त्रिकोणमितीय फलन

प्रारंभिक ज्यामिति में कोण को दो स्थिर रेखाओं के झुकाव के रूप में देखा जाता है, परंतु उच्च गणित में एक किरण के अपने स्थिर शीर्ष के परितः घूर्णन से त्रिकोणमितीय कोण उत्पन्न होता है।

• धनात्मक कोण (Positive Angle): जब घूर्णन करने वाली किरण अपनी प्रारंभिक स्थिति से वामावर्त (घड़ी की सुई के विपरीत - Anti-clockwise) दिशा में घूमती है।
• ऋणात्मक कोण (Negative Angle): जब किरण दक्षिणावर्त (घड़ी की सुई की दिशा - Clockwise) में घूमती है।
• ज्यामितीय कोण केवल $0^\circ$ से $360^\circ$ तक सीमित होते हैं, परंतु त्रिकोणमितीय कोण घूर्णनों की संख्या और दिशा के आधार पर $-\infty$ से $+\infty$ तक कोई भी वास्तविक मान ग्रहण कर सकते हैं।

माना $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का केंद्र $O$ है। त्रिज्या $OA = r$ है। वृत्त की परिधि पर त्रिज्या के बराबर $r$ लंबाई का एक चाप $AB$ लिया गया। परिभाषा अनुसार केंद्रीय कोण $\angle AOB = 1 \text{ रेडियन}$।

चूँकि वृत्त के चापों द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण चाप की लंबाइयों के समानुपाती होते हैं:

संख्यात्मक मान:

• $1 \text{ रेडियन} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 16' 22''$ (लगभग)।
• $1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन} \approx 0.017453 \text{ रेडियन}$।

यदि वृत्त की त्रिज्या $r$ हो तथा केंद्र पर बना कोण $\theta$ रेडियन में मापा गया हो:

1. चाप की लंबाई का सूत्र: $$\mathbf{s = r\theta} \iff \theta = \frac{s}{r} \quad (\theta \text{ अनिवार्यतः रेडियन में})$$
2. त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल सूत्र: $$\mathbf{\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} r s}$$

केवल समकोण त्रिभुज के न्यूनकोणों तक सीमित न रहकर किसी भी वास्तविक कोण के लिए फलनों को परिभाषित करने हेतु इकाई वृत्त (Unit Circle) का उपयोग किया जाता है।

कार्तीय तल में मूलबिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र वाले $r = 1$ त्रिज्या के वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ होता है। जब कोई कोण $\theta$ बनता है, तो उसकी अंतिम भुजा इकाई वृत्त को $P(x, y)$ बिंदु पर काटती है।

चूँकि $P(x, y)$ बिंदु $x^2 + y^2 = 1$ पर स्थित है, मान प्रतिस्थापित करने पर पाइथागोरस की मूलभूत सर्वसमिका प्राप्त होती है:

चारों चतुर्थांशों में $x$ और $y$ निर्देशांकों के चिन्हों के आधार पर फलनों के धनात्मक और ऋणात्मक चिन्ह निश्चित होते हैं:

• सम फलन ($y$-अक्ष के परितः प्रतिसम): $$\cos(-\theta) = \cos \theta, \quad \sec(-\theta) = \sec \theta$$
• विषम फलन (मूलबिंदु के परितः प्रतिसम): $$\sin(-\theta) = -\sin \theta, \quad \tan(-\theta) = -\tan \theta, \quad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = -\cot \theta$$

दो कोणों का योग अथवा अंतर यदि शून्य या एक समकोण ($\frac{\pi}{2}$ अथवा $90^\circ$) का पूर्ण गुणज हो, तो उन्हें सम्बद्ध कोण (Allied Angles) कहा जाता है।

किसी भी कोण को $n \cdot \frac{\pi}{2} \pm \theta$ रूप में व्यक्त करके ($n \in \mathbb{Z}$ तथा $\theta$ न्यूनकोण) मान ज्ञात करने के दो नियम:

दो या दो से अधिक कोणों के बीजगणितीय योग या अंतर से बने कोण (जैसे $A + B$ या $A - B$) को संयुक्त कोण (Compound Angle) कहते हैं।

$45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$ तथा $45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$ का उपयोग करके:

• $\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \cos 75^\circ$
• $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sin 75^\circ$
• $\tan 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2 - \sqrt{3} = \cot 75^\circ$
• $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} = \cot 15^\circ$

कैलकुलस के समाकलन में गुणनफल को योग में और समीकरण हल करने में योग को गुणनफल में रूपांतरित करना अत्यंत आवश्यक होता है।

$A + B = C$ तथा $A - B = D$ मानकर प्राप्त होता है:

1. $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
2. $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
3. घात न्यूनकरण संबंध (कैलकुलस हेतु अत्यंत महत्वपूर्ण): $$\mathbf{1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta} \iff \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$ $$\mathbf{1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta} \iff \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$ $$\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \tan^2 \theta$$
4. $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$

• $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$
• $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$
• $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$

• $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = \cos 72^\circ$
• $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \sin 54^\circ$

जिस समीकरण में किसी अज्ञात कोण के त्रिकोणमितीय फलन उपस्थित हों, उसे त्रिकोणमितीय समीकरण कहते हैं। फलनों की आवर्ती प्रकृति के कारण इनके अनंत हल होते हैं।

• मुख्य हल (Principal Solution): प्रथम चक्र $[0, 2\pi)$ अथवा $[0^\circ, 360^\circ)$ के अंतराल में आने वाले हल। सामान्यतः किसी समीकरण के दो मुख्य हल होते हैं।
• व्यापक हल (General Solution): पूर्णांक प्राचल $n \in \mathbb{Z}$ से युक्त बीजगणितीय व्यंजक जो समीकरण के समस्त संभावित वास्तविक हलों को एक साथ व्यक्त करता है।

$a \cos \theta + b \sin \theta = c$ समीकरण को हल करने की विधि: