। b > a হলে a ও b পরস্পর স্থান বিনিময় করবে।

পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা ও নাভিলম্ব

b² = a²(e² - 1), e = √(1 + b²/a²), LL' = 2b²/a

সমপরাবৃত্তে a = b হলে উৎকেন্দ্রতা e = √2 এবং অনন্তস্পর্শী y = ±x।

নাভিদূরত্বের ধ্রুবক ধর্ম

উপবৃত্তে সমষ্টি = 2a, পরাবৃত্তে পরম অন্তর = 2a

গ্রহের কক্ষপথ, সুতোর সাহায্যে অঙ্কন এবং রাডার ট্র্যাকিংয়ের মূল ভিত্তি।

সাধারণ কনিকের নিশ্চয়ক শর্ত

Δ ≠ 0: H² = AB (অধিবৃত্ত), H² < AB (উপবৃত্ত), H² > AB (পরাবৃত্ত)

যদি Δ = 0 হয়, তবে সমীকরণটি অপজাত সরলরেখাযুগল বা বিন্দু নির্দেশ করে।

সমাধানকৃত উদাহরণ ও প্রয়োগ (Solved Examples)

উদাহরণ 1

2x² + 2y² - 8x + 12y - 1 = 0 বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো। [2 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান: প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $$2x^2 + 2y^2 - 8x + 12y - 1 = 0$$ বৃত্তের সাধারণ রূপ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$-এ প্রকাশ করার জন্য সমীকরণটির উভয়পক্ষকে $2$ দিয়ে ভাগ করি: $$x^2 + y^2 - 4x + 6y - \frac{1}{2} = 0$$ সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $$2g = -4 \implies g = -2$$ $$2f = 6 \implies f = 3$$ $$c = -\frac{1}{2}$$
বৃত্তটির কেন্দ্র: $$\text{কেন্দ্র } C(-g, -f) = (-(-2), -3) = \mathbf{(2, -3)}$$
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ: $$r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{4 + 9 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{27}{2}} = \mathbf{\frac{3\sqrt{6}}{2} \text{ একক}}$$ অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্র $(2, -3)$ এবং ব্যাসার্ধ $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ একক।

উদাহরণ 2

y² = -12x অধিবৃত্তটির নাভির স্থানাঙ্ক, নিয়ামকের সমীকরণ, নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং অক্ষের সমীকরণ নির্ণয় করো। [3 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান: প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ: $$y^2 = -12x$$ এটি অধিবৃত্তের বামমুখী প্রমিত আকার $y^2 = -4ax$ ($a > 0$)-এর সাথে তুলনীয়। সহগ তুলনা করে পাই: $$4a = 12 \implies a = 3$$ এখন প্রয়োজনীয় জ্যামিতিক উপাদানগুলি নির্ণয় করি:

নাভির স্থানাঙ্ক ($S$): $y^2 = -4ax$ অধিবৃত্তের নাভি ঋণাত্মক $x$-অক্ষের ওপর $(-a, 0)$-তে অবস্থিত: $$\mathbf{\text{নাভি } S = (-3, 0)}$$
নিয়ামকের সমীকরণ: নিয়ামকটি $y$-অক্ষের সমান্তরাল এবং $x = a$ সরলরেখা: $$x = 3 \iff \mathbf{x - 3 = 0}$$
নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য ($LL'$): $$\mathbf{LL' = 4a = 4(3) = 12 \text{ একক}}$$
অক্ষের সমীকরণ: এর প্রতিসাম্য অক্ষ হলো $x$-অক্ষ: $$\mathbf{y = 0}$$

উদাহরণ 3

9x² + 25y² = 225 উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা, নাভিদ্বয়ের স্থানাঙ্ক, নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য এবং নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় করো। [3 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ: $$9x^2 + 25y^2 = 225$$ উভয়পক্ষকে $225$ দিয়ে ভাগ করি: $$\frac{9x^2}{225} + \frac{25y^2}{225} = 1 \implies \mathbf{\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1}$$ প্রমিত রূপ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$-এর সাথে তুলনা করে পাই: $$a^2 = 25 \implies a = 5$$ $$b^2 = 9 \implies b = 3$$ যেহেতু $a > b$, সুতরাং উপবৃত্তটির পরাক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।
১. উৎকেন্দ্রতা ($e$): $$b^2 = a^2(1 - e^2) \implies 9 = 25(1 - e^2) \implies 1 - e^2 = \frac{9}{25}$$ $$e^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \implies \mathbf{e = \frac{4}{5} = 0.8}$$
২. নাভিদ্বয়ের স্থানাঙ্ক ($S, S'$): $$ae = 5 \times \frac{4}{5} = 4$$ $$\mathbf{\text{নাভিদ্বয় } = (\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)}$$
৩. নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য: $$\mathbf{LL' = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ একক}}$$
৪. নিয়ামকদ্বয়ের সমীকরণ: $$x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{5}{4/5} = \pm \frac{25}{4} \implies \mathbf{4x \pm 25 = 0}$$

