समुच्चय सिद्धांत

उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में 1874 ईस्वी में जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर (Georg Cantor) ने त्रिकोणमितीय श्रेणियों और सांतत्यक पर शोध करते समय समुच्चय सिद्धांत का आविष्कार किया। प्रारंभ में विरोध के बावजूद यह आधुनिक गणित की सार्वभौमिक भाषा बन गया।

वास्तविक या विचार जगत की सुपरिभाषित एवं परस्पर भिन्न वस्तुओं के संग्रह को समुच्चय (Set) कहते हैं। संग्रह की वस्तुओं को समुच्चय के अवयव या सदस्य (Elements / Members) कहा जाता है।

• वैध समुच्चय: "अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों का संग्रह" — सुपरिभाषित है, क्योंकि {a, e, i, o, u} में कोई मतभेद नहीं है। "20 से छोटी अभाज्य संख्याओं का संग्रह" — सुपरिभाषित है ({2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19})।
• अवैध संग्रह (समुच्चय नहीं हैं): "भारत के 5 सर्वश्रेष्ठ वैज्ञानिकों का संग्रह" — समुच्चय नहीं है, क्योंकि "सर्वश्रेष्ठ" एक व्यक्तिपरक विशेषण है जिसका कोई सार्वभौमिक पैमाना नहीं है। "कक्षा 11 गणित के कठिन अध्यायों का संग्रह" — समुच्चय नहीं है।

समुच्चयों को अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों ($A, B, C, X, Y, Z$) द्वारा तथा उनके अवयवों को छोटे अक्षरों ($a, b, c, x, y, z$) या संख्याओं द्वारा दर्शाया जाता है।

• यदि $x$ समुच्चय $A$ का अवयव है, तो लिखते हैं: $x \in A$ (पढ़ा जाता है: "$x$ belongs to $A$" अथवा "$x$, $A$ का अवयव है")।
• यदि $x$ समुच्चय $A$ का अवयव नहीं है, तो लिखते हैं: $x \notin A$ (पढ़ा जाता है: "$x$ does not belong to $A$")।

उच्च माध्यमिक गणित में प्रयुक्त सार्वभौमिक संख्या समुच्चय:

• $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ : सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय (Natural Numbers)।
• $\mathbb{W} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$ : सभी पूर्ण संख्याओं का समुच्चय (Whole Numbers)।
• $\mathbb{Z}$ अथवा $\mathbb{I} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$ : सभी पूर्णांकों का समुच्चय (Integers)।
• $\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0, \gcd(p, q) = 1\right\}$ : सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Rational Numbers)।
• $\mathbb{R}$ : सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (Real Numbers) (परिमेय एवं अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय)।
• $\mathbb{C} = \{a + ib : a, b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1}\}$ : सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय (Complex Numbers)।

समुच्चयों के विभिन्न प्रकार तथा उनके मध्य अंतर्विष्टि संबंधों की स्पष्ट समझ उच्च गणित का आधार है।

• रिक्त समुच्चय (Empty / Null / Void Set): वह समुच्चय जिसमें एक भी अवयव न हो। इसे डेनिश अक्षर $\emptyset$ (फाई) या खाली कोष्ठक $\{\}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
  अवयवों की संख्या: $n(\emptyset) = 0$।
  उदाहरण: $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 + 9 = 0 \text{ तथा } x \in \mathbb{R}\} = \emptyset$; $B = \{x \in \mathbb{N} : 3 < x < 4\} = \emptyset$।
  परीक्षक का जाल: $\{\emptyset\}$ रिक्त समुच्चय नहीं है! यह एक एकल समुच्चय है जिसका एकमात्र अवयव स्वयं $\emptyset$ है। इसी प्रकार $\{0\}$ भी एक एकल समुच्चय है।
• एकल समुच्चय (Singleton Set): वह समुच्चय जिसमें केवल एक ही अवयव हो। $n(A) = 1$।
  उदाहरण: $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 = 36\} = \{6\}$। सम अभाज्य संख्या का समुच्चय: $\{2\}$।
• परिमित (Finite) एवं अपरिमित (Infinite) समुच्चय:
  जिस समुच्चय में अवयवों की संख्या निश्चित व गणनीय हो, उसे परिमित समुच्चय कहते हैं। इसके भिन्न अवयवों की संख्या को इसकी प्रमुख संख्या (Cardinal Number) कहते हैं, जिसे $n(A)$ या $|A|$ लिखा जाता है।
  जिस समुच्चय में अवयवों की संख्या अपरिमित हो, उसे अपरिमित समुच्चय कहते हैं (जैसे: $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}$)।
• समान समुच्चय (Equal Sets, $A = B$): दो समुच्चय $A$ और $B$ समान कहलाते हैं यदि और केवल यदि उनके अवयव बिल्कुल एक जैसे हों।
  प्रतीकात्मक रूप: $A = B \iff (\forall x, x \in A \iff x \in B)$ अर्थात् $A \subseteq B$ तथा $B \subseteq A$।
• तुल्य समुच्चय (Equivalent Sets, $A \sim B$): दो परिमित समुच्चय $A$ और $B$ तुल्य कहलाते हैं यदि उनमें अवयवों की संख्या समान हो, अर्थात् $n(A) = n(B)$।
  शाश्वत सत्य: सभी समान समुच्चय तुल्य होते हैं, परंतु तुल्य समुच्चय समान हों यह आवश्यक नहीं है! (जैसे $\{1, 2, 3\} \sim \{a, b, c\}$ क्योंकि दोनों में 3 अवयव हैं, किंतु वे समान नहीं हैं)।

यदि समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $B$ का भी अवयव हो, तो $A$ को $B$ का उपसमुच्चय (Subset) कहते हैं और इसे $A \subseteq B$ लिखते हैं। तब $B$ को $A$ का अधिसमुच्चय (Superset) ($B \supseteq A$) कहा जाता है।

• प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है: प्रत्येक समुच्चय $A$ के लिए $A \subseteq A$ (स्वतुल्य गुण)।
• रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है: किसी भी समुच्चय $A$ के लिए $\emptyset \subseteq A$।
• उचित उपसमुच्चय (Proper Subset, $A \subset B$): यदि $A \subseteq B$ और $A \neq B$ हो, तो $A$ को $B$ का उचित उपसमुच्चय कहते हैं। अर्थात् $B$ में कम से कम एक अवयव ऐसा होगा जो $A$ में नहीं है।
  उदाहरण: यदि $A = \{1, 2\}$ और $B = \{1, 2, 3\}$ हो, तो $A \subset B$।
• संक्रामक गुण: यदि $A \subseteq B$ और $B \subseteq C$ हो, तो $A \subseteq C$।
• समुच्चय समानता की कसौटी: $A = B \iff (A \subseteq B \text{ तथा } B \subseteq A)$। यही प्रमेय सभी बीजगणितीय सूत्रों को सिद्ध करने की कुंजी है!

वास्तविक संख्या रेखा $\mathbb{R}$ के सतत खंडों को रोस्टर रूप में नहीं लिखा जा सकता। उन्हें अंतरालों के रूप में व्यक्त किया जाता है:

घात समुच्चय द्विपद प्रमेय एवं संयोजन गणित का मूल आधार है, जबकि वेन आरेख अमूर्त संबंधों को दृश्य ज्यामिति प्रदान करता है।

किसी दिए गए समुच्चय $A$ के सभी उपसमुच्चयों के संग्रह को $A$ का घात समुच्चय (Power Set) कहते हैं। इसे $P(A)$ या $\mathcal{P}(A)$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

ध्यान दें कि घात समुच्चय का प्रत्येक अवयव स्वयं एक समुच्चय होता है! किसी भी समुच्चय $A$ के लिए:

• $\emptyset \in P(A)$ (क्योंकि $\emptyset \subseteq A$)
• $A \in P(A)$ (क्योंकि $A \subseteq A$)

यदि किसी परिमित समुच्चय $A$ में $n$ अवयव हों (अर्थात् $n(A) = n$), तो:

1. $A$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है, अर्थात् $n(P(A)) = |P(A)| = 2^n$।
2. $A$ के उचित उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ होती है (क्योंकि समुच्चय $A$ स्वयं का उचित उपसमुच्चय नहीं है)।
3. $A$ के अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ होती है (रिक्त समुच्चय $\emptyset$ को छोड़कर)।
4. $A$ के अरिक्त उचित उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 2$ होती है ($\emptyset$ तथा $A$ दोनों को छोड़कर)।

किसी विशिष्ट संदर्भ अथवा गणितीय विवेचना में विचारणीय सभी समुच्चय यदि किसी एक निश्चित वृहद् समुच्चय के उपसमुच्चय हों, तो उस मूल समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set) कहते हैं। इसे $U$ अथवा $\xi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

• निर्देशांक ज्यामिति में सार्वत्रिक समुच्चय कार्तीय तल $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ है।
• पूर्णांकों के सिद्धांत में सार्वत्रिक समुच्चय पूर्णांक समुच्चय $\mathbb{Z}$ है।

अंग्रेज तर्कशास्त्री जॉन वेन (John Venn, 1834–1923) ने समुच्चयों के संबंधों को चित्रों द्वारा निरूपित करने की पद्धति दी:

• सार्वत्रिक समुच्चय $U$ को एक आयत द्वारा निरूपित किया जाता है।
• सार्वत्रिक समुच्चय के उपसमुच्चयों (जैसे $A, B, C$) को आयत के भीतर वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है।
• उपसमुच्चय ($A \subseteq B$) दर्शाने के लिए वृत्त $A$ को वृत्त $B$ के भीतर पूर्णतः खींचा जाता है।
• असंयुक्त समुच्चयों ($A \cap B = \emptyset$) को परस्पर अलग-अलग वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है।

जिस प्रकार संख्याओं में जोड़ व गुणा की संक्रियाएं होती हैं, उसी प्रकार समुच्चयों में सम्मिलन, सर्वनिष्ठ, अंतर एवं पूरक मूल संक्रियाएं हैं।

दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव होते हैं जो या तो $A$ में हैं, या $B$ में हैं, या दोनों में हैं।

उदाहरण: यदि $A = \{1, 2, 3, 4\}$ तथा $B = \{3, 4, 5, 6\}$, तो $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।

दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ वह समुच्चय है जिसमें वे सभी उभयनिष्ठ अवयव होते हैं जो $A$ और $B$ दोनों में एक साथ उपस्थित हैं।

उदाहरण: उपर्युक्त उदाहरण में $A \cap B = \{3, 4\}$।

• असंयुक्त समुच्चय (Disjoint Sets): यदि दो समुच्चयों में कोई भी उभयनिष्ठ अवयव न हो, अर्थात् उनका सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय हो, तो उन्हें असंयुक्त समुच्चय कहते हैं। शर्त: $A \cap B = \emptyset$।

समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ का अंतर उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में तो हैं परंतु $B$ में नहीं हैं।

महत्वपूर्ण गुण: समुच्चयों का अंतर सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता, अर्थात् $A - B \neq B - A$ (जब तक कि $A = B$ न हो)।

उदाहरण: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ तथा $B = \{3, 4, 5, 6\}$ के लिए:
$A - B = \{1, 2\}$
$B - A = \{5, 6\}$
ध्यान दें कि $(A - B)$, $(A \cap B)$ तथा $(B - A)$ परस्पर असंयुक्त समुच्चय हैं और उनका सम्मिलन $A \cup B$ होता है!

दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सममित अंतर उन अवयवों का समुच्चय है जो या तो $A$ में हैं या $B$ में हैं, किंतु दोनों के उभयनिष्ठ सर्वनिष्ठ में नहीं हैं।

उदाहरण: $A = \{1, 2, 3, 4\}$ तथा $B = \{3, 4, 5, 6\}$ के लिए $A \Delta B = \{1, 2\} \cup \{5, 6\} = \{1, 2, 5, 6\}$।
गुणधर्म: $A \Delta B = B \Delta A$ (क्रमविनिमेय); $A \Delta A = \emptyset$; $A \Delta \emptyset = A$।

सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के सापेक्ष किसी उपसमुच्चय $A$ का पूरक समुच्चय उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $U$ में हैं परंतु $A$ में नहीं हैं।

पूरक समुच्चय के मूलभूत गुणधर्म:

1. $A \cup A' = U$ (पूरक सम्मिलन नियम)
2. $A \cap A' = \emptyset$ (पूरक सर्वनिष्ठ नियम)
3. $(A')' = A$ (द्वि-पूरक नियम / Law of Involution)
4. $U' = \emptyset$ तथा $\emptyset' = U$ (सार्वत्रिक व रिक्त समुच्चय के पूरक)

समुच्चय बीजगणित संक्रियाओं के प्रतीकात्मक नियमों का तंत्र है जो बूलियन बीजगणित एवं डिजिटल तर्क का आधार है।

ब्रिटिश गणितज्ञ ऑगस्टस डी मॉर्गन (1806–1871) ने पूरक तथा सम्मिलन/सर्वनिष्ठ के मध्य दो अत्यंत महत्वपूर्ण नियम दिए:

दो समुच्चयों $X$ और $Y$ की समानता सिद्ध करने के लिए परस्पर उपसमुच्चय सिद्ध करते हैं: $X \subseteq Y$ तथा $Y \subseteq X$।

चरण 1: सिद्ध करना कि $(A \cup B)' \subseteq A' \cap B'$

1. माना $x \in (A \cup B)'$ कोई स्वेच्छ अवयव है।
2. $\implies x \notin (A \cup B)$ [पूरक की परिभाषानुसार]
3. $\implies x \in A$ अथवा $x \in B$ कथन असत्य है
4. $\implies x \notin A$ तथा $x \notin B$ [तार्किक वियोजन का निषेध]
5. $\implies x \in A'$ तथा $x \in B'$ [पूरक की परिभाषानुसार]
6. $\implies x \in (A' \cap B')$ [सर्वनिष्ठ की परिभाषानुसार]
7. चूँकि $(A \cup B)'$ का प्रत्येक अवयव $A' \cap B'$ में है:
   $(A \cup B)' \subseteq A' \cap B'$ ... (समीकरण 1)

चरण 2: सिद्ध करना कि $A' \cap B' \subseteq (A \cup B)'$

1. माना $y \in A' \cap B'$ कोई स्वेच्छ अवयव है।
2. $\implies y \in A'$ तथा $y \in B'$
3. $\implies y \notin A$ तथा $y \notin B$
4. $\implies y \notin (A \cup B)$ [क्योंकि यदि $y \in A \cup B$ होता तो कम से कम एक में होना पड़ता]
5. $\implies y \in (A \cup B)'$
6. चूँकि $A' \cap B'$ का प्रत्येक अवयव $(A \cup B)'$ में है:
   $A' \cap B' \subseteq (A \cup B)'$ ... (समीकरण 2)

समीकरण (1) और (2) से सिद्ध होता है: $(A \cup B)' = A' \cap B'$। (इति सिद्धम्) $\quad \blacksquare$

गणनीयता सिद्धांत समुच्चयों के अतिव्यापन की दोहरी गणना से बचते हुए अवयवों की सटीक संख्या ज्ञात करने में सक्षम बनाते हैं।

माना $A$ और $B$ दो परिमित समुच्चय हैं। सम्मिलन $A \cup B$ को तीन असंयुक्त भागों में विभाजित किया जा सकता है: $(A - B)$, $(A \cap B)$ तथा $(B - A)$।

अतः $n(A \cup B) = n(A - B) + n(A \cap B) + n(B - A)$।

चूँकि $n(A) = n(A - B) + n(A \cap B) \implies n(A - B) = n(A) - n(A \cap B)$, मान प्रतिस्थापित करने पर मूल सूत्र प्राप्त होता है:

महत्वपूर्ण उपप्रमेय:

• यदि समुच्चय असंयुक्त हों ($A \cap B = \emptyset$), तो $n(A \cap B) = 0 \implies \mathbf{n(A \cup B) = n(A) + n(B)}$।
• केवल एक समुच्चय में स्थित अवयवों की संख्या (सममित अंतर): $$n(A \Delta B) = n(A - B) + n(B - A) = n(A) + n(B) - 2n(A \cap B) = n(A \cup B) - n(A \cap B)$$
• न तो $A$ और न ही $B$ में स्थित अवयव: $$n(A' \cap B') = n((A \cup B)') = n(U) - n(A \cup B)$$

किन्हीं तीन परिमित समुच्चयों $A, B$ और $C$ के लिए:

अंत में $+n(A \cap B \cap C)$ क्यों जोड़ते हैं? एकल पदों में तीनों का उभयनिष्ठ सर्वनिष्ठ 3 बार जुड़ता है। फिर दो-दो के सर्वनिष्ठ में यह 3 बार घट जाता है (शुद्ध गणना शून्य हो जाती है)। अतः इसे सम्मिलन में ठीक 1 बार सम्मिलित करने के लिए अंत में $+n(A \cap B \cap C)$ जोड़ना आवश्यक होता है!

• ठीक दो समुच्चयों में स्थित अवयवों की संख्या: $$n(\text{ठीक दो}) = [n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] - 3n(A \cap B \cap C)$$
• कम से कम दो समुच्चयों में स्थित अवयवों की संख्या: $$n(\text{कम से कम दो}) = [n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] - 2n(A \cap B \cap C)$$
• ठीक एक समुच्चय में स्थित अवयवों की संख्या: $$n(\text{ठीक एक}) = n(A) + n(B) + n(C) - 2[n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)] + 3n(A \cap B \cap C)$$

दो अरिक्त समुच्चयों $A$ और $B$ का कार्तीय गुणनफल उन सभी क्रमित युग्मों $(a, b)$ का समुच्चय है जहाँ $a \in A$ तथा $b \in B$:

• क्रमित युग्म (Ordered Pair): $(a, b) = (c, d) \iff a = c$ तथा $b = d$। अतः $(1, 2) \neq (2, 1)$।
• अक्रमविनिमेय: सामान्यतः $A \times B \neq B \times A$।
• अवयव संख्या प्रमेय: यदि $n(A) = p$ और $n(B) = q$ हो, तो $n(A \times B) = p \times q$।
• $A$ से $B$ में कुल संभव संबंधों (Relations) की संख्या $A \times B$ के उपसमुच्चयों की संख्या होती है, जो $2^{pq}$ के बराबर है। (यह अध्याय 2 'संबंध एवं फलन' की नींव रखता है)।