सम्मिश्र संख्याएं और द्विघात समीकरण

वास्तविक संख्या निकाय $\mathbb{R}$ में किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता ($x^2 \ge 0$)। इस कारण $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$ जैसे समीकरणों का वास्तविक संख्याओं में कोई हल नहीं होता। इस सीमा को दूर करने के लिए स्विस गणितज्ञ लियोनार्ड ऑयलर ने ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल को दर्शाने हेतु काल्पनिक इकाई $\mathbf{i}$ (iota) का प्रतिपादन किया।

काल्पनिक इकाई की मूलभूत परिभाषा:

$i$ की धनात्मक पूर्णांक घातें एक निश्चित 4-चरणीय चक्रीय क्रम का पालन करती हैं:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$
• $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

किसी भी पूर्णांक $n \in \mathbb{Z}$ को $4$ से भाग देने पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार $n = 4k + r$ लिखा जा सकता है, जहाँ शेषफल $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ है। अतः:

ऋणात्मक घातों के लिए भी यही नियम लागू होता है: $i^{-1} = \frac{1}{i} = \frac{i}{i^2} = -i$, $i^{-2} = -1$, $i^{-3} = i$, $i^{-4} = 1$।

वह संख्या जिसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सके:

उसे एक सम्मिश्र संख्या (Complex Number) कहा जाता है। समस्त सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को $\mathbb{C}$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

• $\mathbf{a = \text{Re}(z)}$ को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग (Real Part) कहते हैं।
• $\mathbf{b = \text{Im}(z)}$ को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग (Imaginary Part) कहते हैं (ध्यान दें: $\text{Im}(z)$ वास्तविक गुणांक $b$ है, $ib$ नहीं)।
• यदि $b = 0$ हो, तो $z = a$ एक शुद्ध वास्तविक संख्या (Purely Real) कहलाती है ($\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$)।
• यदि $a = 0$ तथा $b \neq 0$ हो, तो $z = ib$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या (Purely Imaginary) कहलाती है।
• संख्या $0 = 0 + 0i$ एक साथ शुद्ध वास्तविक और शुद्ध काल्पनिक दोनों है।

दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a_1 + ib_1$ तथा $z_2 = a_2 + ib_2$ परस्पर समान ($z_1 = z_2$) तभी होती हैं जब उनके वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग पृथक-पृथक समान हों:

क्रम असमिका टिप्पणी: सम्मिश्र संख्याओं में कोई क्रम संबंध ($>$ अथवा $<$) परिभाषित नहीं होता। $z_1 > z_2$ या $z_1 < z_2$ जैसे कथन सर्वथा अर्थहीन हैं, जब तक कि दोनों संख्याएँ शुद्ध वास्तविक न हों।

सम्मिश्र संख्याओं पर जोड़, घटाव, गुणा और भाग की संक्रियाएँ सामान्य बीजगणितीय नियमों तथा $i^2 = -1$ के संबंध का पालन करती हैं। बीजगणितीय दृष्टि से $(\mathbb{C}, +, \cdot)$ एक पूर्ण क्षेत्र (Field) निर्मित करता है।

माना $z_1 = a + ib$ तथा $z_2 = c + id$ जहाँ $a, b, c, d \in \mathbb{R}$:

किसी भी अशून्य सम्मिश्र संख्या $z = a + ib \neq 0$ का गुणन प्रतिलोम $z^{-1} = \frac{1}{z}$ होता है:

यदि $z = a + ib$ हो, तो उसके काल्पनिक भाग का चिन्ह बदलकर प्राप्त होने वाली सम्मिश्र संख्या को $z$ की संयुग्मी सम्मिश्र संख्या कहते हैं और इसे $\bar{z}$ द्वारा व्यक्त करते हैं:

ज्यामितीय रूप से, आरगैंड तल में वास्तविक अक्ष के सापेक्ष $z$ का दर्पण प्रतिबिंब ही $\bar{z}$ होता है।

