রাশিবিজ্ঞান

যৌগিক গড় বা মধ্যমা তথ্যের কেন্দ্রস্থ মানটি জানালেও পদগুলি কেন্দ্রের চারপাশে কতটা বিস্তৃত বা পুঞ্জীভূত রয়েছে, তা জানাতে পারে না।

নিচের তিনটি স্বতন্ত্র তথ্যসারির প্রতিটি বিবেচনা করি (প্রতিটিতে ৫টি করে পর্যবেক্ষণ রয়েছে):

• সারি ১: $50, \; 50, \; 50, \; 50, \; 50 \implies \text{গড় } \bar{x} = 50$
• সারি ২: $48, \; 49, \; 50, \; 51, \; 52 \implies \text{গড় } \bar{x} = 50$
• সারি ৩: $0, \; 25, \; 50, \; 75, \; 100 \implies \text{গড় } \bar{x} = 50$

প্রতিটি সারির গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান $50$। অথচ সারি ১-এ কোনো বিস্তৃতি নেই, সারি ২-এ বিস্তৃতি অতি সামান্য এবং সারি ৩-এ বিস্তৃতি চরম। অতএব কেন্দ্রীয় প্রবণতার মান এককভাবে সম্পূর্ণ তথ্যচিত্র প্রকাশ করতে পারে না।

কোনো রাশিমালার বৃহত্তম পর্যবেক্ষণ ($L$) এবং ক্ষুদ্রতম পর্যবেক্ষণের ($S$) বীজগণিতীয় অন্তরকে প্রসার ($R$) বলে:

সুবিধা ও অসুবিধা: প্রসার নির্ণয় করা অত্যন্ত সহজ হলেও এটি কেবল দুটি চরম বিন্দুর ওপর নির্ভর করে এবং মধ্যবর্তী সমস্ত তথ্যকে উপেক্ষা করে। কোনো আকস্মিক চরম মান (আউটলায়ার) থাকলে প্রসারের মান বিভ্রান্তিকর হয়।

গড় ব্যবধান হলো কোনো নির্বাচিত কেন্দ্রীয় মান (গড় বা মধ্যমা) থেকে প্রতিটি তথ্যের পরম দূরত্বের যৌগিক গড়।

যৌগিক গড়ের মৌলিক বীজগণিতীয় ধর্ম অনুসারে:

ধনাত্মক ও ঋণাত্মক বিচ্যুতিগুলি পরস্পর নাকচ হয়ে যোগফল শূন্য হয়ে যায়। এই অসুবিধা দূর করার জন্য বিচ্যুতির পরম মান (Modulus) $|x_i - \bar{x}| \ge 0$ গ্রহণ করা হয়।

পরিসংখ্যান বিভাজনে প্রতিটি মান $x_i$-এর পরিসংখ্যা $f_i$ এবং মোট পরিসংখ্যা $N = \sum f_i$ হলে:

১৮৯৩ সালে প্রখ্যাত রাশিবিজ্ঞানী কার্ল পিয়ারসন সমক বিস্তারের ধারণা প্রবর্তন করেন। পরম মানের বীজগণিতীয় সীমাবদ্ধতা দূর করতে বিচ্যুতির বর্গের ব্যবহারই এর ভিত্তি।

$n$ সংখ্যক পর্যবেক্ষণ $x_1, x_2, \dots, x_n$-এর গড় $\bar{x}$ হলে:

• সংজ্ঞাভিত্তিক রূপ: $$\mathbf{\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$$
• গণনাসূচক সরল রূপ: $$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - 2\bar{x}\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) + \bar{x}^2 = \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2$$
  $$\mathbf{\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2 \iff \sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2}}$$

পরিসংখ্যা $f_i$ এবং শ্রেণি মধ্যক $x_i$ বিশিষ্ট বিভাজনের জন্য ($N = \sum f_i$):

যখন শ্রেণি মধ্যবিন্দু ও পরিসংখ্যার মান অত্যন্ত বড় হয়, তখন সরাসরি গণনায় প্রচুর সময় লাগে। চলকের মূল ও মাপনীর পরিবর্তন ঘটিয়ে গণনা বহুগুণ সহজ করা হয়।

ধরা যাক একটি সুবিধাজনক কল্পিত গড় হলো $A$। বিচ্যুতি $d_i = x_i - A$ হলে:

সমান শ্রেণি দৈর্ঘ্য $h$ বিশিষ্ট বিভাজনে রূপান্তর চলক নেওয়া হয় $u_i = \frac{x_i - A}{h} \iff x_i = A + h u_i$:

রাশিমালার পদগুলিতে কোনো ধ্রুবক যোগ, বিয়োগ বা গুণ করলে সমক বিস্তার ও ভেদমানের ওপর তার সুনির্দিষ্ট প্রভাব পড়ে।

একত্রে মূল ও মাপনী পরিবর্তন করলে: $y_i = a x_i + b$:

ধরা যাক দুটি তথ্যসারির পদসংখ্যা $n_1, n_2$, গড় $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ এবং ভেদমান $\sigma_1^2, \sigma_2^2$:

1. সম্মিলিত গড়: $\mathbf{\bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}}$
2. গড়ের বিচ্যুতি: $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x}$ এবং $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x}$
3. সম্মিলিত ভেদমান: $$\mathbf{\sigma^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}}$$

ভিন্ন এককে প্রকাশিত তথ্যের বিস্তৃতি তুলনা করার জন্য পরম পরিমাপকের পরিবর্তে কার্ল পিয়ারসনের বিভেদাঙ্ক ব্যবহার করা হয়।

• শেয়ার বাজার ও ঝুঁকি মূল্যায়ন: দুটি কোম্পানির শেয়ারের প্রত্যাশিত লাভ সমান হলে, যে শেয়ারের দামের বিভেদাঙ্ক কম, বিনিয়োগকারীরা সেই শেয়ারকে নিরাপদ মনে করেন।
• শিল্প উৎপাদন ও মান নিয়ন্ত্রণ: কারখানায় উৎপাদিত বল-বেয়ারিং বা যন্ত্রাংশের ব্যাসের বিভেদাঙ্ক যত কম হবে, উৎপাদন তত নিখুঁত বলে গণ্য হয়।
• ক্রীড়া ক্ষেত্রে খেলোয়াড় বাছাই: জাতীয় দলের জন্য এমন খেলোয়াড়কে অগ্রাধিকার দেওয়া হয় যার ব্যক্তিগত রানের বিভেদাঙ্ক সবচেয়ে কম, অর্থাৎ যিনি চাপে ধারাবাহিকভাবে রান করতে সক্ষম।