संबंध एवं फलन

समुच्चय सिद्धांत से संबंध, फलन और वैश्लेषिक ज्यामिति की यात्रा क्रमित युग्म (Ordered Pair) और कार्तीय गुणन (Cartesian Product) की संकल्पना से प्रारंभ होती है, जिसका नामकरण महान फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ रेने देकार्त (René Descartes, 1596–1650) के सम्मान में किया गया है।

जब दो अवयवों को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करके कोष्ठक के भीतर लिखा जाता है, तो उसे क्रमित युग्म (Ordered Pair) कहते हैं, जिसे $(a, b)$ द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ $a$ को प्रथम घटक या भुज (Abscissa) तथा $b$ को द्वितीय घटक या कोटि (Ordinate) कहा जाता है।

समुच्चय से मौलिक अंतर: समुच्चय में अवयवों का क्रम अर्थहीन होता है: $\{1, 2\} = \{2, 1\}$। परंतु क्रमित युग्म में क्रम सर्वोपरि है: $(1, 2) \neq (2, 1)$ (जब तक कि दोनों अवयव समान न हों)।

माना $A$ और $B$ दो अरिक्त (non-empty) समुच्चय हैं। $A$ और $B$ का कार्तीय गुणन $A \times B$ (उच्चारण: "$A$ cross $B$") उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जिनका प्रथम अवयव $a \in A$ तथा द्वितीय अवयव $b \in B$ हो।

• यदि $A = \emptyset$ अथवा $B = \emptyset$ हो, तो परिभाषा अनुसार $A \times B = \emptyset$ होगा।
• अ-क्रमविनिमेयता: सामान्यतः $A \times B \neq B \times A$। ये दोनों समुच्चय केवल तभी समान होते हैं जब $A = B$ हो।

यदि $A$ और $B$ दो परिमित समुच्चय हैं जिनमें $n(A) = p$ तथा $n(B) = q$ अवयव हैं, तो:

उपपत्ति की रूपरेखा: समुच्चय $A$ से प्रथम अवयव $a$ चुनने के $p$ स्वतंत्र विकल्प हैं। इनमें से प्रत्येक विकल्प के लिए समुच्चय $B$ से द्वितीय अवयव $b$ चुनने के $q$ स्वतंत्र विकल्प हैं। गणना के मूल गुणन सिद्धांत के अनुसार कुल क्रमित युग्मों की संख्या $p \times q$ होगी।

कार्तीय गुणन समुच्चय की मूलभूत संक्रियाओं (सम्मेलन, सर्वनिष्ठ और अंतर) पर वितरित होता है:

1. सम्मेलन पर वितरण: $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$
2. सर्वनिष्ठ पर वितरण: $A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
3. अंतर पर वितरण: $A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)$
4. उभयनिष्ठ अवयव प्रमेय (बोर्ड परीक्षा हेतु अत्यंत महत्वपूर्ण): यदि दो समुच्चयों $A$ और $B$ में $k$ अवयव उभयनिष्ठ (common) हों, अर्थात् $n(A \cap B) = k$, तो $A \times B$ तथा $B \times A$ में ठीक $k^2$ अवयव उभयनिष्ठ होंगे: $$(A \times B) \cap (B \times A) = (A \cap B) \times (B \cap A) \implies n((A \times B) \cap (B \times A)) = k^2$$

• $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 = \{(x, y) : x, y \in \mathbb{R}\}$ संपूर्ण सतत 2-विमीय कार्तीय निर्देशांक तल (Cartesian Plane) को निरूपित करता है।
• $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^3 = \{(x, y, z) : x, y, z \in \mathbb{R}\}$ संपूर्ण 3-विमीय यूक्लिडीय आकाश (3D Space) को निरूपित करता है।

दैनिक जीवन में "पिता-पुत्र", "बड़ा है", "सहोदर है" जैसे संबंध दो व्यक्तियों या वस्तुओं के बीच संबंध दर्शाते हैं। गणित में इस विचार को कार्तीय गुणन के उपसमुच्चयों के रूप में अमूर्त व सटीक बनाया गया है।

किसी अरिक्त समुच्चय $A$ से किसी अरिक्त समुच्चय $B$ में एक संबंध $R$ (Relation) कार्तीय गुणन $A \times B$ का कोई भी उपसमुच्चय होता है।

