सीमा और अवकलज

कलन (कैलकुलस) का प्रारंभ वहीं से होता है जहाँ प्रारंभिक बीजगणित शून्य से विभाजन की असमर्थता पर आकर रुक जाता है। सीमा की अवधारणा किसी बिंदु पर फलन का मान ठीक-ठीक जाने बिना भी उसके निकटवर्ती व्यवहार का सटीक अध्ययन करती है।

संकेतन $x \to a$ (उच्चारण "$x$ अग्रसर है $a$ की ओर") का अर्थ है कि स्वतंत्र चर $x$ वास्तविक संख्या $a$ के अत्यंत निकट पहुँचता जाता है—चाहे बाईं ओर से ($x < a$) या दाईं ओर से ($x > a$), परंतु $\mathbf{x \neq a}$।

उदाहरण: फलन $f(x) = \frac{|x|}{x}$ के लिए $x = 0$ पर $\text{LHL} = -1$ तथा $\text{RHL} = +1$ है। चूँकि $\text{LHL} \neq \text{RHL}$, अतः $x = 0$ पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।

सीधे $x = a$ रखने पर जब व्यंजक $\mathbf{\frac{0}{0}}$, $\mathbf{\frac{\infty}{\infty}}$, $\infty - \infty$, अथवा $0 \times \infty$ का रूप ले लेता है, तो इसे अनिर्धार्य रूप कहते हैं। इसका यह अर्थ कदापि नहीं है कि सीमा विद्यमान नहीं है; इसका अर्थ है कि गुणनखंडन या परिमेयीकरण द्वारा शून्यकारी पदों को समाप्त कर वास्तविक सीमा निकाली जाए।

सीमाओं के बीजगणितीय नियम जटिल फलनों की सीमाओं को सरल घटकों में विभाजित कर हल करने की सुविधा प्रदान करते हैं।

यदि फलनों $f(x)$ और $g(x)$ के लिए $\lim_{x \to a} f(x) = L$ तथा $\lim_{x \to a} g(x) = M$ हो (जहाँ $L$ और $M$ परिमित वास्तविक संख्याएँ हैं):

सैंडविच प्रमेय की सहायता से ही मूलभूत त्रिकोणमितीय सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ को सिद्ध किया जाता है, जहाँ $\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$ का उपयोग होता है।

पाठ्यक्रम के मानक सूत्र प्रत्येक प्रश्न में लंबी विभाजन प्रक्रिया से बचाकर सीधे सीमा ज्ञात करने में सहायता करते हैं।

उपपत्ति का सारांश (धन पूर्णांक $n$ हेतु): सामान्य बीजगणितीय गुणनखंडन से:

दोनों पक्षों को $(x - a)$ से विभाजित कर $x \to a$ सीमा लेने पर प्रत्येक पद $a^{n-1}$ बन जाता है:

अर्ध-कोण सूत्र से $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ की उपपत्ति:

अति महत्वपूर्ण चेतावनी: यदि कोण अंशों (डिग्री) में दिया हो ($x^\circ$), तो उसे पहले रेडियन में बदलना अनिवार्य है: $x^\circ = \frac{\pi x}{180}$ रेडियन।

चरघातांकी और लघुगणकीय सीमाएँ प्राकृतिक निरंतर वृद्धि और क्षय का गणितीय प्रतिरूप प्रस्तुत करती हैं।

अपरिमेय संख्या $e \approx 2.71828\dots$ निरंतर चक्रवृद्धि वृद्धि की सीमा के रूप में परिभाषित है:

उपपत्ति का सारांश: लघुगणक के घात नियम से:

अवकलन कलन की वह प्रमुख शाखा है जो वक्रों की स्पर्श रेखा की प्रवणता और किसी भी राशि के तात्कालिक परिवर्तन की दर को मापती है।

• भौतिक अर्थ: यदि किसी कण का समय $t$ पर विस्थापन $s(t)$ हो, तो समय के सूक्ष्म अंतराल में औसत वेग $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ होता है। जब $\Delta t \to 0$, तब कण का तात्कालिक वेग प्राप्त होता है: $$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{ds}{dt}$$
• ज्यामितीय अर्थ: वक्र $y = f(x)$ पर दो बिंदु $P(x, f(x))$ और $Q(x + h, f(x + h))$ हों, तो छेदक रेखा $PQ$ की प्रवणता: $$m_{\text{छेदक}} = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ जब $h \to 0$, तब बिंदु $Q$ वक्र के अनुदिश $P$ की ओर खिसकता है और छेदक रेखा $P$ पर स्पर्श रेखा (Tangent Line) बन जाती है। अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता: $$m_{\text{स्पर्श रेखा}} = \tan \theta = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \mathbf{f'(x)}$$

1. बहुपदीय फलन $f(x) = x^n$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^n - x^n}{h} = \lim_{t \to x} \frac{t^n - x^n}{t - x} = \mathbf{n x^{n-1}} \quad (t = x + h)$$
2. त्रिकोणमितीय फलन $f(x) = \sin x$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \times 1 = \mathbf{\cos x}$$
3. त्रिकोणमितीय फलन $f(x) = \cos x$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin\left(x + \frac{h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = -\sin x \times 1 = \mathbf{-\sin x}$$
4. चरघातांकी फलन $f(x) = e^x$: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x \times 1 = \mathbf{e^x}$$

यद्यपि प्रथम सिद्धांत सैद्धांतिक परिभाषा देता है, व्यावहारिक प्रश्नों में बीजगणितीय नियमों की सहायता से सीधे तीव्र अवकलन किया जाता है।