উদাহরণ 4

একটি পরাবৃত্তের নাভিদ্বয় (±5, 0) এবং এর তির্যক অক্ষের দৈর্ঘ্য 8 একক। পরাবৃত্তটির সমীকরণ, উৎকেন্দ্রতা ও নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। [4 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান: প্রদত্ত: নাভিদ্বয় $x$-অক্ষের ওপর $(\pm 5, 0)$-তে অবস্থিত $\implies$ প্রমিত সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$। $$\text{নাভিদ্বয় } (\pm ae, 0) = (\pm 5, 0) \implies \mathbf{ae = 5}$$ তির্যক অক্ষের দৈর্ঘ্য $2a = 8 \implies \mathbf{a = 4 \implies a^2 = 16}$।
১. উৎকেন্দ্রতা ($e$) নির্ণয়: $$ae = 5 \implies 4e = 5 \implies \mathbf{e = \frac{5}{4} = 1.25}$$
২. $b^2$-এর মান নির্ণয়: পরাবৃত্তের মূল সম্পর্ক $b^2 = a^2(e^2 - 1)$: $$b^2 = 16\left(\left(\frac{5}{4}\right)^2 - 1\right) = 16\left(\frac{25}{16} - 1\right) = 16\left(\frac{9}{16}\right) = \mathbf{9}$$ অতএব $b = 3$।
৩. পরাবৃত্তের সমীকরণ: $a^2 = 16$ এবং $b^2 = 9$ প্রমিত আকারে বসিয়ে পাই: $$\mathbf{\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \iff 9x^2 - 16y^2 = 144}$$
৪. নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য: $$\mathbf{LL' = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ একক}}$$

উদাহরণ 5

y² - 4y - 8x - 4 = 0 অধিবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, নাভি, অক্ষ এবং নিয়ামকের সমীকরণ নির্ণয় করো। [4 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ: $$y^2 - 4y - 8x - 4 = 0$$ $y$-সংবলিত পদগুলিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করি: $$y^2 - 4y = 8x + 4$$ $$(y - 2)^2 - 4 = 8x + 4$$ $$(y - 2)^2 = 8x + 8$$ $$(y - 2)^2 = 8(x + 1)$$ স্থানান্তরিত প্রমিত রূপ $(Y)^2 = 4a(X)$-এর সাথে তুলনা করে পাই: যেখানে $Y = y - 2, \quad X = x + 1, \quad 4a = 8 \implies a = 2$।
১. শীর্ষবিন্দু: $$X = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1$$ $$Y = 0 \implies y - 2 = 0 \implies y = 2$$ $$\mathbf{\text{শীর্ষবিন্দু } V = (-1, 2)}$$
২. নাভির স্থানাঙ্ক: প্রমিত স্থানাঙ্কে নাভি $X = a = 2, \; Y = 0$: $$x + 1 = 2 \implies x = 1$$ $$y - 2 = 0 \implies y = 2$$ $$\mathbf{\text{নাভি } S = (1, 2)}$$
৩. অক্ষের সমীকরণ: প্রমিত স্থানাঙ্কে অক্ষ $Y = 0$: $$y - 2 = 0 \implies \mathbf{y = 2}$$
৪. নিয়ামকের সমীকরণ: প্রমিত স্থানাঙ্কে নিয়ামক $X = -a = -2$: $$x + 1 = -2 \implies x = -3 \iff \mathbf{x + 3 = 0}$$

উদাহরণ 6

O(0, 0), A(5, 0) এবং B(3, 4) বিন্দুত্রয় দিয়ে গমনকারী বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো। বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধও বের করো। [5 নম্বর]

ধাপে ধাপে সমাধান / উত্তর:

