प्रायिकता

गणितीय प्रायिकता का आरंभ नियतात्मक और यादृच्छिक परिघटनाओं के मध्य स्पष्ट अंतर को समझने से होता है।

भौतिक विज्ञान के वे प्रयोग जो समान परिस्थितियों में बार-बार दोहराने पर सदैव एक ही परिणाम देते हैं, उन्हें नियतात्मक (Deterministic) प्रयोग कहा जाता है (जैसे गुरुत्वीय त्वरण मापना)। इसके विपरीत, किसी प्रयोग को यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment) तब कहा जाता है जब वह दो आवश्यक शर्तों को पूरा करता हो:

• इसके एक से अधिक संभव परिणाम हों।
• प्रयोग संपन्न करने से पूर्व किसी विशिष्ट प्रयास के सटीक परिणाम का पूर्वानुमान लगाना असंभव हो, यद्यपि सभी संभव परिणामों की सूची पहले से ज्ञात होती है।

किसी यादृच्छिक प्रयोग को एक बार निष्पादित करना एक प्रयास (Trial) कहलाता है और प्राप्त फल को परिणाम (Outcome) कहते हैं। किसी यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय उस प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) कहलाता है, जिसे सामान्यतः \(S\) (या \(\Omega\)) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। प्रतिदर्श समष्टि के प्रत्येक अवयव को प्रतिदर्श बिंदु (Sample Point) कहा जाता है।

आधुनिक प्रायिकता में किसी भी घटना को प्रतिदर्श समष्टि के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।

प्रतिदर्श समष्टि \(S\) का कोई भी उपसमुच्चय \(E\) एक घटना (Event) कहलाता है (\(E \subseteq S\))। यदि प्रयोग का वास्तविक परिणाम समुच्चय \(E\) का कोई अवयव हो, तो हम कहते हैं कि घटना \(E\) घटित हुई है।

• सरल घटना (Simple Event): वह घटना जिसमें केवल एक ही प्रतिदर्श बिंदु हो, अर्थात् \(n(E) = 1\)।
• मिश्र / संयुक्त घटना (Compound Event): वह घटना जिसमें दो या अधिक प्रतिदर्श बिंदु हों। जैसे पासे पर सम संख्या आना \(E = \{2, 4, 6\}\)।
• असंभव घटना (Impossible Event - \(\emptyset\)): वह घटना जिसमें कोई परिणाम न हो; इसकी प्रायिकता शून्य होती है: \(P(\emptyset) = 0\)। जैसे पासे पर अंक 7 आना।
• निश्चित घटना (Certain / Sure Event - \(S\)): पूरी प्रतिदर्श समष्टि; इसका घटित होना निश्चित होता है: \(P(S) = 1\)। जैसे पासे पर 1 से 6 तक कोई अंक आना।
• पूरक घटना (Complementary Event - \(E'\)): घटना \(E\) के न घटने की घटना \(E' = S - E\)।

दो घटनाएँ \(A\) और \(B\) परस्पर अपवर्जी (Mutually Exclusive) कहलाती हैं यदि वे एक साथ घटित न हो सकें, अर्थात् उनका कोई उभयनिष्ठ परिणाम न हो:

घटनाओं का समूह \(E_1, E_2, \dots, E_k\) निःशेष (Exhaustive) कहलाता है यदि उनका संघ पूरी प्रतिदर्श समष्टि के बराबर हो:

सन् 1812 में पियरे-साइमन लाप्लास ने प्रायिकता की शास्त्रीय या चिरप्रतिष्ठित परिभाषा प्रतिपादित की।

यदि किसी यादृच्छिक प्रयोग के कुल \(n\) परिणाम परस्पर अपवर्जी, निःशेष और समप्रायिक (Equally Likely) हों, तथा इनमें से \(m\) परिणाम किसी घटना \(E\) के अनुकूल हों, तो घटना \(E\) की प्रायिकता \(P(E)\) होगी:

परिणामों को समप्रायिक कहा जाता है जब किसी एक परिणाम के घटित होने की संभावना अन्य किसी परिणाम से अधिक न हो। निष्पक्ष सिक्का, संतुलित पासा और अच्छी तरह फेंटे गए ताश के पत्ते समप्रायिकता के प्रमुख उदाहरण हैं।

जब प्रतिदर्श समष्टि बड़ी हो, तब परिणामों की गणना संचय सूत्रों से की जाती है:

• \(n\) में से \(r\) वस्तुओं का चयन: बिना क्रम के चयन के कुल तरीके: \[\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}\]
• बिना प्रतिस्थापन के गेंद निकालना: यदि एक थैले में \(w\) सफेद और \(b\) काली गेंदें हों (कुल \(w + b\)), तथा \(k\) गेंदें निकाली जाएँ, तो ठीक \(x\) सफेद गेंदें प्राप्त होने की प्रायिकता: \[P(X = x) = \frac{\binom{w}{x} \binom{b}{k - x}}{\binom{w + b}{k}}\]

1. चक्रक दोष: परिभाषा में "समप्रायिक" शब्द आया है जिसका अर्थ "समान प्रायिकता वाला" होता है; अतः प्रायिकता को प्रायिकता से ही परिभाषित किया गया है।
2. सीमित अनुप्रयोग: जब परिणाम समप्रायिक न हों (जैसे भारी किया हुआ पासा) अथवा परिणाम अनंत हों, तो यह परिभाषा सर्वथा अप्रभावी हो जाती है।

1933 में आंद्रे कोलमोगोरोव ने माप सिद्धांत (Measure Theory) के आधार पर प्रायिकता को सुदृढ़ अभिगृहीतीय आधार प्रदान किया।

मान लीजिए \(S\) एक प्रतिदर्श समष्टि है। एक वास्तविक मान फलन \(P\) को प्रायिकता कहा जाएगा यदि यह निम्नलिखित तीन अभिगृहीतों को संतुष्ट करता हो:

• प्रमेय 1: असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।
  चूँकि \(S \cup \emptyset = S\) और \(S \cap \emptyset = \emptyset\), अभिगृहीत 3 से: \(P(S) + P(\emptyset) = P(S) \implies P(\emptyset) = 0\)।
• प्रमेय 2: पूरक घटना की प्रायिकता।
  किसी भी घटना \(A\) के लिए \(A \cup A' = S\) और \(A \cap A' = \emptyset\), अतः: \[P(A) + P(A') = P(S) = 1 \implies P(A') = 1 - P(A)\]
• प्रमेय 3: प्रायिकता की सीमा।
  अभिगृहीत 1 से \(P(A') \ge 0 \implies 1 - P(A) \ge 0 \implies P(A) \le 1\)। अतः: \[0 \le P(A) \le 1\]
• प्रमेय 4: एकदिष्टता गुण (Monotonicity)।
  यदि \(A \subseteq B\), तो \(P(A) \le P(B)\) तथा \(P(B - A) = P(B) - P(A)\)।

जब घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं होतीं, तब उनके संघ की प्रायिकता ज्ञात करने हेतु सामान्य योग प्रमेय का प्रयोग किया जाता है।

प्रतिदर्श समष्टि \(S\) की किन्हीं दो घटनाओं \(A\) तथा \(B\) के लिए:

किन्हीं तीन घटनाओं \(A, B, C\) के लिए:

चूँकि \(P(A \cap B) \ge 0\), योग प्रमेय से बूल की असमिका (Boole's Inequality) मिलती है: \[P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\] तथा \(P(A \cup B) \le 1\) होने के कारण बॉनफेरोनी की असमिका (Bonferroni's Inequality) प्राप्त होती है: \[P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1\]

व्यावहारिक सांख्यिकी, खेलों और जोखिम विश्लेषण में संभावनाओं को अक्सर संयोगानुपात (Odds) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

मान लीजिए किसी प्रयोग के \(n\) समप्रायिक परिणामों में से \(m\) परिणाम घटना \(E\) के अनुकूल और शेष \(n - m\) परिणाम प्रतिकूल हैं।

• अनुकूल संयोगानुपात (Odds in Favor): अनुकूल और प्रतिकूल परिणामों का अनुपात: \[\text{अनुकूल संयोगानुपात } = \frac{m}{n - m} = \frac{P(E)}{1 - P(E)}\] अनुपात रूप में \(m : (n - m)\)।
• प्रतिकूल संयोगानुपात (Odds Against): प्रतिकूल और अनुकूल परिणामों का अनुपात: \[\text{प्रतिकूल संयोगानुपात } = \frac{n - m}{m} = \frac{1 - P(E)}{P(E)}\] अनुपात रूप में \((n - m) : m\)।

1. प्रतिदर्श समष्टि एवं \(n(S)\) की पहचान: कुल परिणामों की संख्या संचय \(\binom{n}{r}\) या गणना के मूलभूत सिद्धांत से ज्ञात करें।
2. घटनाओं का प्रतीकात्मक निरूपण: घटना को \(A, B, C\) जैसे स्पष्ट प्रतीकों से दर्शाएँ।
3. समुच्चय संकेतन में रूपांतरण: प्रश्न के शब्दों को समुच्चय संक्रियाओं में बदलें (जैसे "कम से कम एक" \(\to A \cup B\), "दोनों" \(\to A \cap B\), "कोई भी नहीं" \(\to A' \cap B'\))।
4. अपवर्जिता की जाँच: देखें कि \(A \cap B = \emptyset\) है या नहीं, और तदनुसार उपयुक्त सूत्र का चयन करें।
5. प्रायिकता सीमा सत्यापन: सुनिश्चित करें कि अंतिम उत्तर \([0, 1]\) के अंतराल में ही स्थित हो।