1. $\overline{(\bar{z})} = z$ (द्वैत प्रतिलोमन नियम)
2. $z + \bar{z} = (a + ib) + (a - ib) = 2a = \mathbf{2\,\text{Re}(z)}$ (सदैव वास्तविक)
3. $z - \bar{z} = (a + ib) - (a - ib) = 2ib = \mathbf{2i\,\text{Im}(z)}$ (शुद्ध काल्पनिक अथवा शून्य)
4. $z = \bar{z} \iff \text{Im}(z) = 0 \iff z \text{ शुद्ध वास्तविक है}$
5. $z + \bar{z} = 0 \iff \text{Re}(z) = 0 \iff z \text{ शुद्ध काल्पनिक है}$
6. $\mathbf{z \cdot \bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |z|^2}$
7. $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2$
8. $\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$
9. $\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} \quad (z_2 \neq 0)$

जिस प्रकार वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जाता है, उसी प्रकार प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को द्विविमीय तल में एक अद्वितीय बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस तल को आरगैंड तल (Argand Plane) या गॉसीय तल कहा जाता है।

प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z = a + ib$ को क्रमित युग्म $(a, b)$ के रूप में एक बिंदु $P(a, b)$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है:

• क्षैतिज $X$-अक्ष को वास्तविक अक्ष (Real Axis) कहते हैं (बिंदु $(a, 0)$ वास्तविक संख्या $a$ को दर्शाता है)।
• ऊर्ध्वाधर $Y$-अक्ष को काल्पनिक अक्ष (Imaginary Axis) कहते हैं (बिंदु $(0, b)$ काल्पनिक संख्या $ib$ को दर्शाता है)।
• मूलबिंदु $O(0, 0)$ सम्मिश्र संख्या $0 = 0 + 0i$ को निरूपित करता है।

$z = a + ib$ का मापांक $|z|$, आरगैंड तल में मूलबिंदु $O(0,0)$ से बिंदु $P(a, b)$ की यूक्लिडीय दूरी होता है:

मापांक के प्रमुख प्रगुण:

• $|z| \ge 0$, तथा $|z| = 0 \iff z = 0$।
• $|z| = |-z| = |\bar{z}| = |-\bar{z}| = \sqrt{a^2 + b^2}$।
• $-|z| \le \text{Re}(z) \le |z|$ तथा $-|z| \le \text{Im}(z) \le |z|$।
• $z \cdot \bar{z} = |z|^2 \implies \mathbf{z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}}$।
• गुणन प्रगुण: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ तथा $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad (z_2 \neq 0)$।
• त्रिभुज असमिका (Triangle Inequality): $$\mathbf{|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|} \quad \text{तथा} \quad \mathbf{|z_1 - z_2| \ge ||z_1| - |z_2||}$$ समानता $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$ तभी होती है जब मूलबिंदु $O$, $z_1$, और $z_2$ समरेखीय हों तथा मूलबिंदु के एक ही ओर स्थित हों ($\text{Arg}(z_1) = \text{Arg}(z_2)$)।
• समांतर चतुर्भुज नियम: $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$।

आरगैंड तल में बिंदु $P$ के स्थिति सदिश $\vec{OP}$ द्वारा धनात्मक वास्तविक अक्ष की दिशा के साथ वामावर्त दिशा में बनाया गया कोण सम्मिश्र संख्या का कोणांक या आयाम (Argument / Amplitude) कहलाता है ($\arg(z)$)।

अद्वितीय मान सुनिश्चित करने के लिए मुख्य कोणांक $\text{Arg}(z) = \theta$ को सदैव अर्ध-विवृत अंतराल में सीमित रखा जाता है:

मुख्य कोणांक ज्ञात करने का नियम:

1. सर्वप्रथम संदर्भ न्यूनकोण ज्ञात कीजिए: $\mathbf{\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{b}{a}\right|}$, जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$।
2. बिंदु $P(a, b)$ के चतुर्थांश का निर्धारण कर निम्नानुसार $\theta$ की गणना कीजिए:

• धनात्मक वास्तविक अक्ष ($z = a > 0$): $\theta = 0$
• ऋणात्मक वास्तविक अक्ष ($z = -a < 0$): $\theta = \pi$
• धनात्मक काल्पनिक अक्ष ($z = ib, b > 0$): $\theta = \frac{\pi}{2}$
• ऋणात्मक काल्पनिक अक्ष ($z = -ib, b > 0$): $\theta = -\frac{\pi}{2}$
• $z = 0$ के लिए मापांक $|0| = 0$, किंतु कोणांक अपरिभाषित है।

कार्तीय रूप $z = a + ib$ योग और घटाव के लिए सरल है, किंतु सम्मिश्र संख्याओं के गुणन, भाग तथा उच्चतर घातें ज्ञात करने के लिए ध्रुवीय (त्रिकोणमितीय) रूप और चरघातांकी रूप सर्वाधिक उपयोगी होते हैं।

माना $z = a + ib \neq 0$ का मापांक $r = |z|$ तथा मुख्य कोणांक $\theta = \text{Arg}(z)$ है। समकोण त्रिभुज के आधार पर:

इन मानों को $z = a + ib$ में प्रतिस्थापित करने पर ध्रुवीय रूप प्राप्त होता है:

ऑयलर के प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ होता है। अतः किसी भी सम्मिश्र संख्या को चरघातांकी रूप में संक्षेप में लिखा जा सकता है:

माना $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ तथा $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$:

1. सम्मिश्र गुणन: $$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]$$ $$\mathbf{|z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = r_1 r_2} \quad \text{तथा} \quad \mathbf{\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)}$$ ज्यामितीय अर्थ: $z_1$ को $z_2$ से गुणा करने पर मूलबिंदु से उसकी दूरी $r_2$ गुना बढ़ जाती है तथा स्थिति सदिश वामावर्त दिशा में $\theta_2$ कोण घूम जाता है।
2. सम्मिश्र भाग: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]$$ $$\mathbf{\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} = \frac{r_1}{r_2}} \quad \text{तथा} \quad \mathbf{\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)}$$

किसी भी पूर्णांक $n \in \mathbb{Z}$ तथा वास्तविक कोण $\theta$ के लिए:

फलस्वरूप, यदि $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ हो, तो:

सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल बीजगणितीय विधि से निकालना तथा $x^3 = 1$ समीकरण के काल्पनिक मूलों के रूप में इकाई के घनमूलों के प्रगुण पश्चिम बंगाल बोर्ड परीक्षा के महत्वपूर्ण प्रश्न-क्षेत्र हैं।

माना $\sqrt{a + ib} = x + iy$, जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

वास्तविक एवं काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:

1. $x^2 - y^2 = a$
2. $2xy = b$

सर्वसमिका $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = a^2 + b^2$ का प्रयोग करने पर:

दोनों समीकरणों को जोड़ने व घटाने पर $x$ तथा $y$ के मान प्राप्त होते हैं:

मानक वर्गमूल:

• $\sqrt{i} = \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$
• $\sqrt{-i} = \pm \frac{1 - i}{\sqrt{2}}$

समीकरण $x^3 = 1 \implies x^3 - 1 = 0$ के गुणनखंड करने पर:

यहाँ से तीन मूल प्राप्त होते हैं:

1. वास्तविक मूल: $x = 1$
2. द्विघात भाग $x^2 + x + 1 = 0$ से काल्पनिक मूल: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2} = \mathbf{\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}}$$

यदि एक काल्पनिक मूल को $\mathbf{\omega}$ (ओमेगा) से व्यक्त करें:

अतः इकाई का प्रत्येक काल्पनिक घनमूल दूसरे का वर्ग होता है!

माध्यमिक कक्षाओं में द्विघात समीकरण का विविक्तकर $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ होने पर यह कहा जाता था कि समीकरण का "कोई वास्तविक मूल नहीं है"। कक्षा 11 में सम्मिश्र संख्या निकाय $\mathbb{C}$ की सहायता से प्रत्येक द्विघात समीकरण के ठीक दो मूल सुनिश्चित रूप से प्राप्त किए जाते हैं।

वास्तविक गुणांकों $a, b, c \in \mathbb{R}$ ($a \neq 0$) के लिए श्रीधराचार्य द्विघाती सूत्र:

जब विविक्तकर $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ हो, तो ऋणात्मक पद से $-1$ बाहर निकालकर:

अतः सम्मिश्र मूल होंगे:

महत्वपूर्ण चेतावनी: समीकरण के गुणांक वास्तविक होने अनिवार्य हैं। यदि गुणांक सम्मिश्र हों (जैसे $x^2 - ix + 2 = 0$), तो मूल संयुग्मी होना आवश्यक नहीं है!

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ होने पर:

• मूलों का योग: $\mathbf{\alpha + \beta = -\frac{b}{a}}$
• मूलों का गुणनफल: $\mathbf{\alpha \beta = \frac{c}{a}}$
• समीकरण निर्माण: दिए गए मूलों $\alpha$ और $\beta$ से बनने वाला द्विघात समीकरण: $$\mathbf{x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \beta) = 0}$$