यदि संबंध एक ही समुच्चय $A$ से $A$ में हो ($R \subseteq A \times A$), तो इसे समुच्चय $A$ पर एक संबंध कहा जाता है।

माना $A$ और $B$ दो परिमित समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः $n(A) = p$ और $n(B) = q$ अवयव हैं।

• कार्तीय गुणन $A \times B$ में कुल $p \cdot q$ अवयव होते हैं।
• चूँकि $A \times B$ का प्रत्येक उपसमुच्चय एक संबंध को निरूपित करता है, अतः $A$ से $B$ में कुल संभव संबंधों की संख्या $A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर होगी: $$\mathbf{\text{कुल संबंधों की संख्या} = 2^{n(A \times B)} = 2^{p \cdot q}}$$
• इनमें से अरिक्त संबंधों की संख्या $2^{pq} - 1$ होती है।

1. रिक्त संबंध (Empty Relation): $\Phi \subseteq A \times B$। इसमें कोई क्रमित युग्म नहीं होता।
2. सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation): $U = A \times B$। इसमें कार्तीय गुणन के सभी क्रमित युग्म उपस्थित होते हैं।
3. तत्समक संबंध (Identity Relation): समुच्चय $A$ पर $I_A = \{(a, a) : a \in A\}$। प्रत्येक अवयव केवल और केवल स्वयं से संबंधित होता है।
4. प्रतिलोम संबंध (Inverse Relation): यदि $R \subseteq A \times B$ हो, तो इसका प्रतिलोम संबंध $R^{-1} \subseteq B \times A$ निम्न प्रकार परिभाषित होता है: $$R^{-1} = \{(b, a) : (a, b) \in R\}$$ महत्वपूर्ण गुणधर्म: $\text{Dom}(R^{-1}) = \text{Range}(R)$ तथा $\text{Range}(R^{-1}) = \text{Dom}(R)$।

फलन (Function या Mapping) एक ऐसा विशिष्ट संबंध है जो समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव को समुच्चय $B$ के एक अद्वितीय अवयव से जोड़ता है। यह पूरी उच्च गणित और कलन का आधार है।

माना $A$ और $B$ दो अरिक्त समुच्चय हैं। समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ में एक संबंध $f$ एक फलन (Function) अथवा प्रतिचित्रण (Mapping) कहलाता है, जिसे प्रतीकात्मक रूप से $f: A \to B$ लिखा जाता है, यदि और केवल यदि यह निम्नलिखित दो कठोर नियमों को संतुष्ट करे:

यदि $(x, y) \in f$ हो, तो हम लिखते हैं $y = f(x)$, जहाँ $y$ को $x$ का प्रतिबिंब (Image) तथा $x$ को $y$ का पूर्व-प्रतिबिंब (Pre-image) कहा जाता है।

यदि $n(A) = p$ तथा $n(B) = q$ परिमित समुच्चय हों, तो $A$ से $B$ में कुल फलनों की संख्या:

तार्किक व्याख्या: समुच्चय $A$ के $p$ अवयवों में से प्रत्येक अवयव के पास समुच्चय $B$ के $q$ अवयवों में से किसी एक को अपना प्रतिबिंब चुनने के स्वतंत्र रूप से $q$ विकल्प हैं। अतः गुणन नियम से कुल फलनों की संख्या $q \times q \times \dots \times q \ (p \text{ बार}) = q^p$ होगी।

कार्तीय तल $\mathbb{R}^2$ में खींचा गया कोई भी वक्र $y = f(x)$ के रूप में एक वैध वास्तविक फलन का आलेख है या नहीं, इसे ज्यामितीय रूप से जांचने की यह सबसे शक्तिशाली विधि है:

• यदि कोई ऊर्ध्वाधर रेखा वक्र को दो या दो से अधिक बिंदुओं पर काटती है, तो वह वक्र फलन नहीं है (क्योंकि एक ही इनपुट मान $x$ के दो भिन्न आउटपुट मान $y_1 \neq y_2$ प्राप्त हो रहे हैं, जो अद्वितीयता नियम का उल्लंघन है)।
• उदाहरण 1: वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ एक फलन नहीं है, क्योंकि ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 0$ इसे दो बिंदुओं $(0, r)$ और $(0, -r)$ पर काटती है।
• उदाहरण 2: परवलय $y = x^2$ एक वैध फलन है, जबकि $y^2 = x$ एक फलन नहीं है।

वास्तविक मान फलन (Real-valued Function) वे फलन होते हैं जिनका प्रांत और परिसर दोनों वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ अथवा उसके उपसमुच्चय होते हैं। कैलकुलस में इन मानक फलनों का आलेखीय व बीजगणितीय व्यवहार अत्यंत महत्वपूर्ण है।

कैलकुलस और असमिकाओं को हल करने में निम्नलिखित सूत्र आधारभूत हैं:

• $|x| \le a \iff -a \le x \le a \quad (a > 0)$
• $|x| \ge a \iff x \le -a \quad \text{अथवा} \quad x \ge a \quad (a > 0)$
• त्रिभुज असमिका: $|x + y| \le |x| + |y|$ तथा $|x - y| \ge ||x| - |y||$
• $\sqrt{x^2} = |x|$ (यह सर्वदा सत्य है, $\sqrt{x^2} = \pm x$ लिखना गणितीय रूप से अमान्य है)।

• $[x] \le x < [x] + 1$ तथा $x - 1 < [x] \le x$
• $[x + k] = [x] + k$, जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ (कोई भी पूर्णांक बाहर निकाला जा सकता है)।
• $[x] + [-x] = \begin{cases} 0, & \text{यदि } x \in \mathbb{Z} \\ -1, & \text{यदि } x \notin \mathbb{Z} \end{cases}$

जब दो वास्तविक फलनों का योग, अंतर, गुणन अथवा भाग किया जाता है, तो परिणामी फलन का प्रांत दोनों मूल फलनों के प्रांतों के सर्वनिष्ठ (Intersection) द्वारा निर्धारित होता है।

माना $f: D_1 \to \mathbb{R}$ तथा $g: D_2 \to \mathbb{R}$ दो वास्तविक फलन हैं, जहाँ $D_1, D_2 \subseteq \mathbb{R}$।

बोर्ड परीक्षा (WBCHSE) एवं प्रवेश परीक्षाओं (WBJEE) में सबसे अधिक अंक वास्तविक फलनों के प्रांत (Domain) और परिसर (Range) ज्ञात करने पर आवंटित होते हैं। इसके लिए सुनियोजित बीजगणितीय विधियों का पालन करना चाहिए।

1. परिमेय व्यंजक नियम: यदि व्यंजक $\frac{P(x)}{Q(x)}$ के रूप में हो, तो हर कभी शून्य नहीं हो सकता: $$\mathbf{Q(x) \neq 0}$$
2. वर्गमूल / सममूल नियम: यदि व्यंजक $\sqrt{f(x)}$ या $\sqrt[2n]{f(x)}$ के रूप में हो, तो करणी के भीतर की राशि अऋणात्मक होनी चाहिए: $$\mathbf{f(x) \ge 0}$$
3. हर में स्थित वर्गमूल नियम: यदि व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{f(x)}}$ हो, तो राशि धनात्मक और अशून्य होनी चाहिए: $$\mathbf{f(x) > 0}$$
4. लघुगणकीय नियम: यदि व्यंजक $\log_b(f(x))$ हो, तो कोणांक $f(x) > 0$ तथा आधार $b > 0, b \neq 1$ होना चाहिए।

• विधि 1: चर $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करना (Inversion Method): दिए गए समीकरण $y = f(x)$ को $x = \phi(y)$ के रूप में रूपांतरित करें। तत्पश्चात उन सभी वास्तविक मानों $y$ का समुच्चय ज्ञात करें जिनके लिए $x$ वास्तविक बना रहे और मूल प्रांत में स्थित हो।
• विधि 2: पूर्ण वर्ग बनाकर सीमा निर्धारण: द्विघात व्यंजकों $f(x) = ax^2 + bx + c$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम अथवा अधिकतम मान ज्ञात करें।
• विधि 3: परिबद्ध फलनों के गुणधर्मों का उपयोग: जैसे $-1 \le \sin x \le 1$, $0 \le |x| < \infty$, अथवा $0 \le \{x\} < 1$ का उपयोग करके परिसर की सीमाएं सीधे निर्धारित करना।