সমাধান: ধরি বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ: $$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \quad \text{--- (১)}$$ ধাপ ১: বৃত্তটি মূলবিন্দু $O(0, 0)$ দিয়ে যায়: $$0^2 + 0^2 + 2g(0) + 2f(0) + c = 0 \implies \mathbf{c = 0}$$ সুতরাং সমীকরণটি দাঁড়ায় $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$। ধাপ ২: বৃত্তটি $A(5, 0)$ বিন্দু দিয়ে যায়: $$5^2 + 0^2 + 2g(5) + 2f(0) = 0$$ $$25 + 10g = 0 \implies 10g = -25 \implies \mathbf{g = -\frac{5}{2}}$$ ধাপ ৩: বৃত্তটি $B(3, 4)$ বিন্দু দিয়ে যায়: $$3^2 + 4^2 + 2g(3) + 2f(4) = 0$$ $$9 + 16 + 6g + 8f = 0 \implies 25 + 6\left(-\frac{5}{2}\right) + 8f = 0$$ $$25 - 15 + 8f = 0 \implies 10 + 8f = 0 \implies 8f = -10 \implies \mathbf{f = -\frac{5}{4}}$$ ধাপ ৪: বৃত্তের সমীকরণ গঠন: $g = -\frac{5}{2}, \; f = -\frac{5}{4}, \; c = 0$ মান সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই: $$x^2 + y^2 + 2\left(-\frac{5}{2}\right)x + 2\left(-\frac{5}{4}\right)y + 0 = 0$$ $$x^2 + y^2 - 5x - \frac{5}{2}y = 0$$ উভয়পক্ষকে $2$ দিয়ে গুণ করে পাই: $$\mathbf{2x^2 + 2y^2 - 10x - 5y = 0 \iff x^2 + y^2 - 5x - \frac{5}{2}y = 0}$$ ধাপ ৫: কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়: $$\text{কেন্দ্র } C(-g, -f) = \left(-\left(-\frac{5}{2}\right), -\left(-\frac{5}{4}\right)\right) = \mathbf{\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{4}\right)}$$ $$r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 0} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{16}} = \sqrt{\frac{125}{16}} = \mathbf{\frac{5\sqrt{5}}{4} \text{ একক}}$$ অতএব, বৃত্তটির সমীকরণ $2x^2 + 2y^2 - 10x - 5y = 0$, কেন্দ্র $\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{4}\right)$ এবং ব্যাসার্ধ $\frac{5\sqrt{5}}{4}$ একক।

সাধারণ ভুলত্রুটি ও সতর্কতা (Common Traps)

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

সাধারণ আকারে x² ও y²-এর সহগ সর্বদা ১ হতে হবে। সমীকরণে অন্য কোনো সহগ থাকলে প্রথমে পুরো সমীকরণকে তা দিয়ে ভাগ করে নিতে হবে।

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

y² = -4ax অধিবৃত্তে নাভি (-a, 0) এবং নিয়ামক x = +a। নাভি ও নিয়ামক শীর্ষের সাপেক্ষে সর্বদা বিপরীত চিহ্নের হয়।

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

সমীকরণে কোন হরের মান বড় তা লক্ষ্য করুন। y²-এর নিচের হর বড় হলে (b > a) পরাক্ষ y-অক্ষ বরাবর হবে এবং নাভিদ্বয় (0, ±be) হবে।

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

উপবৃত্তে e < 1 হওয়ায় b² = a²(1 - e²)। পরাবৃত্তে e > 1 হওয়ায় b² = a²(e² - 1)। বন্ধনীর ভিতরের মান সর্বদা ধনাত্মক হতে হবে।

সাধারণ ভুল ধারণা

সঠিক পদ্ধতি ও সমাধান

উপবৃত্তের ক্ষেত্রে দূরত্বের সমষ্টি ধ্রুবক: SP + S'P = 2a। পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে দূরত্বের পরম অন্তর ধ্রুবক: |SP - S'P| = 2a।

কনিকের জ্যামিতিক রূপরেখা ও প্রমিত সমীকরণসমূহের চিত্র

অধ্যায় সারসংক্ষেপ ও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

মূল বিষয় 1

কনিক হলো একটি চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথ যার নাভি থেকে দূরত্ব ও নিয়ামক থেকে লম্ব দূরত্বের অনুপাত ধ্রুবক (উৎকেন্দ্রতা e)।

মূল বিষয় 2

উৎকেন্দ্রতা কনিকের ধরন নির্ধারণ করে: e = 0 বৃত্ত, e = 1 অধিবৃত্ত, 0 < e < 1 উপবৃত্ত এবং e > 1 পরাবৃত্ত।

মূল বিষয় 3

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, যার কেন্দ্র (-g, -f) এবং ব্যাসার্ধ √(g² + f² - c)।

মূল বিষয় 4

ব্যাসাকার বৃত্তের সমীকরণ: (x - x₁)(x - x₂) + (y - y₁)(y - y₂) = 0।

মূল বিষয় 5

চারটি প্রমিত অধিবৃত্ত: y² = 4ax (ডান), y² = -4ax (বাম), x² = 4ay (উপর) এবং x² = -4ay (নীচ); প্রত্যেকের নাভিলম্ব 4a।

মূল বিষয় 6

প্রমিত উপবৃত্ত x²/a² + y²/b² = 1 (a > b)-এর নাভিদ্বয় (±ae, 0), নিয়ামকদ্বয় x = ±a/e এবং নাভিলম্ব 2b²/a।

মূল বিষয় 7

উপবৃত্তের যে-কোনো বিন্দুর নাভিদ্বয় থেকে দূরত্বের সমষ্টি সর্বদা পরাক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান: SP + S'P = 2a।

মূল বিষয় 8

প্রমিত পরাবৃত্ত x²/a² - y²/b² = 1-এর নাভিদ্বয় (±ae, 0), নিয়ামকদ্বয় x = ±a/e, নাভিলম্ব 2b²/a এবং অনন্তস্পর্শী y = ±(b/a)x।

মূল বিষয় 9

পরাবৃত্তের যে-কোনো বিন্দুর নাভিদ্বয় থেকে দূরত্বের পরম অন্তর সর্বদা তির্যক অক্ষের দৈর্ঘ্যের সমান: |SP - S'P| = 2a।

মূল বিষয় 10

সমপরাবৃত্তের ক্ষেত্রে a = b, এর সমীকরণ x² - y² = a², উৎকেন্দ্রতা সর্বদা e = √2 এবং এর অনন্তস্পর্শীদ্বয় পরস্পর লম্ব।

স্ব-মূল্যায়ন অনুশীলন (Check Your Understanding)

মূল ধারণাগত স্পষ্টতা যাচাই করার জন্য অনুশীলন প্রশ্ন। উত্তর দেখার আগে নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো।

শীর্ষ (0, 0) এবং নাভি (0, -4) বিশিষ্ট অধিবৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: নাভি (0, -a) = (0, -4) ⇒ a = 4। সমীকরণ x² = -4(4)y ⇒ x² = -16y (বা x² + 16y = 0)।
নাভি ঋণাত্মক y-অক্ষের ওপর অবস্থিত হওয়ায় প্রমিত রূপ x² = -4ay।

x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 বৃত্তটির কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: কেন্দ্র (-g, -f) = (3, -2)। ব্যাসার্ধ r = √((-3)² + 2² - (-12)) = √(9 + 4 + 12) = √25 = 5 একক।
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 এর সাথে তুলনা করে g = -3, f = 2, c = -12।

4x² + 9y² = 36 উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা ও নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: a = 3, b = 2। e = √(1 - 4/9) = √5/3। নাভিলম্বের দৈর্ঘ্য = 2b²/a = 2(4)/3 = 8/3 একক।
উভয়পক্ষকে 36 দিয়ে ভাগ করে x²/9 + y²/4 = 1 আকারে আনুন।

যে-কোনো সমপরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রতা কত?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: e = √(1 + a²/a²) = √(1 + 1) = √2।
সমপরাবৃত্তে a = b। উৎকেন্দ্রতা সূত্র e = √(1 + b²/a²) ব্যবহার করুন।

একটি চলমান বিন্দু P-এর (3, 0) ও (-3, 0) বিন্দুদ্বয় থেকে দূরত্বের সমষ্টি 10 হলে P-এর সঞ্চারপথের সমীকরণ কী হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখুন

উত্তর: a = 5, ae = 3 ⇒ e = 3/5। অতএব b² = a²(1 - e²) = 25(1 - 9/25) = 16। সমীকরণ: x²/25 + y²/16 = 1।
SP + S'P = 2a উপবৃত্তের সমীকরণ প্রকাশ করে, যেখানে নাভি (±ae, 0) = (±3, 0) এবং 2a = 10।

অধ্যায় পড়া শেষ হয়েছে?

অনুশীলন শুরু করো